正規化メッシュレス法

数値数学において、正則化メッシュレス法 (RMM) は、特異メッシュレス法または非特異化メッシュレス法とも呼ばれ、基本解が明示的にわかっている特定の偏微分方程式を解くために設計されたメッシュレス境界選点法です。RMM は、メッシュレス、積分不要、実装が簡単、安定性が高いという利点を持つ強形式選点法です。これまで、この方法は、ポテンシャル、音響、水波、有界領域と非有界領域の逆問題など、いくつかの典型的な問題に適用され、成功を収めてきました。

説明

RMM は、ポテンシャル理論の二重層ポテンシャルを基底/カーネル関数として使用します。基本解法(MFS) ^[1]^[2]と同様に、数値解は、異なるソースポイントに関する二重層カーネル関数の線形結合によって近似されます。ただし、MFS とは異なり、RMM のコロケーションポイントとソースポイントは一致しており、MFS の架空の境界を必要とせずに物理境界上に配置されます。したがって、RMM は、現実世界の問題に対する MFS アプリケーションの主要なボトルネックを克服します。

共点と音源点が一致すると、二重層カーネル関数はさまざまな特異点を呈する。そこで、減算と加算による正規化手法^[3]が導入され、このような特異点が除去またはキャンセルされる。

歴史と最近の発展

最近では、有限要素法(FEM)、有限差分法(FDM)、有限体積法(FVM)、境界要素法(BEM) が、多くの工学および科学分野の数値モデリングにおける主要な数値手法となっています。メッシュ生成は面倒で、高次元の移動境界問題や複雑な形状の境界問題の解決において非常に困難な問題でもあり、計算コストが高く、数学的に面倒なことも多くあります。

BEM は、境界のみの離散化と半解析的性質により、このような欠点を軽減すると長い間主張されてきました。しかし、これらのメリットにもかかわらず、BEM には非常に高度な数学といくつかの扱いにくい特異積分が伴います。さらに、3 次元領域での表面メッシュ化は、依然として簡単な作業ではありません。過去数十年にわたり、これらの困難を軽減または排除するために多大な努力が払われ、領域メッシュ化も境界メッシュ化も必要としないメッシュレス/メッシュフリー境界配置法が開発されました。これらの方法の中で、MFS は、プログラミングの容易さ、数学的単純さ、高精度、および高速収束というメリットにより、最も人気があります。

MFSでは、基本解の特異性を回避するために、問題領域外に架空の境界が必要です。しかし、架空の境界の最適な位置を決定することは、研究すべき簡単な作業ではありません。この長年の難問を解消するために、それ以来、劇的な努力がなされてきました。最近の進歩には、境界ノット法（BKM）^[4]^[5]正則化メッシュレス法（RMM）^[3]修正MFS（MMFS）^[6]特異境界法（SBM）^[7]などがあります。

RMM の方法論は、2005 年に Young と彼の共同研究者によって初めて提案されました。主要なアイデアは、減算と加算による正則化手法を導入して、原点における二重層カーネル関数の特異性を除去し、ソースポイントを実際の境界上に直接配置できるようにすることです。現在までに、RMM は、ポテンシャル、^[3]、外部音響^[8]、対平面圧電^{[9] 、多重連結領域での音響固有値問題、[}^10]、逆問題、 [ ^11]、ポジショナ方程式[ ^{12 ]、水波問題}^[13]など、さまざまな物理的問題に適用されてきました。さらに、この方法の実現可能性と効率性をさらに向上させることを目的とした、いくつかの改良された定式化が行われています。たとえば、不規則領域問題用の重み付き RMM ^[14]や 2D ラプラス問題用の解析的 RMM などがあります。^[15]

参照

参考文献

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[1] AKG Fairweather、「楕円境界値問題の基本解法」、計算数学の進歩。9 (1998) 69–95。

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[RMM-3] DL Young、KH Chen、CW Lee。任意のドメインのポテンシャル問題を解くための新しいメッシュレス法。計算物理学ジャーナル2005; 209(1): 290–321。

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[9] KH Chen、JH Kao、JT Chen。複数の介在物を含む平面外圧電問題に対する正規化メッシュレス法。Computers 、Materials、& Continua 2009;9(3):253–79。

[10] KH Chen、JT Chen、JH Kao。多重連結領域での音響固有値問題を解くための正規化メッシュレス法。Computer Modeling in Engineering & Sciences 2006;16(1):27–39。

[11] KH Chen、JH Kao、JT Chen、KL Wu。正規化技術を用いた過剰指定境界条件を持つラプラス方程式を解くための非特異メッシュレス法。計算力学2009;43:827–37

[12] W. Chen、J. Lin、FZ Wang、「非均質問題に対する正規化メッシュレス法」、2015-06-06にWayback Machineでアーカイブ、Eng. Anal. Bound. Elem. 35 (2011) 253–257。

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[14] RC Song、W. Chen、「不規則領域問題に対する正規化メッシュレス法の調査」、CMES-Comput. Model. Eng. Sci . 42 (2009) 59–70。

[15] W. Chen、RC Song、「2Dディリクレ・ラプラス問題の正則領域に対する正則化メッシュレス法の解析的対角要素」、Eng. Anal. Bound. Elem. 34 (2010) 2–8。