フラックスリミッター

フラックス リミッターは高解像度スキームで使用されます。高解像度スキームとは、偏微分方程式(PDE)で記述される流体力学などの科学および工学の問題を解決するために使用される数値スキームです。フラックス リミッターは、 MUSCL スキームなどの高解像度スキームで使用され、高次空間離散化スキームでは衝撃、不連続性、またはソリューション領域での急激な変化によって発生する誤った振動 (揺れ) を回避します。フラックス リミッターを適切な高解像度スキームとともに使用すると、ソリューションは全変動逓減(TVD) になります。

フラックス リミッターは、同じ数学的形式を持ち、衝撃波や不連続点付近の溶液勾配を制限する効果があるため、スロープリミッターとも呼ばれることに注意してください。一般に、フラックス リミッターという用語は、リミッターがシステムフラックスに作用するときに使用され、スロープ リミッターという用語は、リミッターがシステム状態(圧力、速度など) に作用するときに使用されます。

フラックス リミッター スキームの構築の背後にある主な考え方は、空間微分を現実的な値に制限することです。科学的および工学的問題の場合、これは通常、物理的に実現可能で意味のある値を意味します。これらは、 PDE で記述される問題を解くための高解像度スキームで使用され、鋭い波面が存在する場合にのみ機能します。滑らかに変化する波の場合、フラックス リミッターは動作せず、空間微分は、スプリアス振動を導入することなく、高次の近似で表すことができます。以下の 1D 半離散スキームを検討してください。

${\displaystyle {\frac {du_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)-F\left(u_{i-{1}/{2}}\right)\right]=0,}$

ここで、およびはi番目のセルのエッジフラックスを表します。これらのエッジフラックスを低解像度および高解像度のスキームで表現できる場合、フラックスリミッターは、次のように、特定のセルに近い勾配に応じてこれらのスキームを切り替えることができます。 ${\displaystyle F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)}$${\displaystyle F\left(u_{i-1/2}\right)}$

$${\displaystyle F\left(u_{i+1/2}\right)=f_{i+1/2}^{\text{low}}-\phi \left(r_{i}\right)\left(f_{i+1/2}^{\text{low}}-f_{i+1/2}^{\text{high}}\right),}$$ $${\displaystyle F\left(u_{i-1/2}\right)=f_{i-1/2}^{\text{low}}-\phi \left(r_{i-1}\right)\left(f_{i-1/2}^{\text{low}}-f_{i-1/2}^{\text{high}}\right),}$$

どこ

• ${\displaystyle f^{\text{low}}}$低解像度のフラックスです。
• ${\displaystyle f^{\text{high}}}$高解像度のフラックスです。
• ${\displaystyle \phi \ (r)}$はフラックス制限関数であり、
• ${\displaystyle r}$解メッシュ上の連続勾配の比率を表す。すなわち、$${\displaystyle r_{i}={\frac {u_{i}-u_{i-1}}{u_{i+1}-u_{i}}}.}$$

リミッタ関数は、ゼロ以上、つまり に制限されます。したがって、リミッタがゼロの場合 (急勾配、反対の傾斜、またはゼロ勾配)、フラックスは低解像度スキームで表されます。同様に、リミッタが 1 の場合 (滑らかな解)、高解像度スキームで表されます。さまざまなリミッタには異なるスイッチング特性があり、特定の問題と解法スキームに従って選択されます。すべての問題に対して適切に機能する特定のリミッタは見つかっておらず、通常は試行錯誤に基づいて特定の選択が行われます。 ${\displaystyle \phi \ (r)\geq 0}$

