ポアソン問題の剛性行列 簡略化のため、まずポアソン問題を 考察する。
− ∇ 2 u = f {\displaystyle -\nabla ^{2}u=f} ある領域Ω上で、 Ω の境界上で境界条件u = 0有限要素法で離散化するために、 Ω 上で定義され、境界上でゼロとなる基底関数 { φ 1 , …, φ n } を選択する。次に、近似する。
u ≈ u h = u 1 φ 1 + ⋯ + u n φ n 。 {\displaystyle u\about u^{h}=u_{1}\varphi _{1}+\cdots +u_{n}\varphi _{n}.} 係数u 1 、u 2 、 …、u n は φ i に対して直交するように決定されます。
∫ Ω φ 私 ⋅ f d x = − ∫ Ω φ 私 ∇ 2 u h d x = − ∑ j （ ∫ Ω φ 私 ∇ 2 φ j d x ） u j = ∑ j （ ∫ Ω ∇ φ 私 ⋅ ∇ φ j d x ） u j 。 {\displaystyle \int _{\Omega }\varphi _{i}\cdot f\,dx=-\int _{\Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}u^{h}\,dx=-\sum _{j}\left(\int _{\Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}\varphi _{j}\,dx\right)\,u_{j}=\sum _{j}\left(\int _{\Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx\right)u_{j}.} 同次ディリクレ境界条件 の結果として、剛性行列は 、次のように定義されるn 要素正方行列 A
A 私 j = ∫ Ω ∇ φ 私 ⋅ ∇ φ j d x 。 {\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=\int _{\Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.} 荷重ベクトル Fを F 私 = ∫ Ω φ 私 f d x 、 {\textstyle \mathbf {F} _{i}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx,} u i は線形システムAu = F 対称行列 、すなわちA ij A ji 固有値は すべて実数です。さらに、これは厳密に正定値行列 であるため、システムAu = F
剛性行列は、領域に使用される計算グリッドと使用される有限要素の種類によって異なることに注意してください。たとえば、区分的二次有限要素を使用する場合の剛性行列は、区分的線形要素を使用する場合よりも自由度が多くなります。
他の問題に対する剛性マトリックス 他の偏微分方程式の剛性行列の決定も基本的には同じ手順に従いますが、境界条件の選択によって複雑になる場合があります。より複雑な例として、楕円型方程式を考えてみましょう。
− ∑ k 、 l ∂ ∂ x k （ 1 k l ∂ u ∂ x l ） = f {\displaystyle -\sum _{k,l}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}\right)=f} どこA （ x ） = 1 k l （ x ） {\displaystyle \mathbf {A} (x)=a^{kl}(x)} x に対して定義される正定値行列である。ロビン境界条件を課す。
− ∑ k 、 l ν k 1 k l ∂ u ∂ x l = c （ u − g ） 、 {\displaystyle -\sum _{k,l}\nu _{k}a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}=c(ug),} ここで、νkは 単位外向き法線ベクトル ν のk 方向成分である。解くべきシステムは次のとおりである。
∑ j （ ∑ k 、 l ∫ Ω 1 k l ∂ φ 私 ∂ x k ∂ φ j ∂ x l d x + ∫ ∂ Ω c φ 私 φ j d s ） u j = ∫ Ω φ 私 f d x + ∫ ∂ Ω c φ 私 g d s 、 {\displaystyle \sum _{j}\left(\sum _{k,l}\int _{\Omega }a^{kl}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{l}}}dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{i}\varphi _{j}\,ds\right)u_{j}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{i}g\,ds,} グリーン恒等式 の類似式を用いて示すことができるように、係数u i は 依然として線形方程式系を解くことによって求められますが、その系を表す行列は通常のポアソン問題の行列とは著しく異なります。
一般に、次数2 k の各スカラー楕円型演算子 Lには、 ソボレフ空間 H k 双線形形式 B が対応付けられており、方程式Lu = f の弱形式は 次のようになります。
B [ u 、 v ] = （ f 、 v ） {\displaystyle B[u,v]=(f,v)} H k v に対して。すると、この問題の剛性行列は次のようになります。
A 私 j = B [ φ j 、 φ 私 ] 。 {\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=B[\varphi _{j},\varphi _{i}].}
剛性マトリックスの実際的な組み立て 有限要素法をコンピュータ上で実装するには、まず基底関数のセットを選択し、次に剛性行列を定義する積分を計算する必要があります。通常、領域Ω は、何らかのメッシュ生成によって 離散化され 、互いに重ならない三角形 または四角形 （一般に要素と呼ばれる）に分割されます。基底関数は、各要素内では任意の次数を持つ多項式であり、要素境界を越えて連続するように選択されます。最も単純な選択肢は、三角形要素の場合は 区分的線形関数 、長方形要素の場合は区分的双線形関数です。
