大規模渦シミュレーション

大規模渦シミュレーション( LES ) は、計算流体力学で使用される乱流の数学的モデルです。これは、1963 年にJoseph Smagorinskyによって大気気流のシミュレーションのために最初に提案され^[¹^]、James Deardorff (1970 年) によって初めて研究されました^[²^] 。LES は現在、燃焼[ ³^]、音響^[⁴^]、大気境界層のシミュレーション^[⁵^]^[⁶^]など、さまざまな工学的応用に使用さ^{れています。}

ナビエ・ストークス方程式を数値的に解くことで乱流をシミュレーションするには、流れ場に影響を与える非常に広範囲の時間スケールと長さスケールを解像する必要があります。このような解像は直接数値シミュレーション（DNS）で実現できますが、DNSは計算コストが高く、そのコストのために、乱流ジェット、ポンプ、車両、着陸装置など、複雑な形状や流れ構成を持つ実用的な工学システムのシミュレーションは不可能です。

LES の基本的な考え方は、ナビエ・ストークス方程式のローパスフィルタリングによって、解くのに最も計算コストがかかる最小の長さスケールを無視することで計算コストを削減することです。時間的および空間的な平均化と見なせるこのようなローパスフィルタリングは、数値解から小さなスケールの情報を効果的に除去します。しかし、この情報は無関係ではなく、流れ場への影響をモデル化する必要があります。これは、壁面近傍の流れ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}、反応流^{[ 3 ] 、多相流}^[⁹^]など、小さなスケールが重要な役割を果たす問題に対する活発な研究分野です。

フィルタの定義とプロパティ

均質減衰乱流の直接数値シミュレーション（DNS）によって生成された速度場。領域サイズは $\displaystyle L^{3}}$ 。

{\displaystyle \Delta =L/32} — ボックスフィルターを使用してフィルタリングされた同じ DNS 速度フィールドと $\Delta =L/32$ 。

{\displaystyle \Delta =L/16} — ボックスフィルターを使用してフィルタリングされた同じ DNS 速度フィールドと $\Delta =L/16$ 。

LESフィルタは空間的および時間的な場に適用できる。 $\displaystyle \phi (\boldsymbol {x}},t)$ そして、空間フィルタリング操作、時間フィルタリング操作、またはその両方を実行します。バーで示されるフィルタリングされたフィールドは、次のように定義されます。^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

{\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},\tau )G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},t-\tau )d\tau d{\boldsymbol {r}}

どこ $G$ これはフィルタ畳み込みカーネルです。これは次のようにも記述できます。

{\overline {\phi }}=G\star \phi .

フィルタカーネル $G$ 関連するカットオフ長スケールを持つ $\Delta$ カットオフ時間スケール $\displaystyle \tau _{c}}$ これらより小さいスケールは除外されます ${\overline {\phi }}$ 上記のフィルタ定義を使用すると、任意のフィールド $\phi$ フィルタリングされた部分とサブフィルタリングされた部分（プライム記号で示される）に分割される可能性がある。

\phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.

大規模渦シミュレーションのフィルタリング操作は、レイノルズ演算子の特性を満たさないことに注意することが重要です。

フィルタリングされた支配方程式

LESの支配方程式は、流れ場を支配する偏微分方程式をフィルタリングすることによって得られる。 $\rho {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)$ 非圧縮性LESと圧縮性LESの支配方程式には違いがあり、それが新しいフィルタリング操作の定義につながる。

非圧縮性流体

非圧縮性流れの場合、連続の式とナビエ・ストークス方程式がフィルタリングされ、フィルタリングされた非圧縮性連続の式が得られます。

\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0}

そして、フィルタリングされたナビエ・ストークス方程式は、

{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u_{i}u_{j}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij},

