数値解析において、適応メッシュ細分化（AMR ）は、シミュレーションの特定の敏感領域または乱流領域における解の精度を、解の計算中に動的に調整する方法です。数値的に解を計算する場合、多くの場合、計算グリッド、つまり「メッシュ」を構成するデカルト座標系などの、あらかじめ決められた定量化されたグリッドに限定されます。しかし、数値解析における多くの問題は、グラフのプロットや計算シミュレーションに使用される数値グリッドに均一な精度を必要としないため、精度が必要なグラフの特定の領域のみで定量化を細分化できる方が適しています。適応メッシュ細分化は、このような動的プログラミング環境を提供し、精度が必要な多次元グラフの特定の領域における計算問題の要件に基づいて数値計算の精度を調整し、多次元グラフの他の領域はより低いレベルの精度と解像度のままにします。
計算精度を特定の要件に合わせて調整するこの動的な手法は、マーシャ・バーガー、ジョセフ・オリガー、フィリップ・コレラによって考案されたもので、彼らは局所適応メッシュ細分化と呼ばれる動的グリッド化アルゴリズムを開発しました。AMRはその後、幅広い用途で活用され、流体力学における乱流問題の研究や、ボルショイ宇宙論シミュレーションのような天体物理学における大規模構造の研究などに用いられています。
適応型メッシュ細分化の開発
上の図は、傾斜面に衝撃が加わる際のAMR計算におけるグリッド構造を示しています。各ボックスはグリッドを表し、ネストされたボックスの数が多いほど、グリッドの精緻化レベルが高くなります。図に示すように、このアルゴリズムは、高解像度グリッドが必要な物理的な場所と時間でのみ使用します。一連の論文で、Marsha Berger、Joseph Oliger、およびPhillip Colella は、ローカル適応メッシュ細分化と呼ばれる動的グリッド化アルゴリズムを開発しました。[ 1 ] [ 2 ]このアルゴリズムは、計算領域全体が粗く解像度された基本レベルの規則的な直交座標グリッドで覆われていることから始まります。計算が進むにつれて、個々のグリッドセルが細分化のためにタグ付けされます。細分化の基準は、ユーザーが指定できるもの（たとえば、セルあたりの質量が一定であるため、高密度領域はより高解像度になる）か、 Richardson 外挿に基づくもののいずれかです。
タグ付けされたすべてのセルは、より細かいグリッドが粗いグリッドの上に重ねられることで、精緻化されます。精緻化後、単一の固定精緻化レベル上の個々のグリッドパッチは、それらのセルを時間的に進める積分器に渡されます。最後に、粗いグリッドと細かいグリッドの境界面に沿った転送を補正する補正手順が実行され、あるセルから出る保存量の量が、隣接するセルに入る量と正確に釣り合うようにします。ある時点で、セル内の精緻化レベルが要求されるレベルよりも高い場合は、高解像度グリッドが削除され、より粗いグリッドに置き換えられることがあります。
これにより、ユーザーは均一グリッドでは全く解決不可能な問題を解決できます。たとえば、天体物理学者はAMR を使用して、崩壊する巨大分子雲のコアを、初期雲半径あたり 131,072 セルという実効解像度までモデル化しました。これは、均一グリッド上の10 15セルの解像度に相当します。 [ 3 ]
高度なメッシュ細分化は関数によって導入されました。[ 4 ]関数により、グリッドを生成し、メッシュ適応を提供することができます。高度な関数には、Winslow関数と修正Liao関数などがあります。[ 5 ]
適応型メッシュ細分化の応用
浅水方程式の解を計算する場合、解（水位）は数フィート間隔の点についてのみ計算される可能性があり、それらの点の間では水位が滑らかに変化すると想定されます。したがって、解の解像度を制限する要因はグリッド間隔であり、グリッド間隔よりも小さいスケールでは数値解の特徴は得られません。適応メッシュ細分化（AMR）は、グリッド点の間隔を変更することで、その領域における解の精度を調整します。浅水の場合、グリッドは一般的に数フィート間隔ですが、大きな波が発生する場所では、グリッド点を数インチ間隔にするように適応的に細分化することができます。
計算過程において、より高い解像度が求められる領域が局所的に留まる場合は、静的メッシュ細分化を用いることができる。これは、グリッドの間隔が領域によって異なるものの、時間経過とともにその形状を維持する手法である。
動的グリッド方式の利点は以下のとおりです。
- 静的グリッド方式に比べて計算コストが大幅に削減される。
- 静的グリッド方式に比べて、ストレージ容量の節約効果が向上します。
- 静的グリッドアプローチの固定解像度や、平滑化粒子流体力学のラグランジュベースの適応性と比較して、グリッド解像度を完全に制御できる。
- 事前に調整された静的メッシュと比較して、適応型アプローチでは、解の進化に関する詳細な事前知識はそれほど必要ありません。
- 計算コストは物理システムの特性を受け継ぐ。[ 6 ]
さらに、AMR法は、二相流[ 7 ] 、流体構造相互作用[ 8 ]、波力発電装置[ 9 ]など、幅広い流体力学の問題に開発され、適用されてきた。
参考文献
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- ↑ Berger, Marsha J.; Colella, Philipp (1989). "Local adaptive mesh refinement for shock hydrodynamics" (PDF) . Journal of Computational Physics . 82 (1): 64– 84. Bibcode : 1989JCoPh..82...64B . doi : 10.1016/0021-9991(89)90035-1 .
- ↑ Klein, Richard (1999). "3次元適応メッシュ細分化による星形成：分子雲の崩壊と断片化" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 109 ( 1– 2): 123– 152. doi : 10.1016/S0377-0427(99)00156-9 .
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- ↑ Popinet, Stéphane (2015). "A quadtree-adaptive multigrid solver for the Serre–Green–Naghdi equations" . Journal of Computational Physics . 302 : 336–358 . Bibcode : 2015JCoPh.302..336P . doi : 10.1016/j.jcp.2015.09.009 . 2021年7月22日取得。
- ↑ Zeng, Yadong; Xuan, Anqing; Blaschke, Johannes; Shen, Lian (2022). "サブサイクリングと非サブサイクリングを伴う二相流の効率的なシミュレーションのための並列セル中心適応レベルセットフレームワーク" . Journal of Computational Physics . 448 110740. Elsevier. Bibcode : 2022JCoPh.44810740Z . doi : 10.1016/j.jcp.2021.110740 . S2CID 244203913 .
- ↑ Zeng, Yadong; Bhala, Amneet; Shen, Lian (2022). "動的に適応したグリッド上で単相および多相流体-構造相互作用問題を解くためのサブサイクリング/非サブサイクリング時間進行スキームに基づくDLM浸漬境界法フレームワーク" . Computers & Fluids . 238 105358. Elsevier. doi : 10.1016/j.compfluid.2022.105358 . S2CID 247369961 .
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