ブロックマトリックス

数学において、ブロック行列または分割行列は、ブロックまたは部分行列と呼ばれるセクションに分割されていると解釈される行列です。^{[1] [2]}

直感的には、ブロック行列として解釈される行列は、元の行列を水平線と垂直線の集合として視覚化することができ、これにより元の行列は小さな行列の集合に分割または分割されます。 ^{[3] [2]}たとえば、以下に示す 3x4 行列は、水平線と垂直線によって 4 つのブロックに分割されています。左上の 2x3 ブロック、右上の 2x1 ブロック、左下の 1x3 ブロック、右下の 1x1 ブロックです。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\\hline c_{1}&c_{2}&c_{3}&d\end{array}}\right]}$

任意の行列は、1 つ以上の方法でブロック行列として解釈できます。各解釈は、行と列がどのように分割されるかによって定義されます。

この概念は、 を集合 に分割し、次にを集合 に分割することで、による行列に対してより正確に表すことができます。元の行列は、元の行列のエントリが、およびである のオフセットエントリと1 対 1で対応するという意味で、これらのグループの「合計」と見なされます。[ ^4]${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{行グループ}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\text{colgroups}}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle (s,t)}$ ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x\in {\text{行グループ}}}$${\displaystyle y\in {\text{colgroups}}}$

ブロック行列代数は一般に行列のカテゴリの副積から生じる。^[5]

マトリックス

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}}$

4つのブロックに分割して視覚化することができます。

${\displaystyle \mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right]}$。

水平線と垂直線は特別な数学的意味を持たないが^{[6] [7]}、分割を視覚化するための一般的な方法である。^{[6] [7]}この分割により、は4つの2×2ブロックに分割され、 ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.}$

分割された行列は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}$^[8]

とする。の分割はを次の形式で 表現したものである。${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$、

ここで、は連続する部分行列、、 である。^[9]分割の要素はブロックと呼ばれる。^[9]${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}m_{i}=m}$${\displaystyle \sum _{j=1}^{q}n_{j}=n}$${\displaystyle A_{ij}}$

この定義によれば、どの列のブロックも列の数は同じでなければなりません。^[9]同様に、どの行のブロックも行の数は同じでなければなりません。^[9]

行列は様々な方法で分割できる。^[9]例えば、行列が次のように書かれる場合、 その行列は列によって分割されていると言われる。${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n})}$、

ここで はの 番目の列です。^[9]行列は行ごとに分割することもできます。 ${\displaystyle a_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}^{T}\\a_{2}^{T}\\\vdots \\a_{m}^{T}\end{bmatrix}}}$、

は の 番目の行です。[ ^9]${\displaystyle a_{i}^{T}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle A}$

多くの場合、^[9] 2x2パーティションに遭遇します

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$, ^[9]

特に、がスカラーである 形式では、${\displaystyle A_{11}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$^[9 ]

させて

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}}$

ここで です。（この行列は§ 加算と§ 乗算で再利用されます。）その転置は ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}}}$, ^{[9] [10]}

転置を共役転置に置き換えても同じ式が成り立つ。^[9]

ブロック行列に対しては、特別な形式の行列転置も定義できます。この場合、個々のブロックは並べ替えられますが、転置はされません。 がブロック を持つブロック行列であるとすると、 のブロック転置はブロックを持つブロック行列です。[ ^11]従来のトレース演算子と同様に、ブロック転置はとなる線形マッピングです。^[10]ただし、一般に、とのブロックが可換でない限り、この特性は成り立ちません。 ${\displaystyle A=(B_{ij})}$${\displaystyle k\times l}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle B_{ij}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle l\times k}$${\displaystyle A^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle \left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}}$${\displaystyle (A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle (AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$

させて

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1s}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}&B_{r2}&\cdots &B_{rs}\end{bmatrix}}}$、

ここで、 を§転置で定義された行列とします。（この行列は§乗算で再利用されます。）、、、の 場合、${\displaystyle B_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p=r}$${\displaystyle q=s}$${\displaystyle k_{i}=m_{i}}$${\displaystyle \ell _{j}=n_{j}}$

