非標準有限差分スキーム

非標準有限差分法は、離散モデルを構築することによって微分方程式の数値解を与える数値解析の一般的な手法群です。このような手法の一般的な規則は正確にはわかっていません。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

微分方程式(DE) の有限差分(FD) モデルは、導関数を FD 近似で置き換えるだけで作成できます。しかし、これは単純な「翻訳」です。英語から日本語に単語を 1 対 1 で対応させて文字通り翻訳すると、元の意味が失われることがよくあります。同様に、単純な FD モデルは差分方程式であり、その解は DE の解とはかなり異なる可能性があるため、DE の単純な FD モデルは元の DE とは大きく異なる可能性があります。より技術的な定義については、Mickens 2000 を参照してください。^{[ 1 ]}

非標準（NS）有限差分モデルは、微分方程式の自由度が高く、より正確な「変換」です。例えば、微分方程式におけるパラメータ（vとします）は、NS-FD モデルでは別の値uを取る場合があります。

例として、波動方程式をモデル化してみましょう。

${\displaystyle (\partial _{t}^{2}-v^{2}\partial _{x}^{2})\Psi (x,t)=0.}$

素朴有限差分モデル（現在では標準（S）FDモデルと呼ぶ）は、導関数をFD近似で近似することによって得られる。1階導関数の中心となる2次FD近似は

${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x/2)-f(x-\Delta x/2)}{\Delta x}}.}$

上記のFD近似を適用すると、${\displaystyle f'(x)}$FD近似を導出できます${\displaystyle f''(x)}$、

${\displaystyle f''(x)\approx {\frac {{\text{d}}_{x}^{2}f(x)}{\Delta x^{2}}},}$

ショートカットを導入しました$\displaystyle d_xf(x)=f(x+\Delta x/2)-f(x-\Delta x/2)$簡略化のため$\displaystyle {\text{d}}_{x}{}^{2}f(x)=f(x+\Delta x)+f(x-\Delta x)-2f(x)}$これは適用することで確認できます$\displaystyle {\text{d}}_{x}}$の上${\displaystyle f(x)}$2回。波動方程式の両方の導関数を近似すると、S-FDモデルが得られます。

$\displaystyle \left[{\text{d}}_{t}^{2}-(v\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\Psi (x,t)=0.}$

解決策を挿入する場合$\phi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}}$波動方程式の（${\displaystyle \omega /k=v}$S-FDモデルに組み込むと、

$\displaystyle \left[{\text{d}}_{t}^{2}-(v\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\phi (x,t)=\epsilon .}$

一般的に${\displaystyle \epsilon \neq 0}$なぜなら、波動方程式のFD近似解は、波動方程式そのものと同じではないからである。

波動方程式と同じ解を持つNS-FDモデルを構築するには、の代わりに自由パラメータuを配置します。${\displaystyle v\Delta t/\Delta x}$そして、 uの値を見つけようとして、$\displaystyle \epsilon =0}$uの値は、

${\displaystyle u={\frac {\sin(\omega \Delta t/2)}{\sin(k\Delta x/2)}}.}$

したがって、波動方程式の正確な非標準有限差分モデルは次のようになる。

$\displaystyle \left[{\text{d}}_{t}^{2}-(u\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\Psi (x,t)=0.}$

詳細および2次元と3次元への拡張、ならびにマクスウェル方程式については、 Cole 2002を参照してください。 ^{[ 2 ]}