フラックス/スロープリミッタ機能の一般的な形式は次のとおりです。 ${\displaystyle \phi (r)}$

• CHARM [2次TVDではない] ^[1] $${\displaystyle \phi _{cm}(r)={\begin{cases}{\frac {r\left(3r+1\right)}{\left(r+1\right)^{2}}},&r>0,&\lim _{r\to \infty }\phi _{cm}(r)=3\\0\quad \quad \,,&r\leq 0\end{cases}}}$$
• HCUS [2次TVDではない] ^[2] $${\displaystyle \phi _{hc}(r)={\frac {1.5\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+2\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hc}(r)=3.}$$
• HQUICK [2次TVDではない] ^[2] $${\displaystyle \phi _{hq}(r)={\frac {2\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+3\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hq}(r)=4.}$$
• コーレン^[3] – 十分に滑らかなデータに対して3次精度^[4] $${\displaystyle \phi _{kn}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\min \left({\dfrac {(1+2r)}{3}},2\right)\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{kn}(r)=2.}$$
• minmod – 対称^[5] $${\displaystyle \phi _{mm}(r)=\max \left[0,\min \left(1,r\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mm}(r)=1.}$$
• 単調中心（MC） -対称^[6] $${\displaystyle \phi _{mc}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,0.5(1+r),2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mc}(r)=2.}$$
• オシャー ^[7] $${\displaystyle \phi _{os}(r)=\max \left[0,\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{os}(r)=\beta .}$$
• ミサゴ– 対称型^[2] $${\displaystyle \phi _{op}(r)={\frac {1.5\left(r^{2}+r\right)}{\left(r^{2}+r+1\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{op}(r)=1.5\,.}$$
• スマート[2次TVDではない] ^[8] $${\displaystyle \phi _{sm}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),4\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sm}(r)=4.}$$
• スーパービー– 対称型^[5] $${\displaystyle \phi _{sb}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,1\right),\min \left(r,2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sb}(r)=2.}$$
• スウェビー– 対称型^[9] $${\displaystyle \phi _{sw}(r)=\max \left[0,\min \left(\beta r,1\right),\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sw}(r)=\beta .}$$
• UMIST – 対称型^[10] $${\displaystyle \phi _{um}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),\left(0.75+0.25r\right),2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{um}(r)=2.}$$
• ファン・アルバダ 1 – 対称^[11] $${\displaystyle \phi _{va1}(r)={\frac {r^{2}+r}{r^{2}+1}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va1}(r)=1.}$$
• ファン・アルバダ2 – 高空間順序スキームで使用される代替形式[2次TVDではない] ^[12] $${\displaystyle \phi _{va2}(r)={\frac {2r}{r^{2}+1}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va2}(r)=0.}$$
• ファン・レール– 対称的^[13] $${\displaystyle \phi _{vl}(r)={\frac {r+\left|r\right|}{1+\left|r\right|}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{vl}(r)=2.}$$
• 上記の対称性を示すリミッタはすべて、次の対称性特性を示します。$${\displaystyle {\frac {\phi \left(r\right)}{r}}=\phi \left({\frac {1}{r}}\right).}$$

これは、前方勾配と後方勾配の制限アクションが同じように動作することを保証するため、望ましい特性です。

別途記載がない限り、上記のリミッタ関数は 2 次TVDです。つまり、スキームの安定性を保証するために、TVD 領域と呼ばれるソリューションの特定の領域を通過するように設計されているということです。2 次 TVD リミッタは、少なくとも次の基準を満たしています。

• ${\displaystyle r\leq \phi (r)\leq 2r,\left(0\leq r\leq 1\right)\ }$、
• ${\displaystyle 1\leq \phi (r)\leq r,\left(1\leq r\leq 2\right)\ }$、
• ${\displaystyle 1\leq \phi (r)\leq 2,\left(r>2\right)\ }$、
• ${\displaystyle \phi (1)=1\ }$、

2次TVD方式の許容リミッタ領域は、右のSweby図に示されています^[9]。また、TVD領域に重ねられたリミッタ関数を示すプロットは下に表示されます。この図では、OsherリミッタとSwebyリミッタのプロットは、を使用して生成されています。 ${\displaystyle \beta =1.5}$

興味深い形を持つ追加のリミッタは、van-Leerの1パラメータminmodリミッタファミリです。^{[14] [15] [16]}これは次のように定義されます。 $${\displaystyle \phi _{mg}(r,\theta )=\max \left(0,\min \left(\theta r,{\frac {1+r}{2}},\theta \right)\right),\quad \theta \in \left[1,2\right].}$$

注: は、に減少するときに に対して最も散逸性が高くなり、 に対して最も散逸性が低くなります。 ${\displaystyle \phi _{mg}}$${\displaystyle \theta =1,}$${\displaystyle \phi _{mm},}$${\displaystyle \theta =2}$

• ゴドゥノフの定理
• 高解像度スキーム
• MUSCLスキーム
• セルゲイ・K・ゴドゥノフ
• 総変動は減少している

• Hirsch, C. (1990)、内部および外部流れの数値計算、第 2 巻: 非粘性および粘性流れの計算方法、Wiley、ISBN 978-0-471-92452-4
• Leonard, BP; Leschziner, MA; McGuirk, J. (1978)、「QUICK アルゴリズム: 高度に対流する流れのための均一な 3 次有限差分法」、層流および乱流の数値計算法に関する第 1 回会議会議論文集、スウォンジー、p. 807{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

• Laney, Culbert B. (1998)、Computational Gasdynamics、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-57069-5
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• ルヴェック、ランドール（2002）、双曲型問題のための有限体積法、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-00924-3
• Toro, EF (1999)、リーマンソルバーと流体力学の数値解析法（第2版）、Springer-Verlag、ISBN 3-540-65966-8
• タネヒル、ジョン C.、アンダーソン、デール アーデン、プレッチャー、リチャード H. (1997)、計算流体力学と熱伝達(第 2 版)、テイラー アンド フランシス、ISBN 1-56032-046-X
• Wesseling、Pieter (2001)、数値流体力学の原理、Springer-Verlag、ISBN 3-540-67853-0