${\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots &A_{1q}+B_{1q}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}+B_{p1}&A_{p2}+B_{p2}&\cdots &A_{pq}+B_{pq}\end{bmatrix}}}$^[9 ]

因子の部分行列の代数のみを扱うブロック分割行列積を使用することもできます。ただし、因子の分割は任意ではなく、2つの行列間の「適合分割」^[12]が必要であり、使用されるすべての部分行列積が定義されます。^[13]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

2 つの行列および が、積について等角的に分割されていると言われるのは、乗算が、部分行列をスカラーであるかのように扱いながらも順序を保ったまま実行される場合、および関係する部分行列の積と和がすべて定義されている場合です。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AB}$

— アラク・M・マタイとハンス・J・ハウボルド『線形代数：物理学者とエンジニアのためのコース』^[14]

§転置で定義された行列をとし、§加算で定義された行列を とします。すると、行列積 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle C=AB}$

ブロック単位で実行して行列を生成することができます。結果の行列の行列は、次のものを掛け合わせて計算されます。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle (p\times s)}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}.}$^[6]

または、繰り返されるインデックスを暗黙的に合計するアインシュタイン表記法を使用します。

${\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.}$

行列で 表すと、${\displaystyle C}$

${\displaystyle C=AB={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{is}\\\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{is}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{is}\end{bmatrix}}}$^[9 ]

行列が 4 つのブロックに分割されている場合、次のようにブロックごとに反転できます。

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&-{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\\-\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}},}$

ここでAとDは任意の大きさの正方形ブロックであり、BとCはそれらと分割可能である。さらに、 AとPにおけるAのシュアー補集合P / A = D − CA −1 ^Bは逆行列を持つ必要がある。^[15]

同様に、ブロックを並べ替えると次のようになります。

${\displaystyle {P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&-\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\\-{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&\quad {D}^{-1}+{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[16]

ここで、DとPにおけるDのシュアー補集合：P / D = A − BD ⁻¹ Cは逆行列を持つ必要がある。

AとD が両方とも逆である場合、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{B}{D}^{-1}{C}\right)^{-1}&{0}\\{0}&\left({D}-{C}{A}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{I}&-{B}{D}^{-1}\\-{C}{A}^{-1}&{I}\end{bmatrix}}.}$

ワインスタイン・アロンザイン恒等式により、ブロック対角行列の 2 つの行列のうち 1 つが逆行列である場合、もう 1 つは逆行列になります。

上記の行列の行列式の公式は、適切なさらなる仮定の下で、4つの部分行列からなる行列に対しても成立する。ライプニッツの公式またはシューア補数を含む因数分解のいずれかを使用して証明できる最も簡単な公式は、 ${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle A,B,C,D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}.}$^[16]

この公式を使用すると、との特性多項式は同じであり、との特性多項式の積に等しいことがわかります。さらに、または が対角化可能である場合、とも 対角化可能です。その逆は偽であるため、 を確認してください。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$

が逆である 場合、${\displaystyle A}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right),}$^[16]

そして逆行列が成り立つ 場合は${\displaystyle D}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}$^{[17] [16]}

ブロックが同じサイズの正方行列である場合、さらに別の公式が成り立ちます。たとえば、と が可換である場合（つまり）、 ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle CD=DC}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-BC).}$^[18]

この公式は、個々のブロック間の適切な可換条件の下で、ブロック数以上の行列に一般化されている。 ^[19]${\displaystyle 2\times 2}$

およびについては、次の式が成り立ちます（と が可換でなくても） ${\displaystyle A=D}$${\displaystyle B=C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).}$^[16]

任意の行列A (サイズm  ×  n ) とB (サイズp  ×  q ) に対して、AとBの直和はA Bと表され、次のように定義されます。  ${\displaystyle \oplus }$ 

${\displaystyle {A}\oplus {B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}$^[10]

例えば、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

この操作は、任意の次元の配列に自然に一般化されます ( AとBの次元数が同じである 場合)。

2 つの行列のベクトル空間の直和内の任意の要素は、2 つの行列の直和として表すことができることに注意してください。

ブロック対角行列とは、主対角ブロックが正方行列で、対角外ブロックがすべてゼロ行列であるような正方行列であるブロック行列である。 ^[16]つまり、ブロック対角行列Aは次の形式を持つ。

