高解像度スキーム

高解像度スキームは、衝撃や不連続性が存在する場合に高精度が要求される偏微分方程式の数値解法に使用されます。高解像度スキームには次の特性があります。

ソリューションの滑らかな部分では、2 次以上の空間精度が得られます。
ソリューションには、不要な振動や揺れがありません。
衝撃や不連続性の周囲でも高い精度が得られます。
同様の精度を持つ一次スキームと比較すると、波を含むメッシュポイントの数は少なくなります。

一般的な方法は、急勾配現象の正確な解析には不十分な場合が多く、通常、解のにじみや偽の振動などの非物理的効果を導入します。線形法では一次以上の非振動解を提供できないことを証明したGodunov の順序障壁定理(Godunov 1954、Godunov 1959) の発表以来、これらの問題は大きな注目を集め、これらの問題を大幅に克服する多くの手法が開発されました。衝撃が存在する場合に偽の振動や非物理的振動を回避するには、全変動減少(TVD) 特性を示す方式が特に魅力的です。特に効果的であることが証明されている 2 つの手法は、MUSCL ( Monotone Upstream-Centered Schemes for Conservation Laws )、フラックス/スロープリミッター法 (van Leer 1979、Hirsch 1991、Anderson、Tannehill、Pletcher 2016、Laney 1998、Toro 1999)、および WENO ( Weighted Essentially Non-Oscillatory ) 法 (Shu 1998、Shu 2009) です。どちらの手法も、通常は高解像度スキームと呼ばれます(図を参照)。

MUSCLメソッドは、滑らかな領域では一般に 2 次精度であり (ただし、より高次の精度で定式化することもできます)、不連続点の周囲で優れた解像度の単調なソリューションを提供します。実装が簡単で、計算効率に優れています。

衝撃と複雑で滑らかな解構造の両方を含む問題の場合、WENO スキームは、不連続点の周りの優れた解像度とともに、2 次スキームよりも高い精度を提供できます。ほとんどのアプリケーションでは、5 次精度の WENO スキームを使用する傾向がありますが、問題が滑らかな領域で精度の向上を要求する場合は、より高次のスキームを使用できます。

全体論的離散化法は、サブグリッド規模のダイナミクスを体系的に分析して、滑らかな領域で指定された誤差の順序に正確で、サブグリッド構造の代数学習を通じて急速なグリッドの変化に自動的に適応する数値離散化の閉包を代数的に構築します (Roberts 2003)。Web サービスは、送信可能なクラス内の任意の PDE を分析します。

参照

参考文献

Godunov, Sergei K. (1954).博士論文: 衝撃波のさまざまな方法(論文). モスクワ国立大学.
Godunov, Sergei K. (1959). 「流体力学方程式の不連続解の数値解法のための差分スキーム」Mat. Sbornik . 47 : 271–306.翻訳：US Joint Publ. Res. Service、JPRS 7226、1969年。
Harten, A. (1983). 「双曲型保存則の高解像度スキーム」J. Comput. Phys . 49 (3): 357–393. Bibcode :1983JCoPh..49..357H. doi :10.1016/0021-9991(83)90136-5. hdl : 2060/19830002586 .
Hirsch, Charles (1991)。非粘性および粘性流れの計算方法。内部および外部流れの数値計算。第 2 巻。Wiley。ISBN 978-0-471-92452-4。
Laney, Culbert B. (1998)。計算ガス力学。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-107-39360-8。
Roberts, AJ (2003). 「全体論的有限差分アプローチは線形ダイナミクスを一貫してモデル化する」.計算数学. 72 (241): 247–262. arXiv : math/0003135 . doi :10.1090/S0025-5718-02-01448-5. S2CID 11525980.
Shu, CW. (1998)。「双曲型保存則のための本質的に非振動および重み付けされた本質的に非振動のスキーム。Cockburn 著」。Quarteroni , Alfio (編)。非線形双曲型方程式の高度な数値近似。数学の講義ノート。第 1697 巻。Springer。pp. 325–432。doi :10.1007 / BFb0096355。hdl :2060/19980007543。ISBN 978-3-540-49804-9。
Shu, CW. (2009). 「対流支配問題に対する高次重み付け本質的に非振動スキーム」SIAM Review . 51 (1): 82–126. Bibcode :2009SIAMR..51...82S. doi :10.1137/070679065.
アンダーソン、デール; タネヒル、ジョン C.; プレッチャー、リチャード H. (2016)。計算流体力学と熱伝達 (第 3 版)。テイラー & フランシス。ISBN 978-1-4665-7830-2。
Toro, Eleuterio F. (1999)。『流体力学のためのリーマンソルバーと数値解析法：実践入門（第 2 版）』。Springer。ISBN 978-3-662-03915-1。
van Leer, B. (1979). 「究極の保守的差分スキームに向けて V. Godunov 法の二次続編」. J. Comput. Phys . 32 (1): 101–136. Bibcode :1979JCoPh..32..101V. doi :10.1016/0021-9991(79)90145-1.