オプション価格設定のためのモンテカルロ法

数理ファイナンスでは、モンテカルロオプションモデルはモンテカルロ法^{[注1 ]}を使用して、複数の不確実性の源または複雑な特徴を持つオプションの価値を計算します。 ^{[ 1 ]}オプション価格設定への最初の応用は、 1977年にフェリム・ボイルによって行われました（ヨーロピアンオプションの場合）。1996年に、M.ブローディとP.グラッサーマンは、モンテカルロを使用してアジアンオプションの価格を設定する方法を示しました。重要な発展は、1996年にキャリエールによって早期行使機能を持つオプションのモンテカルロ法が導入されたことです。

標準的な方法として、モンテカルロ評価はリスク中立評価に基づいています。^{[ 1 ]}ここで、オプションの価格は割引期待値です。リスク中立性と合理的価格設定を参照してください。適用される手法は、(1)シミュレーションによって原資産（または複数の原資産）の多数の可能なランダムな価格経路を生成し、(2) 各経路に対応するオプションの行使価値（つまり「ペイオフ」）を計算することです。(3) これらのペイオフを平均し、(4) 現在価値に割り引きます。この結果がオプションの価値です。^{[ 2 ]}

このアプローチは比較的単純ではあるものの、複雑さを増していくことが可能です。

• 株式オプションは、不確実性の1つの源泉、すなわち対象となる原資産の価格を用いてモデル化することができる。 ^{[ 2 ]}ここで、原資産の価格は${\displaystyle \ S_{t}\,}$通常、一定のドリフトを持つ幾何ブラウン運動に従うようにモデル化される。${\displaystyle \mu \,}$変動性${\displaystyle \sigma \,}$。 それで：${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}\,}$、 どこ${\displaystyle dW_{t}\,}$は正規分布からのランダムサンプリングによって求められます。詳しくはブラック・ショールズの項を参照してください。基礎となるランダムプロセスは同じであるため、十分な数の価格経路があれば、ここでのヨーロピアンオプションの値はブラック・ショールズの場合と同じになります。ただし、より一般的には、アジアンオプションなどの経路依存型エキゾチックデリバティブにはシミュレーションが用いられます。

• その他の場合、不確実性の原因は離れたところにある可能性があります。たとえば、債券オプション^{[ 3 ]}の場合、原資産は債券ですが、不確実性の原因は年率換算の金利(つまり短期金利) です。ここでは、ランダムに生成された各利回り曲線について、オプションの行使日に異なる結果債券価格が観測されます。この債券価格は、オプションのペイオフを決定するための入力となります。同じアプローチは、スワップションの評価にも使用されます^{[ 4 ]。}スワップションでは、原資産スワップの価値も変動する金利の関数です。(これらのオプションは、上記のように格子ベースのモデルを使用して評価されることが多いのに対し、CMOなどの経路依存金利デリバティブでは、シミュレーションが主な手法として使用されます。^{[ 5 ]} ) 金利をシミュレートするために使用されるモデルについては、短期金利モデルを参照してください。「現実的な金利シミュレーションを作成する」ために、多因子短期金利モデルが使用されることがあります。^{[ 6 ]} ここでシミュレーションを適用するには、アナリストはまずモデルパラメータを「較正」して、モデルによって生成された債券価格が観測された市場価格に最もよく適合するようにする必要があります。

• モンテカルロ法では、不確実性の複合化が可能です。^{[ 7 ]}例えば、原資産が外貨建ての場合、不確実性の追加要因として為替レートがあります。原資産価格と為替レートは別々にシミュレーションし、それらを組み合わせて現地通貨での原資産の価値を決定する必要があります。このようなモデルでは、リスクの原資産源間の相関も組み込まれています。コレスキー分解§ モンテカルロシミュレーションを参照してください。商品価格やインフレが原資産に与える影響など、さらに複雑な要素も導入できます。シミュレーションはこのような複雑な問題に対応できるため、経営陣の意思決定が複数の原資産変数の関数となるリアルオプションの分析によく使用されます。 ^{[ 1 ]}

• シミュレーションは、バスケットオプションやレインボーオプションのように、ペイオフが複数の原資産の価値に依存するオプションの評価にも同様に使用できます^{[ 8 ]}。ここでも、資産収益間の相関関係が組み込まれています^{[ 9 ] 。}

• 必要に応じて、モンテカルロシミュレーションは、変化する分布を含むあらゆる種類の確率分布で使用できます。モデル作成者は、正規または対数正規リターンに限定されません。^{[ 10 ]}たとえば、実物オプション評価のためのDatar–Mathews法を参照してください。さらに、原資産の確率過程は、ジャンプまたは平均回帰、またはその両方を示すように指定できます。この機能により、シミュレーションはエネルギーデリバティブに適用できる主要な評価方法となります。^{[ 11 ]}さらに、一部のモデルでは、不確実性の原因の統計的（およびその他の）パラメータが（ランダムに）変化することも許容されます。たとえば、確率的ボラティリティを組み込んだモデルでは、原資産のボラティリティは時間とともに変化します。Hestonモデルを参照してください。

