ベルマン擬スペクトル法

ベルマン擬似スペクトル法は、ベルマンの最適性原理に基づく最適制御のための擬似スペクトル法である。これは、ロスによって造られた用語である擬似スペクトル最適制御というより広い理論の一部である。^[1] この方法は、リチャード・E・ベルマンにちなんで名付けられた。ロスら[2] [3]によって最初に^{マルチスケール} 最適制御問題を解決する手段として導入され、後に一般的な最適制御問題に対する準最適解を得るために拡張された。

ベルマン擬似スペクトル法のマルチスケール版は、ロス・ファルー擬似スペクトル法のスペクトル収束特性に基づいています。つまり、ロス・ファルー擬似スペクトル法は指数関数的に高速に収束するため、解に高周波成分がある場合でも、非常に少ないノード数で解への点ごとの収束が得られます。最適制御におけるこのエイリアシング現象は、ロスらによって初めて発見されました。^[2] ロスらは、信号処理技術を使用して解をアンチエイリアシングするのではなく、ベルマンの最適性原理を収束した解に適用してノード間の情報を抽出できると提案しました。ガウス・ロバットノードは境界点に集まるため、ロスらは、初期条件の周りのノード密度がナイキスト・シャノンのサンプリング定理を満たす場合、ベルマンセグメントと呼ばれる区分セグメント上で再帰的に最適制御問題を解くことで完全な解を回復できると示唆しました。^[2]

この方法の拡張版として、ロスら^[3]は、必ずしも最適ではない実行可能な解を生成するためにもこの方法を使うことができると提案した。このバージョンでは、解が最適解に収束していない可能性があるという認識の下でも、より少ないノード数でベルマン擬似スペクトル法を適用することができる。この状況では、実行可能な解が得られる。

ベルマン擬似スペクトル法の注目すべき特徴は、元の擬似スペクトルコストとベルマンセグメントの合計によって生成されるコストに基づいて、いくつかの準最適性の尺度を自動的に決定することです。^{[2] [3]}

ベルマン擬似スペクトル法の計算上の利点の 1 つは、ノード ポイントの分布におけるガウス規則を回避できることです。つまり、標準的な擬似スペクトル法では、ノード ポイントの分布はガウス分布です (通常、有限期間の場合は Gauss-Lobatto 分布、無限期間の場合は Gauss-Radau 分布)。ガウス ポイントは、区間の中央ではまばらで (無限期間の問題では中央はシフトした意味で定義されます)、境界では密です。境界付近のポイントの 2 次累積には、ノードを無駄にする効果があります。ベルマン擬似スペクトル法では、初期ポイントでのノード累積を利用してソリューションをアンチエイリアスし、残りのノードを破棄します。したがって、最終的なノード分布は非ガウスで密ですが、計算方法ではまばらな構造が保持されます。

ベルマン擬似スペクトル法は、ロスら^[2]によって、非常に低い推力での軌道最適化という困難な問題を解決するために初めて適用されました。この方法は、宇宙カプセルを月周回軌道からピンポイントの地球境界条件まで移動させて再突入を成功させるという地球横断投入問題に対する非常に高精度な解を生成するという実用的な問題を解決するために、うまく適用されてきました。^{[4] [5]}

ベルマン擬スペクトル法は、ロス・ファルー擬スペクトル法によって生成された擬スペクトル解の最適性の追加チェックとして最も一般的に使用されます。つまり、ロス・ファルー擬スペクトル法によって得られた解とポンチャギンの最小原理を組み合わせて使用​​することに加えて、ベルマン擬スペクトル法は、計算された解の最適性に関する主のみのテストとして使用されます。^{[6] [7]}

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