ビーマンのアルゴリズム

ビーマンのアルゴリズムは、2次の常微分方程式、より具体的にはニュートンの運動方程式を数値的に積分する 方法です。分子動力学のシミュレーションで多数の粒子を扱えるように設計されました。この方法には、直接的または明示的な変種と暗黙的な変種があります。直接的な変種は、ビーマンからの個人的な通信として1973年にスコフィールドによって発表されました^[1]。これは、一般にビーマン法として知られています。これは、ヴェルレ積分法の変種です。同じ位置を生成しますが、速度に異なる式を使用します。ビーマンは1976年に暗黙的（予測子-修正子）マルチステップ法のクラスを発表しました^{[2] 。}ビーマン法はこのクラスの3次法の直接的な変種です。 ${\displaystyle {\ddot {x}}=A(x)}$

完全な予測子修正子^[2]方式で時間における位置を計算するために使用される式は次のとおりです。 ${\displaystyle t+\Delta t}$

• 時にはデータから予測する${\displaystyle x(t+\Delta t)}$${\displaystyle t{\text{ と }}t-\Delta t}$

${\displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}4a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})}$。

• 微分方程式を繰り返し評価して加速度と暗黙のシステムの方程式を取得し、時間ごとのデータから時間ごとの位置と速度を修正します。${\displaystyle t+\Delta t}$${\displaystyle t{\text{ および }}t+\Delta t}$${\displaystyle a(t+\Delta t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}a(t+\Delta t)+2a(t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\\v(t+\Delta t)\Delta t&=x(t+\Delta t)-x(t)+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}2a(t+\Delta t)+a(t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\end{aligned}}}$

テストでは、この補正ステップは最大 2 回繰り返す必要があることがわかりました。右側の値は最後の反復の古い値であり、左側の新しい値になります。

予測式と速度補正式のみを使用すると、直接法または明示法^[1]が得られます。これは、Verlet積分法の変形です。^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t+\Delta t)&=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}4a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})\\v(t+\Delta t)&=v(t)+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}2a(t+\Delta t)+5a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t+O(\Delta t^{3});\end{aligned}}}$

これは通常、ビーマン法として理解されている変種です。

ビーマン^[2]は、最後の式の速度更新を2次のアダムス・モールトン法に置き換えることも提案した。

${\displaystyle v(t+\Delta t)=v(t)+{\frac {1}{12}}{\Bigl (}5a(t+\Delta t)+8a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t+O(\Delta t^{3})}$

どこ

• ${\displaystyle t}$現在時刻（すなわち独立変数）
• ${\displaystyle \Delta t}$時間ステップのサイズ
• ${\displaystyle x(t)}$時刻tにおける位置である
• ${\displaystyle v(t)}$時刻tにおける速度である
• ${\displaystyle a(t)}$は時刻tにおける加速度であり、次の関数として計算される。${\displaystyle x(t)}$
• 最後の項は誤差項であり、大文字のO記法を使用する。

力が位置に加えて速度の関数であるシステムでは、上記の式を予測子-修正子形式に変更する必要があります。これにより、時間における速度が予測され、力が計算されてから、速度の修正形式が生成されます。 ${\displaystyle t+\Delta t}$

例:

${\displaystyle x(t+\Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {2}{3}}a(t)\Delta t^{2}-{\frac {1}{6}}a(t-\Delta t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).}$

その後、位置から その時点での速度が計算（予測）されます。${\displaystyle t=t+\Delta t}$

${\displaystyle v(t+\Delta t)~{\text{(予測)}}=v(t)+{\frac {3}{2}}a(t)\Delta t-{\frac {1}{2}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).}$

次に、位置と予測速度から時間における加速度を計算し、速度を修正します。 ${\displaystyle a(t+\Delta t)}$${\displaystyle t=t+\Delta t}$

${\displaystyle v(t+\Delta t)~{\text{(corrected)}}=v(t)+{\frac {5}{12}}a(t+\Delta t)\Delta t+{\frac {2}{3}}a(t)\Delta t-{\frac {1}{12}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).}$

上に示したように、ローカル誤差項は位置と速度に関するものであり、グローバル誤差は になります。比較すると、Verlet は位置と速度に関するものです。Beeman のアルゴリズムは、精度が向上する代わりに、計算コストがやや高くなります。 ${\displaystyle O(\Delta t^{4})}$${\displaystyle O(\Delta t^{3})}$${\displaystyle O(\Delta t^{3})}$${\displaystyle O(\Delta t^{2})}$

シミュレーションでは、位置、速度、加速度、および粒子ごとの以前の加速度ベクトルを追跡する必要があります (以前の加速度ベクトルを保存するための巧妙な回避策はいくつか可能ですが)。そのため、メモリ要件は速度 Verlet と同等になり、元の Verlet 法よりもわずかにコストが高くなります。

• サダス、リチャード J. (2002)、流体の分子理論: 理論、アルゴリズム、オブジェクト指向、エルゼビア、p. 231、ISBN 0-444-51082-6