メッシュの種類

メッシュは、より大きな幾何学的領域をより小さな個別のセルで表現したものです。メッシュは、偏微分方程式の解を計算してコンピュータ グラフィックスをレンダリングしたり、地理データや地図データを分析したりするためによく使用されます。メッシュは空間を要素(またはセルまたはゾーン) に分割し、その要素上で方程式を解くことで、より大きな領域で解を近似します。要素の境界は、モデル内の内部境界または外部境界上になるように制約される場合があります。高品質の (形状のよい) 要素は数値特性が優れていますが、何が「より優れた」要素を構成するかは、一般的な支配方程式とモデル インスタンスの特定のソリューションによって異なります。

よく使用される 2 次元セルの形状には、三角形と四辺形の 2 種類があります。

計算上不十分な要素には、鋭い内部角または短いエッジ、あるいはその両方が含まれます。

このセル形状は 3 つの側面で構成され、最も単純なタイプのメッシュの 1 つです。三角形の表面メッシュは、いつでもすばやく簡単に作成できます。非構造化グリッドで最も一般的です。

このセルの形状は、図に示すように基本的な 4 辺の形状です。構造化グリッドで最も一般的です。

四辺形要素は通常、凹面になることも凹面になることも除外されます。

基本的な 3 次元要素は、四面体、四角錐、三角柱、六面体です。これらはすべて三角形と四角形の面を持っています。

押し出された 2 次元モデルは、押し出された三角形と四辺形として、プリズムと六面体だけで表現できます。

一般に、3 次元の四辺形の面は、完全に平面ではない場合があります。非平面の四辺形の面は、2 つの隣接する要素によって共有される薄い四面体ボリュームと考えることができます。

四面体には 4 つの頂点と 6 つの辺があり、4 つの三角形の面で囲まれています。ほとんどの場合、四面体のボリューム メッシュは自動的に生成されます。

四辺形ベースのピラミッドには 5 つの頂点、8 つの辺があり、4 つの三角形の面と 1 つの四辺形の面で囲まれています。これらは、ハイブリッド メッシュやグリッド内の四角形面要素と三角形面要素間の遷移要素として効果的に使用されます。

三角柱には6 つの頂点と 9 つの辺があり、2 つの三角形の面と 3 つの四角形の面によって囲まれています。このタイプのレイヤーの利点は、境界レイヤーを効率的に解決できることです。

直方体（位相立方体）は、8つの頂点、12の辺、6つの四角形の面を持ち、六面体の一種です。メッシュの文脈では、直方体は六面体、ヘックス、またはブリックと呼ばれることがよくあります。^[1]同じセル量の場合、六面体メッシュのソリューションの精度は最も高くなります。

ピラミッドと三角柱の領域は、計算上はいくつかの辺がゼロに削減された退化した六面体とみなすことができます。六面体の他の退化した形式も表現できます。

多面体（デュアル）要素には、任意の数の頂点、辺、面があります。通常、近傍の数（通常は10）のために、セルごとにより多くの計算操作が必要になります。[ ^2]ただし、これは計算の精度で補われます。

構造化グリッドは規則的な接続性によって識別されます。要素の選択肢は、2Dでは四角形、3Dでは六面体です。このモデルは、近隣関係がストレージ配置によって定義されるため、非常にスペース効率に優れています。構造化グリッドが非構造化グリッドよりも優れている点は、収束性の向上と解像度の高さです。^{[3] [4] [5]}

非構造化グリッドは、不規則な接続性によって識別されます。コンピュータメモリ内で 2 次元または 3 次元配列として簡単に表現することはできません。これにより、ソルバーが使用できる可能性のあるあらゆる要素が可能になります。近傍関係が暗黙的である構造化メッシュと比較すると、このモデルは近傍関係を明示的に保存する必要があるため、非常にスペース効率が悪い場合があります。構造化グリッドと非構造化グリッドのストレージ要件は定数係数内です。これらのグリッドは通常、2D では三角形、3D では四面体を使用します。^[6]

ハイブリッドグリッドには、構造化された部分と非構造化された部分が混在しています。構造化されたメッシュと非構造化されたメッシュを効率的に統合します。ジオメトリの規則的な部分には構造化されたグリッドを配置し、複雑な部分には非構造化されたグリッドを配置することができます。これらのグリッドは非等角グリッドにすることができ、ブロック境界でグリッド線が一致する必要はありません。^[7]

より正確なソリューションがより速く計算される場合、メッシュは高品質であると見なされます。精度と速度は相反する関係にあります。メッシュ サイズを小さくすると、精度は常に向上しますが、計算コストも増加します。

精度は、離散化誤差と解法誤差の両方に依存します。離散化誤差の場合、特定のメッシュは空間の離散近似であるため、方程式が正確に解かれた場合でも、近似解しか提供できません。(コンピュータ グラフィックスのレイ トレーシングでは、発射されるレイの数が離散化誤差のもう 1 つの原因です。) 解法誤差の場合、PDE ではメッシュ全体にわたって多くの反復処理が必要になります。方程式が正確に解かれる前に、計算は早期に終了します。メッシュ要素タイプの選択は、離散化誤差と解法誤差の両方に影響します。

精度は、要素の総数と個々の要素の形状の両方に依存します。各反復の速度は要素の数に応じて（直線的に）増加し、必要な反復回数は、ローカル要素の形状とサイズと比較したローカル ソリューションの値と勾配に依存します。