どこ ${\bar {p}}$ はフィルタリングされた圧力場であり、 ${\bar {S}}_{ij}$ は、フィルタリングされた速度を使用して評価された歪み速度テンソルです。非線形フィルタリング移流項 ${\overline {u_{i}u_{j}}}$ LESモデリングにおける主な困難の原因は、非線形性である。非線形性には、未知であるフィルタリングされていない速度場の知識が必要となるため、それをモデル化する必要がある。以下の解析では、非線形性によって引き起こされる困難、すなわち、大小スケール間の相互作用が生じ、スケールの分離が妨げられることを明らかにする。

^{レオナルド（1975） [ 12 ]}に従って、フィルタリングされた移流項は次のように分割できます。

{\overline {u_{i}u_{j}}}=\tau _{ij}+{\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}

どこ $\displaystyle \tau _{ij}}$ は残留応力テンソルであるため、フィルタリングされたナビエ・ストークス方程式は次のようになる。

{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}

残留応力テンソル $\displaystyle \tau _{ij}}$ すべての未閉項をグループ化します。レオナルドはこの応力テンソルを次のように分解しました。 $\tau _{ij}=L_{ij}+C_{ij}+R_{ij}$ そして、それぞれの用語について物理的な解釈を提供した。 $L_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\overline {\bar {u}}}_{i}{\overline {\bar {u}}}_{j}$ レオナールテンソルは、大規模スケール間の相互作用を表し、 $R_{ij}={\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}-{\overline {u_{i}}}^{\prime }{\overline {u_{j}}}^{\prime }$ 、レイノルズ応力のような項は、サブフィルタースケール（SFS）間の相互作用を表し、 $C_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }}}+{\overline {{\bar {u}}_{j}u_{i}^{\prime }}}-{\overline {\bar {u}}}_{i}{\overline {u_{j}^{\prime }}}-{\overline {\bar {u}}}_{j}{\overline {u_{i}^{\prime }}}$ クラークテンソル^{[ 13 ]}は、大小スケール間のクロススケール相互作用を表す。^{[ 12 ]}閉じられていない項のモデリング $\tau _{ij}$ サブグリッドスケール (SGS) モデルの課題は、サブグリッド応力テンソルが $\tau _{ij}$ フィルタリングされた尺度とフィルタリングされていない尺度を含む、すべての尺度間の相互作用を考慮する必要がある。

受動スカラーのフィルタリングされた支配方程式 $\phi$ 混合比率や温度などのは次のように表すことができます。

{\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{j}{\overline {\phi }}\right)={\frac {\partial {\overline {J_{\phi }}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial q_{j}}{\partial x_{j}}}

どこ $J_{\phi }$ 拡散流束は $\phi$ 、そして $q_{j}$ はスカラーのサブフィルターフラックスです $\phi$ 濾過された拡散流束 ${\overline {J_{\phi }}}$ 勾配拡散モデルなどの特定の形式が想定されない限り、閉じられていない。 $J_{\phi }=D_{\phi }{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}$ 。 $q_{j}$ は、以下のように定義される。 $\tau _{ij}$ 、

q_{j}={\bar {\phi }}{\overline {u}}_{j}-{\overline {\phi u_{j}}}

同様に、さまざまなスケール間の相互作用による寄与に分割することもできます。このサブフィルターフラックスにも、サブフィルターモデルが必要です。

導出

アインシュタイン記法を用いると、デカルト座標系における非圧縮性流体のナビエ・ストークス方程式は次のようになる。

{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0

{\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.

運動量方程式をフィルタリングすると、

{\overline {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\overline {{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}}}+{\overline {\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}}.

フィルタリングと微分が可換であると仮定すると、

{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.

この方程式は、フィルタリングされた変数の時間的変化をモデル化したものです。 ${\bar {u}}_{i}$ フィルタリングされていない変数は $u_{i}$ 不明であるため、直接計算することは不可能です。 ${\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}$ しかし、その量は ${\frac {\partial {\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}$ が既知である。置換が行われる。

{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-\left({\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}-{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}\right).