最小二乗モンテカルロ法は、早期行使オプション（バミューダオプションやアメリカンオプションなど）の評価手法です。1996年にジャック・カリエールによって初めて導入されました。^{[ 12 ]}

これは、2段階の手順を繰り返すことに基づいています。

• まず、各タイムステップで各状態に値を再帰的に割り当てる後方帰納プロセスが実行されます。値は、その状態と時間 (-ステップ)におけるオプション価格の市場価格に対する最小二乗回帰として定義されます。この回帰におけるオプション価格は、行使可能性の値 (市場価格に依存) と、その行使によって得られるタイムステップ値 (プロセスの前のステップで定義) の合計として定義されます。^{[ 13 ]}
• 第二に、すべての状態が各タイムステップで評価されると、価格パスと結果として得られる状態の価値に基づいて各ステップでオプションの行使に関する最適な決定を行うことにより、タイムステップと状態を移動してオプションの価値が計算されます。この第２のステップは、複数の価格パスを使用して手順に確率的効果を追加することができます。^{[ 12 ]}

ご覧のとおり、モンテカルロ法は、複数の不確実性要因や複雑な特徴を持つオプションの評価に特に有用です。これらのオプションは、単純なブラック・ショールズ式や格子ベースの計算では評価が困難です。そのため、この手法は、ルックバックオプションやアジアンオプションなどのパス依存構造の評価^{[ 10 ]}や、リアルオプション分析^{[ 1 ] [ 7 ]}に広く使用されています。さらに、上記のように、モデル作成者は仮定する確率分布に制限されません。^{[ 10 ]}

しかし逆に、オプションを評価するための分析手法、あるいは（修正）価格ツリー^{[ 10 ]}のような数値的手法が存在する場合、モンテカルロ法は通常、競争力を持つには遅すぎる。ある意味で、モンテカルロ法は最後の手段である^{[ 10 ]} 。金融におけるモンテカルロ法については、さらに詳しく参照のこと。計算能力が向上すれば、この計算上の制約はそれほど問題ではなくなる。

• 金融におけるモンテカルロ法
• 金融における準モンテカルロ法
• 確率モデル（保険）
• 確率的資産モデル

注記

情報源

主要参考文献

• Boyle, Phelim P. (1977). "オプション：モンテカルロ法によるアプローチ" . Journal of Financial Economics . 4 (3): 323– 338. doi : 10.1016/0304-405x(77)90005-8 . 2012年6月28日取得.
• Broadie, M.; Glasserman, P. (1996). "Estimating Security Price Derivatives Using Simulation" (PDF) . Management Science . 42 (2): 269– 285. CiteSeerX 10.1.1.196.1128 . doi : 10.1287/mnsc.42.2.269 . 2012年6月28日取得. 
• Longstaff, Francis A.; Schwartz, Eduardo S. (2001). "シミュレーションによるアメリカンオプションの評価：単純な最小二乗法アプローチ" .Review of Financial Studies . 14 : 113–148 . CiteSeerX 10.1.1.155.3462 . doi : 10.1093/rfs/14.1.113 . 2012年6月28日取得。 

参考文献

• ブルーノ・デュピール（1998）。モンテカルロ：価格設定とリスク管理のための方法論と応用。リスク。
• ポール・グラッサーマン（2003）。金融工学におけるモンテカルロ法。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-00451-8。
• ピーター・ジェッケル（2002）。金融におけるモンテカルロ法。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 978-0-471-49741-7。
• ドン・L・マクレイシュ（2005）。モンテカルロシミュレーションと金融。ISBN 978-0-471-67778-9。
• Christian P. Robert、George Casella (2004)。モンテカルロ統計手法。ISBN 978-0-387-21239-5。

オンラインツール

• モンテカルロ法による株価時系列シミュレーションと乱数発生器（分布の選択が可能）、スティーブン・ホイットニー

討議資料および文書

• モンテカルロシミュレーション、ドン・M・チャンス教授、ルイジアナ州立大学
• 単純なモンテカルロシミュレーションを用いた複雑なオプションの価格設定、ピーター・フィンク著（quantnotes.comに再掲載）
• 金融におけるモンテカルロシミュレーション、global-derivatives.com
• モンテカルロ法によるデリバティブ評価（続き）、ティモシー・L・クレブヒール、オクラホマ州立大学スティルウォーター校
• 金融におけるモンテカルロ法の応用：オプション価格設定、Y. Lai および J. Spanier、クレアモント大学院大学
• シミュレーションによるオプション価格設定、Bernt Arne Ødegaard、ノルウェー経営大学院
• モンテカルロシミュレーションによるエキゾチックオプションの価格設定とヘッジ、アウグスト・ペリラ、ダイアナ・オアンセア、マイケル・ロッキンガー教授、HECローザンヌ
• モンテカルロ法、riskglossary.com