補間

数値解析という数学の分野において、補間は推定の一種であり、既知のデータポイントの離散集合の範囲に基づいて新しいデータポイントを構築（発見）する方法である。^{[1] [2]}

工学や科学では、サンプリングや実験によって得られた、独立変数の限られた数の値に対する関数の値を表すデータ ポイントが多数あることがよくあります。補間、つまり独立変数の中間値に対する関数の値を推定すること が求められることがよくあります。

密接に関連する問題として、複雑な関数を単純な関数で近似するというものがあります。ある関数の式はわかっているものの、複雑すぎて効率的に評価できないとします。元の関数からいくつかのデータ ポイントを補間して、元の関数にかなり近い、より単純な関数を作成できます。その結果得られる単純化のメリットは、補間エラーによる損失を上回り、計算プロセスのパフォーマンスが向上する可能性があります。

この表は未知の関数のいくつかの値を示しています。 ${\displaystyle f(x)}$

補間は、例えば中間点における関数を推定する手段を提供する。${\displaystyle x=2.5.}$

ここでは、精度、コスト、必要なデータ ポイントの数、結果として得られる補間関数の滑らかさなどの特性が異なるいくつかの補間方法について説明します。

最も単純な補間方法は、最も近いデータ値を見つけて、同じ値を割り当てることです。単純な問題では、線形補間 (以下を参照) がほぼ同じくらい簡単なので、この方法が使用される可能性は低いですが、高次元の多変量補間では、速度と単純さの点でこれが好ましい選択肢となる可能性があります。

最も簡単な方法の 1 つは線形補間 (lerp とも呼ばれる) です。上記のf (2.5) を推定する例を考えてみましょう。2.5 は 2 と 3 の中間なので、f (2.5) をf (2) = 0.9093 とf (3) = 0.1411の中間とするのが妥当で、その結果は 0.5252 になります。

一般に、線形補間では 2 つのデータ ポイント ( x _a、y _a ) と ( x _b、y _b ) が使用され、補間式は次のように表されます。

${\displaystyle y=y_{a}+\left(y_{b}-y_{a}\right){\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}{\text{ 点 }}\left(x,y\right)}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{y_{b}-y_{a}}}={\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}} }$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{x-x_{a}}}={\frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}} }$

この前の式は、と間の新しい線の傾きが、と間の線の傾きと同じであることを示しています。${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$

線形補間は速くて簡単ですが、あまり正確ではありません。もう 1 つの欠点は、補間式が点x _kで微分できないことです。

次の誤差推定は、線形補間があまり正確ではないことを示しています。補間したい関数をgで表し、xがx _aとx _bの間にあり、gが2回連続微分可能であると仮定します。すると、線形補間誤差は次のようになります。

${\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq C(x_{b}-x_{a})^{2}\quad {\text{where}}\quad C={\frac {1}{8}}\max _{r\in [x_{a},x_{b}]}|g''(r)|.}$

言い換えると、誤差はデータ ポイント間の距離の 2 乗に比例します。多項式補間やスプライン補間 (後述) などの他の方法では、誤差はデータ ポイント間の距離の高次の累乗に比例します。これらの方法では、より滑らかな補間も生成されます。

多項式補間は線形補間の一般化です。線形補間は線形関数であることに注意してください。この補間を高次の多項式に置き換えます。

上記の問題をもう一度考えてみましょう。次の 6 次多項式は 7 つの点すべてを通ります。

${\displaystyle f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.}$

x = 2.5を代入すると、 f (2.5) = ~0.59678 となる。

一般に、データ ポイントがn 個ある場合、すべてのデータ ポイントを通過する次数が最大でn −1の多項式が 1 つだけ存在します。補間誤差は、データ ポイント間の距離のn乗に比例します。さらに、補間式は多項式であるため、無限に微分可能です。したがって、多項式補間によって線形補間の問題のほとんどが克服されることがわかります。

ただし、多項式補間にも欠点があります。補間多項式の計算は、線形補間に比べて計算コストがかかります (計算の複雑さを参照)。さらに、多項式補間では、特に端点で振動アーティファクトが発生する可能性があります (ルンゲ現象を参照)。

多項式補間では、線形補間とは異なり、サンプルの範囲外の極大値と極小値を推定できます。たとえば、上記の補間式は、x ≈ 1.566、f ( x ) ≈ 1.003 で極大値を持ち、 x ≈ 4.708、f ( x ) ≈ −1.003で極小値を持ちます。ただし、これらの最大値と最小値は関数の理論的な範囲を超える場合があります。たとえば、常に正の値を持つ関数は、負の値を持つ補間式を持つ可能性があり、その逆関数には誤った垂直漸近線が含まれます。

より一般的には、特に独立変数の値が非常に高いか低い場合、結果として得られる曲線の形状は常識に反する可能性があります。つまり、データ ポイントを生成した実験システムについて知られていることに反する可能性があります。これらの欠点は、スプライン補間を使用するか、チェビシェフ多項式に注意を限定することで軽減できます。

線形補間では、各区間 [ x _k、x _k+1 ] に線形関数を使用します。スプライン補間では、各区間に低次多項式を使用し、滑らかにフィットするように多項式の部分を選択します。結果として得られる関数はスプラインと呼ばれます。

例えば、自然3次スプラインは区分的に3次であり、2回連続微分可能です。さらに、その2次導関数は端点でゼロです。上の表の点を補間する自然3次スプラインは次のように表されます。

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\text{if }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\text{if }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\text{if }}x\in [5,6].\end{cases}}}$

