PDE 面

PDEサーフェスは、与えられた境界構成に適合する滑らかなサーフェスを作成するために、幾何学的モデリングやコンピュータ グラフィックスで使用されます。PDE サーフェスは偏微分方程式を使用して、通常、数学的な境界値問題を満たすサーフェスを生成します。

PDE 曲面は、マルコム・ブロアとマイケル・ウィルソンという 2 人のイギリスの数学者によって、幾何学モデリングとコンピュータ グラフィックスの分野に初めて導入されました。

PDE法は、楕円偏微分方程式を 解くことによって、ある境界の曲面を生成する。

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial u^{2}}}+a^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v^{2}}}\right)^{2}X(u,v)=0.}$

ここでは、およびという2 つのパラメータでパラメータ化された関数があり、、 および は通常の直交座標空間です。関数とその法線導関数の境界条件は 、表面パッチのエッジに課されます。 ${\displaystyle X(u,v)}$ ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle X(u,v)}$${\displaystyle \partial {X}/\partial {n}}$

上記の定式化では、上記の PDE の楕円偏微分演算子が平滑化プロセスを表し、このプロセスでは、表面上の任意の点における関数の値が、ある意味では周囲の値の加重平均になっていることがわかります。このようにして、選択された境界条件のセット間の滑らかな遷移として表面が得られます。パラメータは、方向と方向における表面の相対的な平滑化を制御する特別な設計パラメータです。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

のとき、PDE は重調和方程式です。重調和方程式は、オイラー-ラグランジュ方程式を簡略化された薄板エネルギー関数に適用して生成される方程式です。したがって、PDE を で解くことは、同じ境界条件に従って薄板エネルギー関数を最小化することと同じです。 ${\displaystyle a=1}$${\displaystyle X_{uuuu}+2X_{uuvv}+X_{vvvv}=0}$ ${\displaystyle X_{uu}^{2}+2X_{uv}^{2}+X_{vv}^{2}}$${\displaystyle a=1}$

PDE サーフェスは、多くの応用分野で使用できます。これには、コンピュータ支援設計、インタラクティブ設計、パラメトリック設計、コンピュータ アニメーション、コンピュータ支援物理解析、設計最適化が含まれます。

1. MIG BloorとMJ Wilson、「偏微分方程式を使用したブレンドサーフェスの生成」、Computer Aided Design、21(3)、165–171、(1989)。
2. H. Ugail、MIG Bloor、MJ Wilson、「PDE法を使用したインタラクティブデザインのテクニック」、ACM Transactions on Graphics、18(2)、195–212、(1999)。
3. J. Huband、W. Li、R. Smith、「エルミート補間の標準基底を使用したBloor-Wilson PDE表面モデルの明示的表現」、産業における数学工学、7(4)、421-33 (1999)。
4. H. Du および H. Qin、「PDE サーフェスの直接操作とインタラクティブなスカルプティング」、Computer Graphics Forum、19(3)、C261-C270、(2000)。
5. H. Ugail, PDE サーフェスのスパインベース形状パラメータ化、Computing、72、195–204、(2004)。
6. L. You、P. Comninos、JJ Zhang、「C2連続性を備えたPDEブレンディングサーフェス」、Computers and Graphics、28(6)、895–906、(2004)。

• シミュレーション ベースの設計、DVE 研究 (英国ブラッドフォード大学)。 (PDE サーフェスの特性を示す Java アプレット)
• リーズ大学応用数学部、Bloor と Wilson の研究の詳細。