三次補間

数学の分野である数値解析において、三次補間は、規則的なグリッド上で定義された関数の3次元空間内の任意の点における値を取得する方法である。このアプローチでは、関数を次の形式の式で局所的に近似する。 $${\displaystyle f(x,y,z)=\sum _{i=0}^{3}\sum _{j=0}^{3}\sum _{k=0}^{3}a_{ ijk}x^{i}y^{j}z^{k}.}$$

この形式には 64 個の係数があります。関数が特定の値または特定の方向微分を持つように要求すると、64 個の係数に 1 つの線形制約が課されます。 ${\displaystyle a_{ijk}}$

三次補間という用語は、複数の文脈で使用されています。いくつかの実験では、関数の値とその空間導関数の両方を測定し、グリッドポイントで測定された値と導関数を保存しながら補間することが望ましいです。これらは係数に32の制約を提供し、さらに32の制約は、高次の導関数の滑らかさを要求することによって提供できます。^[1]

他のコンテキストでは、関数を評価する立方体の周囲を小さな立方体で囲んだ 3×3×3 グリッドを考慮し、このグリッドの角にある 64 個のポイントで関数をフィッティングすることで、64 個の係数を取得できます。

3 次補間の記事では、この方法は 1 次元 3 次補間を順次適用することと同等であると説明されています。 を、 で評価された単変数 3 次多項式 (たとえば、連続するグリッド ポイントからの値 、 、 によって制約される)の値とします。多くの有用なケースでは、これらの 3 次多項式は、 のみの関数であるベクトルに対して の形を持ちます。3 次 3 次補間は、次と同等です。 ${\displaystyle \mathrm {CINT} _{x}(a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2})}$${\displaystyle a_{-1}}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {CINT} _{x}(u_{-1},u_{0},u_{1},u_{2})=\mathbf {v} _{x}\cdot \left(u_ {-1},u_{0},u_{1},u_{2}\right)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{x}}$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}s(i,j,k)&{}={\text{グリッドポイントの値}}(i,j,k)\\t(i,j,z)&{}=\mathrm {CINT} _{z}\left(s(i,j,-1),s(i,j,0),s(i,j,1),s(i,j,2)\right)\\u(i,y,z)&{}=\mathrm {CINT} _{y}\left(t(i,-1,z),t(i,0,z),t(i,1,z),t(i,2,z)\right)\\f(x,y,z)&{}=\mathrm {CINT} _{x}\left(u(-1,y,z),u(0,y,z),u(1,y,z),u(2,y,z)\right)\end{aligned}}}$$ ここで、および。 ${\displaystyle i,j,k\in \{-1,0,1,2\}}$${\displaystyle x,y,z\in [0,1]}$

一見すると、Lekien と Marsden ^[1]で説明されているマトリックスの代わりに、上記の21 回の呼び出しを使用する方が便利に思えるかもしれません。ただし、マトリックスにスパース形式 (かなりスパース) を使用して適切に実装すると、後者の方が効率的になります。この側面は、同じキューブ内の複数の場所で補間が必要な場合にさらに顕著になります。この場合、マトリックスはキューブ全体の補間係数を計算するために 1 回使用されます。次に、係数は保存され、キューブ内の任意の場所で補間するために使用されます。これに比べて、1 次元積分器を順番に使用すると、新しい場所ごとに各計算ステップを繰り返す必要があるため、繰り返し補間のパフォーマンスが極めて低くなります。 ${\displaystyle \mathrm {CINT} }$${\displaystyle {64\times 64}}$${\displaystyle {64\times 64}}$${\displaystyle \mathrm {CINT} _{x}}$

• 3次補間
• バイキュービック補間
• 三線補間

• 三次補間の Java/C++ 実装
• 三次補間の C++ 実装
• Python実装
• NumPy実装
• [1] einsplineライブラリ