この場合、f (2.5) = 0.5972 となります。

多項式補間と同様に、スプライン補間は線形補間よりも誤差が小さく、補間式は多項式補間で使用される高次多項式よりも滑らかで評価が容易です。ただし、基底関数のグローバルな性質により、悪条件が発生します。これは、Boost.Math で実装され、Kress で議論されているようなコンパクトサポートのスプラインを使用することで完全に緩和されます。^[3]

フィールドの基礎となる離散化に応じて、異なる補間が必要になる場合があります。ターゲット ポイント上の関数を推定する他の補間方法とは対照的に、ミメティック補間は、フィールドの種類 (スカラー、ベクトル、疑似ベクトル、疑似スカラー) に応じて、ターゲット ライン、領域、またはボリューム上のフィールドの積分を評価します。

模倣補間の主な特徴は、ストークスの定理や発散定理など、ベクトル計算の恒等式が満たされることです。その結果、模倣補間は線積分、面積積分、体積積分を保存します。^[4]線積分は積分経路の端点における電位差を与えるため、例えば電場を補間するときには線積分の保存が望ましい場合があります。[ 5 ]模倣^補間は、積分経路の長さに関係なく、電場の線積分の推定誤差が積分経路の端点における電位を補間することによって得られる誤差と同じであることを保証します。

線形補間、双線形補間、三線形補間も、保存されるのがフィールド値（フィールドの積分ではない）であっても、模倣的であると見なされます。線形補間とは別に、面積加重補間は開発された最初の模倣補間法の1つと考えられます。^[6]

補間は関数を近似する一般的な方法です。点の集合を持つ関数が与えられた場合、に対してとなるような関数を形成できます(つまり、 はこれらの点で補間します)。一般に、補間関数は必ずしも良好な近似値である必要はありませんが、良好な近似値となる条件はよく知られており、多くの場合妥当です。たとえば、 が4 回連続微分可能であれば、3 次スプライン補間の誤差境界は となり、は定数です。^[7]${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]}$${\displaystyle s:[a,b]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x_{i})=s(x_{i})}$${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in C^{4}([a,b])}$${\displaystyle \|f-s\|_{\infty }\leq C\|f^{(4)}\|_{\infty }h^{4}}$${\displaystyle h\max _{i=1,2,\dots ,n-1}|x_{i+1}-x_{i}|}$${\displaystyle C}$

ガウス過程は強力な非線形補間ツールです。多くの一般的な補間ツールは、実際には特定のガウス過程と同等です。ガウス過程は、指定されたデータ ポイントを正確に通過する補間を適合させるだけでなく、回帰、つまりノイズの多いデータに曲線を適合させるのにも使用できます。地統計学のコミュニティでは、ガウス過程回帰はクリギングとも呼ばれます。

他の形式の補間は、異なるクラスの補間を選択することで構築できます。たとえば、有理補間はパデ近似を使用した有理関数による補間であり、三角補間はフーリエ級数を使用した三角多項式による補間です。別の可能性としては、ウェーブレットを使用することです。

データ ポイントの数が無限の場合、または補間する関数にコンパクトなサポートがある場合は、Whittaker-Shannon 補間式を使用でき ます。

場合によっては、補間したい関数の値だけでなく、その導関数もいくつかの点でわかっていることがあります。これは、エルミート補間の問題につながります。

各データ ポイント自体が関数である場合、補間問題を各データ ポイント間の部分的な移流問題として捉えると便利です。この考え方は、輸送理論で使用される変位補間問題につながります。

多変量補間は、複数の変数の関数を補間する手法です。2次元では双線形補間と双3次補間、 3次元では三線形補間が用いられます。これらはグリッドデータや散在データに適用できます。ミメティック補間は、次の次元空間に一般化されます。^{[8] [9]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n>3}$

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  最も近い隣人
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  双線形
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  バイキュービック

デジタル信号処理の分野では、補間という用語は、さまざまなデジタルフィルタリング技術（たとえば、周波数制限されたインパルス信号との畳み込み）を使用して、サンプリングされたデジタル信号（サンプリングされたオーディオ信号など）をより高いサンプリングレート（アップサンプリング）に変換するプロセスを指します。このアプリケーションでは、元の信号のナイキスト限界を超える（つまり、元の信号のサンプルレートの fs/2 を超える）元の信号の高調波成分をエイリアシングすることなく、元の信号の高調波成分を維持するという特定の要件があります。この主題に関する初期のかなり基本的な議論は、Rabiner と Crochiere の著書Multirate Digital Signal Processingに記載されています。^[10]

外挿という用語は、既知のデータ ポイントの範囲外にあるデータ ポイントを見つけるために使用されます。

曲線フィッティングの問題では、補間がデータ ポイントを正確に通過しなければならないという制約が緩和されます。必要なのは、データ ポイントに可能な限り近づくことだけです (他の制約の範囲内で)。これには、潜在的な補間をパラメーター化し、エラーを測定する何らかの方法が必要です。最も単純なケースでは、これは最小二乗近似につながります。

近似理論は、ある特定の関数を、あらかじめ決められたクラスの別の関数で近似する最良の方法と、この近似の精度を研究します。これにより、補間関数が未知の関数をどの程度正確に近似できるかという限界が明確に示されます。

を位相空間の変数として考え、関数 をバナッハ空間に写像すると、問題は「演算子の補間」として扱われます。^[11]演算子の補間に関する古典的な結果は、リース・トーリンの定理とマルチンキエヴィチの定理です。その後に続いた結果も数多くあります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

ウィキメディア・コモンズには、補間に関連するメディアがあります。

• 線形補間、二次補間、三次スプライン補間、多項式補間のためのオンラインツールと、視覚化およびJavaScriptソース コード。
• Sol チュートリアル - 補間のコツ 2021-01-31 にWayback Machineでアーカイブされました
• Boost.Math における重心有理補間
• Boost.Math のチェビシェフ変換による補間