コロケーション法

例として、2つのコロケーション点c ₁ = 0 とc ₂ = 1 (つまりn = 2) を選びます。コロケーション条件は次のとおりです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(t_{0})&=y_{0},\\p'(t_{0})&=f(t_{0},p(t_{0})),\\p'(t_{0}{+}h)&=f(t_{0}{+}h,p(t_{0}{+}h)).\end{aligned}}}$$

条件は3つあるので、pは2次多項式でなければなりません。pを次の形式で書きなさい。

$${\displaystyle p(t)=\alpha (t-t_{0})^{2}+\beta (t-t_{0})+\gamma \,}$$

計算を簡略化するため。次に、コロケーション条件を解いて係数を求めることができる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{2h}}{\Big (}f(t_{0}{+}h,p(t_{0}{+}h))-f(t_{0},p(t_{0})){\Big )},\\\beta &=f(t_{0},p(t_{0})),\\\gamma &=y_{0}.\end{aligned}}}$$

コロケーション法は、暗黙のうちに次のように与えられる。

$${\displaystyle y_{1}=p(t_{0}+h)=y_{0}+{\frac {1}{2}}h{\Big (}f(t_{0}{+}h,y_{1})+f(t_{0},y_{0}){\Big )},\,}$$

ここで、y ₁ = p ( t ₀  + h ) はt = t ₁ = t ₀ + hにおける近似解です。   

この方法は微分方程式の「台形公式」として知られています。実際、この方法は微分方程式を次のように書き換えることによっても導き出すことができます。

$${\displaystyle y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,y(\tau ))\,d\tau ,\,}$$

そして、右辺の積分を台形公式を用いて近似する。

ガウス・ルジャンドル法は、ガウス・ルジャンドル求積法の点をコロケーション点として使用します。s点に基づくガウス・ルジャンドル法は、2 s のオーダーを持ちます。^{[ 2 ]}すべてのガウス・ルジャンドル法はA 安定です。^{[ 3 ]}

実際、コロケーション法の次数は、コロケーション点を重みとして使用して得られる求積法の次数と一致することを示すことができる。

F1のトップチームは、2010年代に準静的シミュレーションからコロケーション法に切り替えて、車がサーキットを一周するのにかかる時間をシミュレーションし始めた。ザウバーはこの移行を行った最初のチームの1つだと考えられている。従来の準静的シミュレーションでは、車のgLat-gLong-vCarパフォーマンスエンベロープを構築し、各エイペックス（最低車速）から開始して前方に加速し、ブレーキングゾーンではこのエンベロープを使用して後方に加速してラップをつなぎ合わせる。このエンベロープは定常状態であるため、発生するダイナミクスを無視しており、例えば車がアンダーステア​​とオーバーステアの間で瞬時に切り替わる可能性があるが、これは問題を大幅に単純化したものである。

シミュレーションにおけるコロケーション法への移行は、ラップ全体を最適化問題として定式化し、ラップを距離ステップごとに分割して、各ポイントでの車の物理特性を記述することから始まりました。目的は、ラップタイムと各ポイントでの物理特性の誤差を最小化することです。最適化が完了すると、コロケーション法は、各ポイントでの物理特性に従いながら、ブレーキ/スロットルとステアリングホイールの角度を変化させることで、特定の車両設定におけるサーキットでの最小ラップタイムを求めます。ラップタイムの最小化に加えて、エネルギー制約（燃料、電気、タイヤの滑り、ブレーキ）や温度制約（タイヤ、バッテリー温度）などの制約を目的関数に追加したり、4輪すべてへの動力を制御する複数のスロットルペダルなどの追加の制御を物理特性に追加したりすることも可能です。これにより、非常に複雑な問題を最適に解決することができます。