シグマ近似

数学では、σ近似はフーリエ和を調整して、不連続点で発生するギブス現象を大幅に低減します。^{[ 1 ] [ 2 ]}

周期Tの系列に対するm-1項σ近似和は、次のように記述できる。 $${\displaystyle s(\theta )={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{k=1}^{m-1}\left(\operatorname {sinc} {\frac {k}{m}}\right)^{p}\cdot \left[a_{k}\cos \left({\frac {2\pi k}{T}}\theta \right)+b_{k}\sin \left({\frac {2\pi k}{T}}\theta \right)\right],}$$正規化されたsinc関数 に関して： $${\displaystyle \operatorname {sinc} x={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}.}$$${\displaystyle a_{k}}$そして${\displaystyle b_{k}}$は典型的なフーリエ級数係数であり、pは非負のパラメータで、適用される平滑化の量を決定します。p の値が大きいほどギブス現象はさらに減少しますが、関数の表現が過度に平滑化される可能性があります。

用語 $${\displaystyle \left(\operatorname {sinc} {\frac {k}{m}}\right)^{p}}$$はランチョスσ因子 であり、ギブス現象の大部分を排除する役割を担っています。これは、主ローブの右側をサンプリングしています。${\displaystyle \operatorname {sinc} }$高周波フーリエ級数係数をロールオフする関数。

不確定性原理で知られているように、周波数領域で急激なカットオフ（係数を調整せずにフーリエ級数を急激にカットオフすること）を行うと、時間領域で情報が広範囲に拡散します（これは大量のリンギングに相当します）。

これは、フーリエ級数係数にウィンドウ関数を適用することで、高速な立ち上がり時間（狭い遷移帯域に相当）と少量のリンギング（阻止帯域減衰に相当）のバランスを取るものと理解することもできます。

• ランチョス再サンプリング