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}}$

ここで、A _{k は}、すべてのk = 1, ..., nに対して正方行列です。言い換えると、行列AはA ₁、 ..., A _nの直和です。^{[16]また、} A ₁  ⊕  A ₂  ⊕ ... ⊕  A _n ^[10]または diag( A ₁、A ₂、 ..., A _n ) ^[10]と表記することもできます （後者は対角行列に使用されるのと同じ形式です）。任意の正方行列は、ブロックを 1 つだけ持つブロック対角行列と見なすことができます。

行列式とトレースについては、次の特性が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\det {A}&=\det {A}_{1}\times \cdots \times \det {A}_{n},\end{aligned}}}$^{[20] [21]}および

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} {A}&=\operatorname {tr} {A}_{1}+\cdots +\operatorname {tr} {A}_{n}.\end{aligned}}}$^{[16] [21]}

ブロック対角行列が逆行列であるのは、その主対角ブロックのそれぞれが逆行列である場合に限り、この場合、その逆行列は次式で表される別のブロック対角行列である。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}_{1}^{-1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}^{-1}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}^{-1}\end{bmatrix}}.}$^[22]

の固有値[ ^23] と固有ベクトルは、単にそれらを結合したものである。^[21]${\displaystyle {A}}$${\displaystyle {A}_{k}}$

ブロック三角行列は、もう一つの特殊なブロック行列で、ブロック対角行列と同じように正方行列であり、下対角、主対角、上対角に正方行列（ブロック）を持ち、他のすべてのブロックはゼロ行列です。これは本質的に三角行列ですが、スカラーの代わりに部分行列を持ちます。ブロック三角行列は次の形式を持ちます。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {A}={\begin{bmatrix}{B}_{1}&{C}_{1}&&&\cdots &&{0}\\{A}_{2}&{B}_{2}&{C}_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&{A}_{k}&{B}_{k}&{C}_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&{A}_{n-1}&{B}_{n-1}&{C}_{n-1}\\{0}&&\cdots &&&{A}_{n}&{B}_{n}\end{bmatrix}}}$

ここで、、はそれぞれ下対角、主対角、上対角の正方行列である。^{[24] [25]}${\displaystyle {A}_{k}}$${\displaystyle {B}_{k}}$${\displaystyle {C}_{k}}$

ブロック三角行列は、工学的問題（例えば、数値流体力学）の数値解法でよく見られる。LU分解の最適化された数値法が利用可能であり^[26]、したがって、ブロック三角行列を係数行列として持つ方程式系の効率的な解法アルゴリズムが利用可能である。三角行列を含む方程式系の効率的な解法に使用されるトーマスアルゴリズムは、行列演算を使用してブロック三角行列に適用することもできる（ブロックLU分解も参照）。

行列が上ブロック三角行列（またはブロック上三角行列^[27]）であるとは、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$、

ここで、すべての。^{[23] [27]}${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

行列が下ブロック三角行列であるとき、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$、

ここで、すべての。^[23]${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

ブロックテプリッツ行列は、別の特殊なブロック行列であり、テプリッツ行列には対角線に沿って繰り返される要素があるため、行列の対角線に沿って繰り返されるブロックが含まれます。

行列がブロックテプリッツ行列であるのは、すべての に対して成り立つとき、つまり、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$${\displaystyle k-i=l-j}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$、

ここで。^[23]${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

行列がブロックハンケル行列であるのは、すべての に対して成り立つとき、つまり、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{(i,j)}=A_{(k,l)}}$${\displaystyle i+j=k+l}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$、

ここで。^[23]${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}}$

• クロネッカー積（ブロック行列となる行列直積）
• ジョルダン標準形（有限次元複素ベクトル空間上の線型作用素の標準形）
• シュトラッセンアルゴリズム（従来の行列乗算アルゴリズムよりも高速な行列乗算アルゴリズム）

• Strang, Gilbert (1999)。「講義 3: 乗算と逆行列」。MIT オープン コースウェア。18:30～21:10。