Loading article…
検証済み数値計算（しょうめいじゅつりつぎょう、英: validated numerics ）は、数学的に厳密な誤差（丸め誤差、切り捨て誤差、離散化誤差）評価を含む数値計算であり、数値解析の一分野である。計算には区間演算が使用され、すべての結果は区間で表わされる。検証済み数値計算は、ワーウィック・タッカーがスメールの問題の第14問題を解くために使用し、[1]現在では力学系の研究のための強力なツールとして認識されている。[2]
重要性
検証なしで計算すると、残念な結果が生じる可能性があります。以下にいくつかの例を示します。
ランプの例
1980年代にランプは例を挙げました。[3] [4]彼は複雑な関数を作り、その値を取得しようとしました。単精度、倍精度、拡張精度の結果は正しいように見えましたが、プラスマイナスの符号が真の値と異なっていました。
ファントムソリューション
Breuer–Plum–McKennaはスペクトル法を用いてEmden方程式の境界値問題を解き、非対称解が得られたことを報告した。[5]この研究結果は、非対称解は存在しないと主張するGidas–Ni–Nirenbergの理論的研究と矛盾している。[6] Breuer–Plum–McKennaによって得られた解は、離散化誤差によって生じた幻の解であった。これはまれなケースであるが、微分方程式を厳密に議論したい場合には、数値解は検証されなければならないことを物語っている。
数値エラーによる事故
数値エラーによる事故としては、次のような例が知られています。
主なトピック
検証済み数値の研究は、次の分野に分かれています。
- 数値線形代数における検証
- 与えられた線形方程式の数値解の検証[10] [11]
- 数値的に得られた固有値の検証[12] [13] [14]
- 行列式の厳密な計算[15]
- 行列方程式の数値解の検証[16] [17] [18] [19] [20] [21] [22]
- 特殊機能の検証:
- 数値積分の検証[31] [32] [33]
- 非線形方程式の検証（カントロビッチ定理、[34]クラフチク法、区間ニュートン法、デュラン・ケルナー・アベルト法を研究する。）
- ODE、PDEの解の検証[35] （PDEの場合は関数解析の知識が使用される。[34]）
- 線形計画法の検証[36]
- 計算幾何学の検証
- 高性能コンピューティング環境での検証
ツール
- MATLAB / GNU Octaveによる INTLAB ライブラリ
- kv C++で作成されたライブラリ。このライブラリはGNU MPFR を使用することで、倍精度出力を得ることができます。
- GitHubの kv
- Cで作成された Arb ライブラリ。さまざまな特殊関数を厳密に計算できます。
- GitHubの arb
- CAPD は、動的システムの集合、マップ、検証済み数値のホモロジー計算を主に目的として設計された柔軟な C++ モジュールのコレクションです。
- GitHubの JuliaIntervals ( Juliaが作成したライブラリ)
- Boost Safe Numerics - すべての組み込み整数型の検証済み置換の C++ ヘッダーのみのライブラリ。
- GitHub上の安全な数値
参照
- コンピュータ支援による証明
- 区間演算
- アフィン演算
- INTLAB（インターバルラボ）
- 自動微分
- wikibooks:数値計算と厳密な数学
- カントロヴィッチの定理
- ゲルシュゴリン円定理
- ウルリッヒ・W・クリッシュ
参考文献
- ^ ワーウィック、タッカー。 （1999年）。 「ローレンツアトラクターは存在します。」Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics、328(12)、1197–1202。
- ^ Zin Arai、Hiroshi Kokubu、Paweãal Pilarczyk。動的システムにおける厳密な計算手法の最近の進歩。
- ^ Rump, Siegfried M. (1988)。「検証済み包含アルゴリズム:理論と実践」『コンピューティングにおける信頼性』 (pp. 109–126)。Academic Press。
- ^ Loh, Eugene; Walster, G. William (2002). Rump の例の再考。Reliable Computing、8(3)、245-248。
- ^ Breuer, B.; Plum, Michael; McKenna, Patrick J. (2001). 「スペクトル数値法による非線形境界値問題の解の包含と存在証明」『数値解析のトピックス』 (pp. 61–77)。Springer、ウィーン。
- ^ Gidas, B.; Ni, Wei-Ming; Nirenberg, Louis (1979). 「最大原理による対称性と関連特性」Communications in Mathematical Physics、68(3)、209–243。
- ^ 「パトリオットミサイルの失敗」。
- ^ アリアン 5 フライト 501 の失敗、http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html
- ^ 四捨五入の誤差により議会の構成が変わる
- ^ 山本 孝文 (1984). 連立方程式の近似解の誤差限界. 応用数学, 1(1), 157.
