境界粒子法

応用数学において、境界粒子法 (BPM)は、非同次偏微分方程式の数値解法において内部ノードがまったく必要とされないという意味で、境界のみのメッシュレス (メッシュフリー) 選点法です。数値実験により、BPM はスペクトル収束性を持つことが示されています。その補間行列は対称にすることができます。

歴史と最近の動向

近年、境界要素法（BEM）などの境界離散化手法と組み合わせて非同次偏微分方程式の特定の解を評価するための有望な手法として、双対相互法（DRM） ^[1]と多重相互法（MRM）[ ^2]が注目されています。たとえば、いわゆるDR-BEMとMR-BEMは、非同次問題の数値解法における一般的なBEM手法です。

DRM は、特定の解を評価する一般的な方法になっています。しかし、DRM では、収束と安定性を保証するために内部ノードが必要です。MRM は、非同次問題に内部ノードを使用する必要がない点で、DRM よりも優れています。^[要出典] DRM と比較すると、MRM は補間行列の構築に計算コストが高く、消滅プロセスで高次ラプラシアン演算子を従来どおり使用するため、一般的な非同次問題への適用範囲が限られています。

上記の問題を克服するために、再帰的複合多重相互法（RC-MRM）^[3]^[4]が提案されました。RC-MRMの重要なアイデアは、高次ラプラシアン演算子の代わりに高次複合微分演算子を使用して、支配方程式内のいくつかの非同次項を除去することです。RC-MRMは、MRM補間行列の再帰構造を使用して計算コストを削減します。

境界粒子法 (BPM) は、RC-MRM と、基本解法(MFS)、境界ノット法(BKM)、正則化メッシュレス法 (RMM )、特異境界法( SBM)、トレフツ法(TM) などの強形式メッシュレス境界選点離散化スキームを組み合わせた、非同次偏微分方程式の境界のみの離散化です。BPM は、非同次ヘルムホルツ方程式や対流拡散方程式などの問題に適用されています。BPM の補間表現はウェーブレット級数です。

BPMをヘルムホルツ方程式^{[3] 、} ポアソン方程式^[4]、板曲げ問題^[5]に適用する場合、高次基本解または一般解、調和関数^[6]、トレフツ関数（T完全関数）^[7]がよく使用され、たとえばベルガー方程式、ウィンクラー方程式、振動薄板方程式^{[8]などです。この方法は、}ポアソン方程式^[9]や非同次ヘルムホルツ方程式に関連する逆コーシー問題にも適用されています。^[10]

追加コメント

BPM は、滑らかでない、大きな勾配を持つ関数や離散測定データの集合など、複雑なソース関数を持つ問題の解決に困難に直面する可能性がある。このような問題の解決には、次のことが含まれる: ^{[引用が必要]}

（１）複素関数または離散測定データの集合は、多項式または三角関数級数の和によって補間することができる。次に、RC-MRMは非同次方程式を高次同次方程式に簡約することができ、BPMは境界のみの離散化でこれらの問題を解決するために実装することができる。

（２）領域分割は、大勾配ソース関数問題のBPM境界のみの解法に使用できる。

参照

参考文献

^ Partridge PW、Brebbia CA、Wrobel LC、「二重相互境界要素法」。Computational Mechanics Publications、1992年
^ Nowak AJ、Neves AC、「多重相互境界要素法」。計算力学出版、1994年
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^ ab Chen W、Fu ZJ、Jin BT、「再帰的複合多重相互法に基づく不均質問題に対する真の境界のみのメッシュフリー法」境界要素によるエンジニアリング解析2010、34(3): 196–205
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^ Hon YC、Wu ZM、「逆境界決定問題の数値計算」境界要素によるエンジニアリング解析2000、24(7–8): 599–606
^ Chen W、Fu ZJ、Qin QH、「高次トレフツ関数による境界粒子法」。CMC ：Computers、Materials & Continua 2010、13（3）：201–217
^ Chen W、Shen ZJ、Shen LJ、Yuan GW、「振動薄板、ベルガー板、ウィンクラー板のさまざまな順序の一般解と基本解」境界要素によるエンジニアリング解析2005、29(7): 699–702
^ Fu ZJ、Chen W、Zhang CZ、「コーシー不均質ポテンシャル問題に対する境界粒子法」。科学と工学における逆問題2012、20(2): 189–207
^ 陳 W、傅 ZJ、「非同次ヘルムホルツ方程式の逆コーシー問題に対する境界粒子法」海洋科学技術ジャーナル–台湾 2009、17(3): 157–163

外部リンク

境界粒子法

[1] Partridge PW、Brebbia CA、Wrobel LC、「二重相互境界要素法」。Computational Mechanics Publications、1992年

[2] Nowak AJ、Neves AC、「多重相互境界要素法」。計算力学出版、1994年

[Chena-3] Chen W、「ヘルムホルツ問題へのメッシュフリー境界粒子法の適用」境界要素によるエンジニアリング解析2002,26(7): 577–581

[Chenb-4] Chen W、Fu ZJ、Jin BT、「再帰的複合多重相互法に基づく不均質問題に対する真の境界のみのメッシュフリー法」境界要素によるエンジニアリング解析2010、34(3): 196–205

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[6] Hon YC、Wu ZM、「逆境界決定問題の数値計算」境界要素によるエンジニアリング解析2000、24(7–8): 599–606

[7] Chen W、Fu ZJ、Qin QH、「高次トレフツ関数による境界粒子法」。CMC ：Computers、Materials & Continua 2010、13（3）：201–217

[8] Chen W、Shen ZJ、Shen LJ、Yuan GW、「振動薄板、ベルガー板、ウィンクラー板のさまざまな順序の一般解と基本解」境界要素によるエンジニアリング解析2005、29(7): 699–702

[9] Fu ZJ、Chen W、Zhang CZ、「コーシー不均質ポテンシャル問題に対する境界粒子法」。科学と工学における逆問題2012、20(2): 189–207

[10] 陳 W、傅 ZJ、「非同次ヘルムホルツ方程式の逆コーシー問題に対する境界粒子法」海洋科学技術ジャーナル–台湾 2009、17(3): 157–163