線形不等式

数学において、線型不等式は線型関数を含む不等式である。線型不等式には不等式の記号の1つが含まれる: ^[1]

• < 未満
• > より大きい
• ≤ 以下
• ≥ より大きいか等しい
• ≠ 等しくない

線形不等式は、等号の代わりに不等号が付けられた線形方程式とまったく同じです。

2 次元線形不等式は、次の形式の 2 つの変数の表現です。

${\displaystyle ax+by<c{\text{ かつ }}ax+by\geq c,}$

ここで、不等式は厳密な場合とそうでない場合がある。このような不等式の解集合は、ユークリッド平面の半平面（固定された直線の片側にあるすべての点）によってグラフィカルに表すことができる。^[2]半平面を決定する直線（ax + by = c ）は、不等式が厳密な場合、解集合に含まれない。どの半平面が解集合に含まれるかを決定する簡単な方法は、直線上にない点（x ₀、y _{0 ）で}ax + byの値を計算し、不等式が満たされるかどうかを観察することである。

例えば、^[3] x + 3 y < 9の解集合を描くには、まずx + 3 y = 9 の等式を点線で描き、不等式が厳密であるためその線が解集合に含まれないことを示します。次に、(0,0) など、線上にない都合の良い点を選択します。0 + 3(0) = 0 < 9 であるため、この点は解集合にあり、この点を含む半平面 (線の「下」の半平面) がこの線形不等式の解集合です。

R ⁿの線形不等式は、次の形式で記述される式である。

${\displaystyle f({\bar {x}})<b}$または${\displaystyle f({\bar {x}})\leq b,}$

ここで、fは線型形式（線型汎関数とも呼ばれる）、bは定数の実数 です。${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

より具体的には、次のように書き表すことができます。

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}}}$

または

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b.}$

ここでは未知数と呼ばれ、係数と呼ばれます。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$

あるいは、次のように書くこともできる。

${\displaystyle g(x)<0\,}$または${\displaystyle g(x)\leq 0,}$

ここでgはアフィン関数である。^[4]

つまり

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}}$

または

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq 0.}$

「より大きい」または「以上」の記号を含む不等式は、「より小さい」または「以下」の記号で書き換えることができるため、これらの記号を使用して線形不等式を定義する必要がないことに注意してください。

線形不等式系は、同じ変数における線形不等式の集合です。

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

ここで、は未知数、は系の係数、は定数項です。 ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n}}$${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}}$${\displaystyle b_{1},\ b_{2},...,b_{m}}$

これは簡潔に行列不等式 として記述できる。

${\displaystyle Ax\leq b,}$

ここで、Aはm × n行列、xは変数のn ×1列ベクトル、bは定数のm ×1列ベクトルである。^[要出典]

上記のシステムでは、厳密な不等式と非厳密な不等式の両方を使用できます。

• すべての線形不等式系に解があるわけではありません。

フーリエ・モツキン消去法を用いて線形不等式から変数を消去することができる。^[5]

実線型不等式の解の集合は、対応する線型方程式によって定義される 2 つの半空間のうちの 1 つである、n 次元実空間の 半空間を構成します。

線形不等式の解の集合は、個々の不等式によって定義される半空間の交差に対応する。半空間は凸集合であり、凸集合の集合の交差も凸であるため、これは凸集合である。非退化の場合、この凸集合は凸多面体（無限の場合もある。例えば、半空間、2つの平行な半空間の間のスラブ、または多面体円錐）である。これは空であるか、 n次元空間R ⁿのアフィン部分空間に限定された低次元の凸多面体であることもある。

線形計画問題は、変数に対するいくつかの制約（一般には線形不等式）に従って関数（目的関数と呼ばれる）を最適化（最大値または最小値を見つける）しようとするものです。 ^[6]制約のリストは線形不等式のシステムです。

上記の定義では、加算、乗算、比較の明確に定義された演算が必要です。したがって、線型不等式の概念は、順序付き環、特に順序付き体まで拡張できます。

• エンジェル、アレン R.; ポーター、スチュアート R. (1989)、応用数学概論(第 3 版)、アディソン ウェスレー、ISBN 0-201-13696-1
• チャールズ・D・ミラー;バーン E ヒーレン (1986)、数学的アイデア(第 5 版)、スコット、フォレスマン、ISBN 0-673-18276-2

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