有限点集合法

応用数学において、有限点集合法（FPM ）は、流体流れのシミュレーションなど、連続体力学の問題を数値的に解くための一般的なアプローチです。このアプローチでは、媒体は有限個の点の集合で表され、各点には密度、速度、圧力、温度などの媒体の関連する局所特性が与えられます。^{[ 1 ]}

サンプリング点は、流体力学におけるラグランジュ法のように媒体と共に移動することも、オイラー法のように媒体が流れる間、空間に固定することもできます。ラグランジュ法とオイラー法を組み合わせた方法も使用できます。ラグランジュ法は、（特にコンピュータグラフィックスの分野では）粒子法としても知られています。

有限点集合法はメッシュフリー法であるため、複雑な形状や時間とともに変化する形状、移動する相境界（例えば、液体が容器に飛び散る、ガラス瓶が吹き飛ばされるなど）を持つ領域にも容易に適用できます。しかも、これらの特徴をトポロジカルデータ構造で処理するために必要なソフトウェアの複雑さを伴いません。粘性流体、熱および物質移動、線形および非線形弾性または塑性変形などを含む非線形問題にも有効です。

最も単純な実装では、有限点集合は媒体内の点の非構造化リストとして格納されます。ラグランジュ法では、点は媒体とともに移動し、所定のサンプリング密度を維持するために点が追加または削除される場合があります。点密度は通常、局所的に定義された平滑化長によって規定されます。オイラー法では、点は空間に固定されていますが、精度を高める必要がある場所に新しい点を追加できます。したがって、どちらの方法においても、点の最近傍点は固定されておらず、各タイムステップで再度決定されます。

この方法は、グリッドベースの手法に比べて様々な利点があります。例えば、自然に変化する流体領域を扱うことができますが、グリッドベースの手法では追加の計算処理が必要になります。有限点は流れ領域全体を完全に覆う必要があり、つまり点群は特定の品質基準を満たす必要があります（有限点が「穴」を形成してはならず、十分な数の近傍点を見つける必要があります。また、有限点が密集してはなりません）。

有限点群は幾何学的基盤であり、数値定式化を可能にするため、FPMは連続体力学に適用される一般的な有限差分法となります。特に、点群が正立方格子に縮小された場合、FPMは古典的な有限差分法に帰着します。一般的な有限差分法の考え方は、FPMがガラーキン法のような弱い定式化に基づいていないことも意味します。むしろ、FPMは、発生する微分演算子を直接近似することで微分方程式をモデル化する強力な定式化です。使用される方法は、FPMのために特別に開発された移動最小二乗法です。

古典的な方法の欠点を克服するために、このような流れをシミュレートするための多くのアプローチが開発されてきました。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}古典的なグリッドフリーのラグランジュ法は、もともと天体物理学の問題を解決するために導入された平滑化粒子流体動力学 (SPH) です。^{[ 8 ] [ 9 ]}

その後、流体力学における圧縮性オイラー方程式のシミュレーションに拡張され、幅広い問題に適用されました。^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}また、この方法は非粘性非圧縮性自由表面流れのシミュレーションにも拡張されています。^{[ 13 ]}。境界条件の実装は、SPH法の主な問題です。

グリッドフリーのフレームワークで流体力学方程式を解くもう 1 つのアプローチは、移動最小二乗法または最小二乗法です。^{[ 1 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 7 ]}このアプローチでは、有限点を境界上に配置し、境界条件を指定するだけで、境界条件を自然な方法で実装できます。^{[ 15 ]}この方法の堅牢性は、自動車産業におけるエアバッグ展開の分野でのシミュレーション結果によって示されています。ここでは、エアバッグの膜 (または境界) は時間とともに非常に急速に変化し、かなり複雑な形状になります (Kuhnert et al. 2000)。

Tiwari ら (2003) は、圧縮性ナビエ・ストークス方程式の限界として、いくつかの硬い状態方程式を持つ非圧縮性流れのシミュレーションを実行しました。^{[ 18 ]}このアプローチは、 SPH による非圧縮性自由表面流れのシミュレーションにMonaghan (1992)で初めて使用されました。非圧縮性限界は、マッハ数が小さくなるように状態方程式で非常に大きな音速を選択することによって得られます。しかし、音速の値が大きいと、CFL 条件のために時間ステップが非常に小さく制限されます。^{[ 10 ]}

Chorinの射影法は、グリッドベースの構造で非圧縮性 Navier–Stokes 方程式によって支配される問題を解くために広く使用されているアプローチです。^{[ 19 ]} Tiwari ら (2001)では、この方法が重み付き最小二乗法の助けを借りてグリッドフリーのフレームワークに適用されています。このスキームは、非圧縮性Navier–Stokes 方程式に対して正確な結果を与えます。圧力場のポアソン方程式は、グリッドフリー法によって解かれます。このアプローチにより、任意の境界条件に対してポアソン方程式を正確に解くことができることが示されています。ポアソンソルバーは、ポアソン方程式と境界条件が各有限点で満たされるという条件で、重み付き最小二乗近似手順に適合させることができます。これは局所反復手順です。^{[ 17 ]}

• グリッドなしポイント
• メッシュフリー

• N. Ash、Y. Poo J. (1990)、「液滴の二体衝突における合体と分離」、Journal of Fluid Mechanics、221：183–204、Bibcode：1990JFM...221..183A、doi：10.1017/S0022112090003536
• I., Ginzburg; G., Wittum (2001)、「VOF、スタッガード有限体積法、およびスプライン補間法を用いてモデル化された界面細分化グリッド上の二相流」、Journal of Computational Physics、166 (2): 302–335、Bibcode : 2001JCoPh.166..302G、doi : 10.1006/jcph.2000.6655
• W., Hirt C.; D., Nichols B. (1981)、「自由境界の動的解析のための体積流体法（VOF法）」、Journal of Computational Physics、39：201–225、doi：10.1016/0021-9991(81)90145-5
• J. Kuhnert、A. Tramecon、P. Ullrich、「位置ずれケースに適用した高度なエアバッグ流体構造連成シミュレーション」、EUROPAM Conference Proceedings 2000、ESI Group、パリ、フランス
• D.、Landau L.、M.、Lifshitz E. (1959)、流体力学、Pergamon、ニューヨーク
• B., Lafaurie B.; C., Nardone; R., Scardovelli; S., Zaleski; G., Zanetti (1994)、「SURFERを用いた多相流における合流と断片化のモデリング」、Journal of Computational Physics、113 (1): 134–147、Bibcode : 1994JCoPh.113..134L、doi : 10.1006/jcph.1994.1123
• C., Martin J.; J., Moyce M. (1952)、「第IV部 液体の水平板上の液柱の崩壊に関する実験的研究」、Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences、244 : 312–324
• S. Tiwari S.、Kuhnert J. (2003)、「非圧縮性ナビエ・ストークス方程式のシミュレーションのための射影法に基づく有限点集合法」、Griebel, M.、Schweitzer, MA (編)、偏微分方程式のためのメッシュフリー法、Lecture Notes in Computational Science and Engineering、vol.  26、Springer-Verlag、pp. 373–387、doi : 10.1007/978-3-642-56103-0、ISBN  978-3-540-43891-5
• S., Tiwari (2000)、「圧縮性粘性流に対するLSQ-SPHアプローチ」、Heinrich Freistühler、Gerald Warnecke (編)、Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications: Eighth International Conference in Magdeburg, February/March 2000、第141巻、 901–910 ページ、doi : 10.1007/978-3-0348-8372-6、ISBN  978-3-0348-8372-6