要素T k 剛性行列 A [ k ]
A 私 j [ k ] = ∫ T k ∇ φ 私 ⋅ ∇ φ j d x 。 {\displaystyle \mathbf {A} _{ij}^{[k]}=\int _{T_{k}}\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.} 要素剛性行列は、対応する基底関数がT k の 範囲内でゼロとなるi およびj のほとんどの値に対してゼロになります。完全な剛性行列A 疎行列に なります。
多くの標準的な基底関数、すなわち三角形上の区分的線形基底関数の場合、要素剛性行列には簡単な公式があります。例えば、区分的線形要素の場合、頂点が( x 1 , y 1 ) 、( x 2 , y 2 ) 、( x 3 , y 3 ) の三角形を考え、2×3 行列を定義します。
D = [ x 3 − x 2 x 1 − x 3 x 2 − x 1 y 3 − y 2 y 1 − y 3 y 2 − y 1 ] 。 {\displaystyle \mathbf {D} =\left[{\begin{行列}x_{3}-x_{2}&x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{1}\\y_{3}-y_{2}&y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{1}\end{行列}}\right]。} すると、要素剛性行列は次のようになる。
A [ k ] = D T D 4 エリア （ T ） 。 {\displaystyle \mathbf {A} ^{[k]}={\frac {\mathbf {D} ^{\mathsf {T}}\mathbf {D} }{4\operatorname {エリア} (T)}}.} 微分方程式がより複雑になる場合、例えば不均一な拡散係数を持つ場合、要素剛性行列を定義する積分はガウス求積法 によって評価できます。
剛性行列の条件数は 、数値グリッドの品質に大きく依存する。特に、有限要素メッシュ内の角度の小さい三角形は、剛性行列の固有値を大きくし、解の質を低下させる。
参考文献 Ern, A.; Guermond, J.-L. (2004), Theory and Practice of Finite Elements , New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0387205748 Gockenbach, MS (2006), Understanding and Implementing the Finite Element Method , Philadelphia, PA: SIAM, ISBN 0898716144 Grossmann, C.; Roos, H.-G.; Stynes, M. (2007), Numerical Treatment of Partial Differential Equations , Berlin, Germany: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-71584-9 Johnson, C. (2009), Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method , Dover, ISBN 978-0486469003 Zienkiewicz, OC ; Taylor, RL; Zhu, JZ (2005),有限要素法：その基礎と原理 （第6 版）、オックスフォード、英国：Elsevier Butterworth-Heinemann、ISBN 978-0750663205 
![{\displaystyle B[u,v]=(f,v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7844088bd84da5e5959622533e02be2a54c4bb53)
![{\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=B[\varphi _{j},\varphi _{i}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648d8ddf098c2a5352c52858fa68e3bf029c59a5)
![{\displaystyle \mathbf {A} _{ij}^{[k]}=\int _{T_{k}}\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c3320dbfb30683404f1aecf8c0561b4e3dcc12)
![{\displaystyle \mathbf {D} =\left[{\begin{行列}x_{3}-x_{2}&x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{1}\\y_{3}-y_{2}&y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{1}\end{行列}}\right]。}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157ef80defc6db999244c4abb08803db6359e63c)
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{[k]}={\frac {\mathbf {D} ^{\mathsf {T}}\mathbf {D} }{4\operatorname {エリア} (T)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7199cb39df865def070c8d63bd8470d83a8ed90)