離散チェビシェフ多項式

数学において、離散チェビシェフ多項式（英: discrete Chebyshev polynomials ）あるいはグラム多項式（英: Gram polynomials ）は、近似理論で使用される離散直交多項式の一種であり、パフヌティ・チェビシェフ^{[1]によって導入され、}グラム^[2]によって再発見された。後に、スピン角運動量のさまざまな代数的性質に適用できることがわかった。

離散チェビシェフ多項式は、ディラックのデルタ関数 を重み関数として、2つの不等次多項式が直交するように構成された、 xのn次の多項式である。つまり、 ${\displaystyle t_{n}^{N}(x)}$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots ,N-1}$$${\displaystyle w(x)=\sum _{r=0}^{N-1}\delta (xr),}$$${\displaystyle \delta (\cdot )}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t_{n}^{N}(x)t_{m}^{N}(x)w(x)\,dx=0\quad {\text{ if }}\quad n\neq m.}$$

左側の積分はデルタ関数のため実際には合計であり、 $${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{m}^{N}(r)=0\quad {\text{ if }}\quad n\neq m.}$$

したがって、は の多項式であるにもかかわらず、離散的な点の集合におけるその値のみが 意味を持ちます。しかし、これらの多項式は非負の重み関数に関する直交性の観点から定義できるため、直交多項式の理論全体が適用可能です。特に、多項式は次の意味で完全です。 ${\displaystyle t_{n}^{N}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0,1,2,\ldots,N-1}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(s)=0\quad {\text{if }}\quad r\neq s.}$$

チェビシェフは正規化を選択したので、 $${\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}t_{n}^{N}(r)t_{n}^{N}(r)={\frac {N}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}(N^{2}-k^{2}).}$$

これにより、多項式が符号規則に沿って完全に固定されます。 ${\displaystyle t_{n}^{N}(N-1)>0}$

独立変数が線形にスケールおよびシフトされ、端点が値および をとる場合、 に定数を掛けると、 はルジャンドル多項式になります。 ${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle t_{n}^{N}(\cdot )\to P_{n}(\cdot )}$${\displaystyle P_{n}}$

f を閉区間[−1, 1]上で定義される滑らかな関数とし、その値は点x _k  := −1 + (2 k − 1)/ mでのみ明示的にわかっているものとする。ここでkとm は整数であり、1 ≤ k ≤ mである。課題は、f を次数n < mの多項式として近似することである。gとh が[−1, 1] 上で連続し、 が 離散半ノルム である正の半定値双線形形式を考える。がi がkと等しくない ときに互いに直交する多項式の 族であるとする。すべての多項式は正の主係数を持ち、次のように 正規化されているものとする。 $${\displaystyle \left(g,h\right)_{d}:={\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}{g(x_{k})h(x_{k})},}$$$${\displaystyle \left\|g\right\|_{d}:=(g,g)_{d}^{1/2}}$$${\displaystyle \varphi_{k}}$$${\displaystyle \left(\varphi _{k},\varphi _{i}\right)_{d}=0}$$${\displaystyle \varphi_{k}}$$${\displaystyle \left\|\varphi _{k}\right\|_{d}=1.}$$

これらは離散チェビシェフ多項式（またはグラム多項式）と呼ばれます。^[3]${\displaystyle \varphi_{k}}$

離散チェビシェフ多項式は、スピンのさまざまな代数的性質と驚くべき関係があります。スピン遷移確率^[4]、ボームのアインシュタイン-ポドルスキー-ローゼン実験のスピンsバージョン におけるスピンの観測確率^[5] 、さまざまなスピン状態のウィグナー関数^{[6]などです。}

具体的には、多項式は回転行列（ウィグナーD行列）の絶対値の2乗の固有ベクトルになります 。 関連する固有値はルジャンドル多項式 で、 は回転角です。言い換えると、 が 通常の角運動量またはスピン固有状態 である場合、 ${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )}$${\displaystyle \theta}$$${\displaystyle d_{mm'}=\langle j,m|e^{-i\theta J_{y}}|j,m'\rangle ,}$$${\displaystyle |j,m\rangle }$$${\displaystyle F_{mm'}(\theta)=|d_{mm'}(\theta)|^{2},}$$$${\displaystyle \sum _{m'=-j}^{j}F_{mm'}(\theta )\,f_{\ell }^{j}(m')=P_{\ell }(\cos \theta )f_{\ell }^{j}(m).}$$

固有ベクトルは、チェビシェフ多項式のスケールおよびシフトされたバージョンです。これらは、に対応し、に対応している点の代わりに の点にサポートを持つようにシフトされます。さらに、 は、他の正規化条件に従うようにスケールすることができます。たとえば、 とともに を満たすように要求することができます 。 ${\displaystyle f_{\ell}^{j}(m)}$${\displaystyle m=-j,-j+1,\ldots ,j}$${\displaystyle r=0,1,\ldots ,N}$${\displaystyle t_{n}^{N}(r)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 2j+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle f_{\ell}^{j}(m)}$$${\displaystyle {\frac {1}{2j+1}}\sum _{m=-j}^{j}f_{\ell }^{j}(m)f_{\ell '}^{j}(m)=\delta _{\ell \ell '},}$$${\displaystyle f_{\ell}^{j}(j)>0}$