解が定数である場合、粗いメッシュでも正確な解が得られる可能性があります。そのため、精度は特定の問題インスタンスによって異なります。解の勾配が高い領域ではメッシュを選択的に細分化することで、その部分の忠実度を高めることができます。要素内の補間値を含む精度は、要素のタイプと形状によって異なります。

反復するたびに、計算された解と実際の解の間の誤差が減少します。収束速度が速いほど、反復回数が少なくなり、誤差が小さくなります。

品質の低いメッシュでは、流体の流れの境界層などの重要な特徴が省略される可能性があります。離散化エラーが大きくなり、収束率が低下し、解がまったく収束しない可能性があります。

十分な反復処理を行った場合、離散化と解の誤差が十分に小さい場合、解はグリッドに依存しないと見なされます。これは、結果を比較するために知っておく必要があります。メッシュ収束の調査は、要素を改良し、改良された解を粗い解と比較することから構成されます。さらに改良 (またはその他の変更) を行っても解が大幅に変化しない場合は、メッシュは「独立グリッド」です。

精度を最も重視する場合は、六面体メッシュが最も適しています。メッシュの密度は、流れの特徴をすべて捉えるために十分に高くする必要がありますが、同時に、流れの不必要な詳細を捉えて CPU に負担をかけ、時間を浪費するほど高くすべきではありません。壁が存在する場合は常に、壁に隣接するメッシュは境界層の流れを解像するのに十分な細かさであり、一般に、三角形、四面体、ピラミッドよりも四角形、六角形、角柱のセルが適しています。四角形と六角形のセルは、流れが完全に発達して 1 次元である場合に引き伸ばすことができます。

歪度、滑らかさ、アスペクト比に基づいてメッシュの適合性を判断できる。 ^[8]

グリッドの歪度は、メッシュの品質と適合性を示す適切な指標です。歪度が大きいと、補間された領域の精度が低下します。グリッドの歪度を決定する方法は 3 つあります。

この方法は三角形と四面体にのみ適用可能で、デフォルトの方法です。

${\displaystyle {\text{ 歪度 }}={\frac {\text{ 最適セルサイズ - セルサイズ }}{\text{ 最適セルサイズ}}}}$

この方法はすべてのセルと面の形状に適用され、ほとんどの場合、プリズムとピラミッドに使用されます。

${\displaystyle {\text{ 歪度 ( 四辺形の場合 ) }}=\max {\left[{\frac {\theta _{\text{max}}-90}{90}},{\frac {90-\theta _{\text{min}}}{90}}\right]}}$

品質を測るもう 1 つの一般的な方法は、等角スキューに基づいています。

${\displaystyle {\text{ Equiangle Skew }}=\max {\left[{\frac {\theta _{\text{max}}-\theta _{e}}{180-\theta _{e}}},{\frac {\theta _{e}-\theta _{\text{min}}}{\theta _{e}}}\right]}}$

どこ：

• ${\displaystyle \theta _{\text{max}}\,}$面またはセル内の最大角度です。
• ${\displaystyle \theta _{\text{min}}\,}$面またはセル内の最小の角度です。
• ${\displaystyle \theta _{e}\,}$等角面またはセルの角度です。三角形の場合は 60 度、正方形の場合は 90 度です。

歪度 0 は最良の歪度であり、歪度 1 はほとんど望ましくありません。Hex セルと Quad セルの場合、かなり正確なソリューションを得るには、歪度が 0.85 を超えないようにする必要があります。

三角形のセルの場合、歪度は 0.85 を超えてはならず、四角形のセルの場合、歪度は 0.9 を超えてはなりません。

サイズの変化もスムーズである必要があります。セルのサイズが突然変化してはいけません。近くのノードで誤った結果が生じる可能性があります。

これは、セル内の最長辺と最短辺の比率です。最良の結果を得るには、理想的には 1 に等しくする必要があります。多次元フローの場合は、1 に近くする必要があります。また、セル サイズのローカルな変化は最小限に抑える必要があります。つまり、隣接するセルのサイズは 20% 以上変化してはなりません。アスペクト比が大きいと、許容できない大きさの補間エラーが発生する可能性があります。

メッシュ生成およびグリッド生成の原理も参照してください。2 次元では、反転とスムージングは​​、質の悪いメッシュを良いメッシュに適応させるための強力なツールです。反転では、2 つの三角形を組み合わせて四辺形を作り、その四辺形を反対方向に分割して 2 つの新しい三角形を作ります。反転は、三角形の歪度などの品質指標を改善するために使用されます。メッシュ スムージングでは、メッシュ頂点の位置を調整することで、要素の形状と全体的なメッシュ品質を向上させます。メッシュ スムージングでは、メッシュのトポロジーが不変であるため、線形システムの非ゼロ パターンなどのコア機能が保持されます。ラプラシアン スムージングは​​、最も一般的に使用されるスムージング手法です。

• メッシュ生成 – 空間をセルに分割する
• 非構造グリッド – 非構造（または不規則）グリッドは、ユークリッド平面の一部をモザイク状に並べたものである。
• 規則的なグリッド – ユークリッド空間のモザイク化
• ストレッチグリッド法 – 数値手法

• ウィキメディア・コモンズのメッシュの種類に関連するメディア