ライン法

ライン法（MOL、NMOL、NUMOL ^[1]^[2]^[3] ）は、1次元を除くすべての次元が離散化された偏微分方程式（PDE）を解くための手法です。ライン法では、PDEを1つの連続次元に縮小することで、常微分方程式（ODE）と微分代数方程式系（DAE）の数値積分用に開発された方法とソフトウェアを使用して解を計算できます。長年にわたり、さまざまなプログラミング言語で多くの積分ルーチンが開発されており、オープンソースリソースとして公開されているものもあります。^[4]

ライン法は、空間導関数のみを最初に離散化し、時間変数を連続的に残すことによって進められる偏微分方程式の数値法の構築または分析を指すことが最も多い。これにより、初期値常方程式の数値法を適用できる常微分方程式のシステムが得られる。この文脈におけるライン法は、少なくとも 1960 年代初頭にまで遡る。^[5]それ以来、さまざまな種類の偏微分方程式に対するライン法の精度と安定性について議論した多くの論文が発表されている。^[6]^[7]

楕円方程式への応用

MOL では、ODE および DAE 積分器が初期値問題(IVP) ソルバーであるため、 PDE 問題が少なくとも 1 つの次元で初期値 (コーシー) 問題として適切に設定されている必要があります。したがって、ラプラス方程式などの純粋な楕円偏微分方程式に直接使用することはできません。ただし、MOL は、偽過渡法を使用してラプラス方程式を解くために使用されています。^[1]^[8]この方法では、従属変数の時間微分がラプラス方程式に追加されます。次に、有限差分を使用して空間微分を近似し、結果として得られる方程式系を MOL で解きます。楕円問題を半解析的な直線法で解くこともできます。^[9]この方法では、離散化プロセスによって、関連する指数行列の特性を利用して解かれる一連の ODE が生成されます。

最近、擬似過渡法に伴う安定性の問題を克服するために摂動法が提案され、これは楕円偏微分方程式の広範囲にわたって擬似過渡法の標準法よりも堅牢であることが判明した。^[10]

参考文献

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^ PWC Northrop、PA Ramachandran、WE Schiesser、VR Subramanian (2013)、「楕円偏微分方程式の堅牢な偽過渡線法」、Chem. Eng. Sci.、vol. 90、pp. 32–39、Bibcode :2013ChEnS..90...32N、doi :10.1016/j.ces.2012.11.033

外部リンク

偽過渡線法 - サンプルコード
数値線法

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[10] PWC Northrop、PA Ramachandran、WE Schiesser、VR Subramanian (2013)、「楕円偏微分方程式の堅牢な偽過渡線法」、Chem. Eng. Sci.、vol. 90、pp. 32–39、Bibcode :2013ChEnS..90...32N、doi :10.1016/j.ces.2012.11.033