- ^ 大石 S.、ランプ SM (2002).行列方程式の解を高速に検証します。 Numericsche Mathematik、90(4)、755-773。
- ^ 山本哲也 (1980).計算された固有値と固有ベクトルの誤差範囲。数学数学、34(2)、189-199。
- ^ 山本哲也 (1982).計算された固有値と固有ベクトルの誤差範囲。 II.数学数学、40(2)、201-206。
- ^ Mayer, G. (1994). 固有ベクトルと固有値の結果検証。Topics in Validated Computations、Elsevier、アムステルダム、209-276。
- ^ Ogita, T. (2008). 行列式の検証済み数値計算。SCAN'2008 テキサス州エルパソ、2008年9月29日～10月3日、86ページ。
- ^ 宮島慎也、共役離散時間代数リカッチ方程式のエルミート正定値解の検証済み計算、Journal of Computational and Applied Mathematics、第350巻、80-86ページ、2019年4月。
- ^ 宮島慎也、非対称代数リカッチ方程式の最小非負解の高速検証計算、計算および応用数学、第37巻、第4号、4599-4610ページ、2018年9月。
- ^ 宮島慎也, T-合同シルベスター方程式の解の高速検証計算, 応用数理誌, 第35巻第2号, 541-551頁, 2018年7月.
- ^ 宮島真也、二次行列方程式の溶媒に対する高速検証計算、The Electronic Journal of Linear Algebra、第34巻、137-151ページ、2018年3月
- ^ 宮島慎也、輸送理論で生じる代数リカッチ方程式の解の高速検証計算、数値線形代数の応用、第24巻、第5号、1-12ページ、2017年10月。
- ^ 宮島慎也、離散時間代数リカッチ方程式の安定化解のための高速検証計算、Journal of Computational and Applied Mathematics、第319巻、352-364ページ、2017年8月。
- ^ 宮島慎也, 連続時間代数リカッチ方程式の解の高速検証計算, 応用数理, 第32巻第2号, 529-544頁, 2015年7月.
- ^ Rump, Siegfried M. (2014). 浮動小数点範囲全体にわたる実ガンマ関数の検証された鋭い境界。非線形理論とその応用、IEICE、5(3)、339-348。
- ^ 山中直也、岡山智明、大石真一 (2015年11月)。半無限区間上の二重指数式を用いた実ガンマ関数の検証済み誤差境界。国際コンピュータ情報科学数学会議 (pp. 224-228)。Springer。
- ^ Johansson, Fredrik (2019). 楕円関数、楕円積分、モジュラー形式の数値評価。量子場理論における楕円積分、楕円関数、モジュラー形式 (pp. 269-293)。Springer、Cham。
- ^ Johansson, Fredrik (2019). 超幾何関数の厳密な計算。ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 45(3), 30。
- ^ Johansson, Fredrik (2015). フルヴィッツゼータ関数とその導関数の厳密な高精度計算。数値アルゴリズム、69(2), 253-270。
- ^ 宮島 誠 (2018).行列主 p 乗根の高速検証計算。en:Journal of Computational and Applied Mathematics、330、276-288。
- ^ 宮島 誠 (2019). 行列主対数の検証済み計算。線形代数とその応用、569、38-61。
- ^ 宮島 誠 (2019). 行列指数関数の検証済み計算。計算数学の進歩、45(1), 137-152。
- ^ Johansson, Fredrik (2017). Arb: 効率的な任意精度の中点半径区間演算。IEEE Transactions on Computers、66(8)、1281-1292。
- ^ Johansson, Fredrik (2018 年 7 月)。任意精度ボール演算における数値積分。International Congress on Mathematical Software (pp. 255-263)。Springer、Cham。
- ^ Johansson, Fredrik; Mezzarobba, Marc (2018). ガウス-ルジャンドル求積法のノードと重みの高速かつ厳密な任意精度計算。SIAM Journal on Scientific Computing、40(6)、C726-C747。
- ^ ab Eberhard Zeidler、「非線形関数解析とその応用 IV」、Springer Science & Business Media。
- ^ 中尾 光弘、マイケル プラム、渡辺 義孝 (2019) 偏微分方程式の数値検証法とコンピュータ支援証明 (Springer Series in Computational Mathematics)。
- ^ 大石 真一; 田辺 邦夫 (2009). 線形計画法における最適点の数値的包含. 応用数理論文集, 1, 5-8.
さらに読む
- タッカー、ワーウィック(2011)。『検証済み数値計算：厳密な計算への短い入門』プリンストン大学出版局。
- Moore, Ramon Edgar、Kearfott, R. Baker、Cloud, Michael J. (2009)。区間解析入門。産業応用数学協会。
- Rump, Siegfried M. (2010). 検証方法: 浮動小数点演算を使用した厳密な結果Acta Numerica , 19, 287–449.
外部リンク
- 歩行者向けの検証済み数値
- Reliable Computing は、精度が保証された数値計算、範囲の境界、浮動小数点演算に基づく数学的証明、および区間演算と方向付き丸めのその他の理論と応用に特化したオープン電子ジャーナルです。