ミルスタイン法

数学において、ミルシュタイン法は確率微分方程式の近似数値解法である。これは、1974年に初めて発表したグリゴリー・ミルシュタインにちなんで名付けられた。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

自律的な伊藤確率微分方程式 を考えてみましょう。$${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=a(X_{t})\,\mathrm {d} t+b(X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}}$$初期条件 付き${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$、 どこ${\displaystyle W_{t}}$はウィーナー過程を表し、ある時間間隔でこの確率微分方程式を解きたいと仮定します。 ${\displaystyle [0,T]}$すると、真の解に対するミルスタイン近似値が得られる。${\displaystyle X}$マルコフ連鎖${\displaystyle Y}$以下のように定義される。

• 区間を分割する${\displaystyle [0,T]}$の中へ${\displaystyle N}$幅が等しい小区間${\displaystyle \Delta t>0}$:$$\displaystyle 0=\tau _{0}<\tau _{1}<\dots <\tau _{N}=T ただし \tau _{n}:=n\Delta t および \Delta t={\frac {T}{N}}}$$
• セット${\displaystyle Y_{0}=x_{0};}$
• 再帰的に定義する${\displaystyle Y_{n}}$のために${\displaystyle 1\leq n\leq N}$による：$${\displaystyle Y_{n+1}=Y_{n}+a(Y_{n})\Delta t+b(Y_{n})\Delta W_{n}+{\frac {1}{2}}b(Y_{n})b'(Y_{n})\left((\Delta W_{n})^{2}-\Delta t\right)}$$どこ${\displaystyle b'}$の導関数を表す${\displaystyle b(x)}$に関して${\displaystyle x}$そして：$${\displaystyle \Delta W_{n}=W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}}}$$は、期待値がゼロで分散がゼロの、独立かつ同一の分布に従う正規確率変数です。${\displaystyle \Delta t}$。 それから${\displaystyle Y_{n}}$おおよそ${\displaystyle X_{\tau _{n}}}$のために${\displaystyle 0\leq n\leq N}$、そして増加${\displaystyle N}$より良い近似値が得られるだろう。

注意してください${\displaystyle b'(Y_{n})=0}$（つまり拡散項は${\displaystyle X_{t}}$この方法はオイラー・丸山法と同等である。

ミルスタイン方式は、収束次数が弱収束と強収束の両方を持つ。${\displaystyle \Delta t}$これはオイラー・丸山法よりも優れており、オイラー・丸山法は同じ弱い収束次数を持つ。${\displaystyle \Delta t}$しかし収束の強い次数は劣る${\displaystyle {\sqrt {\Delta t}}}$[ ^{3 ]​}

この導出では、幾何ブラウン運動（GBM）のみを考察する。その確率微分方程式は次のように表される。 $$\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X\mathrm {d} t+\sigma XdW_{t}}$$ 実定数を含む${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \sigma }$伊藤の補題を用いると、次の式が得られる。 $$\displaystyle \mathrm {d} \ln X_{t}=\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\mathrm {d} t+\sigma \mathrm {d} W_{t}}$$

したがって、GBM SDEの解は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{t+\Delta t}&=X_{t}\exp \left\{\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\sigma \mathrm {d} W_{u}\right\}\\&\approx X_{t}\left(1+\mu \Delta t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\Delta t+\sigma \Delta W_{t}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(\Delta $\Delta W_t$ + a(X_t)\Delta t + b(X_t)\Delta W_t + b(X_t)\Delta W_t$ + b(X_t)b'(X_t)((\Delta W_t)^2-\Delta t)$$$ どこ $${\displaystyle a(x)=\mu x,~b(x)=\sigma x}$$

数値解は、3つの異なる軌道について図に示されています。^{[ 4 ]}

# -*- coding: utf-8 -*-# ミルスタインメソッドimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltクラスモデル:「確率モデル定数」μ = 3シグマ= 1def dW ( dt ):「無作為標本正規分布」return np.random.normal ( loc = 0.0 , scale = np.sqrt ( dt ) )​​​​​def run_simulation ():""" 1回の完全なシミュレーションの結果を返します。"""# 1秒と1000個のグリッドポイントT_INIT = 0T_END = 1N = 1000 # 1000個のグリッドポイントを計算するDT = float ( T_END - T_INIT ) / NTS = np.arange ( T_INIT , T_END + DT , DT )​​Y_INIT = 1# 埋めるベクトルys = np.zeros ( N + 1 )​​ys [ 0 ] = Y_INITfor i in range ( 1 , TS.size ) :​t = ( i - 1 ) * DTy = ys [ i - 1 ]dw = dW ( DT )# ミルスタイン方式のように項を合計するys [ i ] = y + \ モデル. mu * y * DT + \ モデル. sigma * y * dw + \ (モデル. sigma ** 2 / 2 ) * y * ( dw ** 2 - DT )TS 、ysを返すdef plot_simulations ( num_sims : int ):「複数のシミュレーション結果を1枚の画像にプロットする。」for _ in range ( num_sims ):plt.plot ( * run_simulation ( ) )plt.xlabel ( "時間（秒）" )plt.ylabel ( " y " )plt.grid ( )​plt.show ( )​if __name__ == "__main__" :NUM_SIMS = 2plot_simulations ( NUM_SIMS )

• オイラー・丸山法

• Kloeden, PE ; Platen, E. (1999).確率微分方程式の数値解法. ベルリン: Springer. ISBN 3-540-54062-8。