誤差解析（数学）

前方誤差解析は関数の解析を含む${\displaystyle z'=f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})}$これは関数の近似値（通常は有限多項式）である。${\displaystyle z\,=\,f(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n})}$近似誤差の境界を決定する。つまり、${\displaystyle \epsilon }$そのため${\displaystyle 0\,\leq \,|zz'|\,\leq \,\epsilon .}$検証済みの数値 計算では、前方誤差の評価が望ましい。^{[ 2 ]}

後方誤差解析は近似関数の解析を含む。${\displaystyle z'\,=\,f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n}),}$パラメータの範囲を決定する$\displaystyle a_{i}\,=\,{\bar {a_{i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}}$結果として${\displaystyle z'\,=\,z.}$^{[ 3 ]}

後方誤差解析は、その理論がジェームズ・H・ウィルキンソンによって開発され普及したもので、数値関数を実装するアルゴリズムが数値的に安定していることを確立するために使用できます。^{[ 4 ]}基本的なアプローチは、丸め誤差のために計算結果が厳密には正しくないとしても、わずかに摂動された入力データを持つ近傍の問題の正確な解であることを示すことです。必要な摂動が小さい場合、入力データの不確実性のオーダーであれば、結果は、ある意味でデータが「ふさわしい」精度になります。この場合、アルゴリズムは後方安定であると定義されます。安定性は、特定の数値手順の丸め誤差に対する感度の尺度です。対照的に、特定の問題に対する関数の条件数は、入力の小さな摂動に対する関数の固有の感度を示し、問題を解くために使用される実装とは無関係です。^{[ 5 ] [ 6 ]}

全地球測位システム（ GPS）を用いて計算された誤差の分析は、 GPSの仕組みを理解し、どの程度の誤差が予想されるかを把握する上で重要です。GPSは受信機のクロック誤差やその他の影響を補正しますが、補正されない残留誤差が依然として存在します。GPSは1970年代に米国国防総省（DOD）によって開発されました。現在では、米軍と一般市民の両方によって航行に広く利用されています。

分子動力学（MD）シミュレーションでは、位相空間のサンプリングが不十分であったり、発生頻度の低い事象が生じたりすることによって誤差が生じ、その結果、測定値のランダムな変動による統計誤差が発生します。

変動する特性AのM回の測定値の平均値は次のとおりです。

$${\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {1}{M}}\sum _{\mu =1}^{M}A_{\mu }.}$$

これらのM個の測定値が独立している場合、平均の分散⟨A⟩は次のようになります。

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A),}$$

しかし、ほとんどのMDシミュレーションでは、異なる時点での量Aの間には相関があるため、独立した測定の実効数がMより少ないため、平均⟨A⟩の分散は過小評価されます。このような状況では、分散を次のように書き換えます。

$${\displaystyle \sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A)\left[1+2\sum _{\mu }\left(1-{\frac {\mu }{M}}\right)\phi _{\mu }\right],}$$

どこ${\displaystyle \phi _{\mu }}$自己相関関数は次のように定義されます。

$${\displaystyle \phi _{\mu }={\frac {\langle A_{\mu }A_{0}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}{\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}.}$$

次に、自己相関関数を使用して誤差範囲を推定できます。幸いなことに、ブロック平均化に基づくはるかに簡単な方法があります。^{[ 7 ]}

測定値には一般的にわずかな誤差が伴い、同じ項目を繰り返し測定すると、通常は測定値にわずかな差が生じます。これらの差は分析可能であり、既知の数学的および統計的性質に従います。データセットが仮説にあまりにも忠実であるように見える場合、つまり、そのような測定値に通常存在するはずの誤差が見られない場合、データが偽造された可能性があるという結論を導き出すことができます。誤差分析だけでは、データが改ざんまたは捏造されたことを証明するには通常不十分ですが、不正行為の疑いを裏付けるために必要な証拠を提供する可能性があります。