させて $\tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}$ 結果として得られる方程式のセットは、LES方程式である。

{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}.

圧縮性流体の支配方程式

圧縮性流体の支配方程式については、質量保存則から始まる各方程式をフィルタリングする。その結果、次の式が得られる。

{\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}\rho }}}{\partial x_{i}}}=0

その結果、追加のサブフィルタ項が生じる。しかし、質量保存方程式のサブフィルタスケールをモデル化する必要がないようにすることが望ましい。このため、Favre ^{[ 14 ] は}、任意の量に対して定義される、Favreフィルタリングと呼ばれる密度加重フィルタリング操作を提案した。 $\phi$ として：

{\tilde {\phi }}={\frac {\overline {\rho \phi }}{\overline {\rho }}}

これは、非圧縮性の極限においては、通常のフィルタリング操作となる。これにより、質量保存の式は次のようになる。

{\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0.

この概念を拡張して、圧縮性流れに対するファブレ濾過運動量方程式を記述することができる。Vreman に従って: ^{[ 15 ]}

{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u}}_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u}}_{i}{\tilde {u}}_{j}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}_{ij}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial {\overline {\rho }}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)

どこ $\sigma _{ij}$ はせん断応力テンソルであり、ニュートン流体の場合、次のように表される。

\sigma _{ij}=2\mu (T)S_{ij}-{\frac {2}{3}}\mu (T)\delta _{ij}S_{kk}

そしてその用語 ${\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)$ 粘度を評価することによって得られるサブフィルターの粘性寄与を表す $\mu (T)$ ファブレフィルター処理された温度を使用する ${\tilde {T}}$ ファブレフィルター処理された運動量場のサブグリッド応力テンソルは次のように与えられる。

\tau _{ij}^{r}={\widetilde {u_{i}\cdot u_{j}}}-{\tilde {u}}_{i}{\tilde {u}}_{j}

同様に、レオナルド分解は、フィルタリングされた三重積の残留応力テンソルに対しても記述することができる。 ${\overline {\rho \phi \psi }}$ 3重積は、ファブレフィルタリング演算子を使用して次のように書き換えることができます。 ${\overline {\rho }}{\widetilde {\phi \psi }}$ これは閉じられていない用語です（ $\phi$ そして $\psi$ 畑だけが ${\tilde {\phi }}$ そして ${\tilde {\psi }}$ は既知である）。それは、 ${\overline {u_{i}u_{j}}}$ 上記の結果、サブフィルター応力テンソルが得られます。 ${\overline {\rho }}\left({\widetilde {\phi \psi }}-{\tilde {\phi }}{\tilde {\psi }}\right)$ このサブフィルター項は、3種類の相互作用からの寄与に分割できます。レオナルドテンソル $L_{ij}$ 分解されたスケール間の相互作用を表すクラークテンソル $C_{ij}$ は、解像されたスケールと解像されていないスケールの間の相互作用を表し、レイノルズテンソルは、 $R_{ij}$ これは、未解決のスケール間の相互作用を表しています。^{[ 16 ]}

フィルタリングされた運動エネルギー方程式

質量方程式と運動量方程式のフィルタリングに加えて、運動エネルギー方程式をフィルタリングすることで、さらなる洞察が得られます。運動エネルギー場をフィルタリングすることで、フィルタリングされた総運動エネルギーが得られます。

{\overline {E}}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}

そして、フィルタリングされた全運動エネルギーは、フィルタリングされた速度場の運動エネルギーという2つの項に分解できる。 $E_{f}$ 、

E_{f}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}

そして残留運動エネルギー $k_{r}$ 、

k_{r}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}={\frac {1}{2}}\tau _{ii}^{r}

そのため ${\overline {E}}=E_{f}+k_{r}$ 。

保存方程式 $E_{f}$ は、フィルタリングされた運動量輸送方程式にを乗じることで得られる。 ${\overline {u_{i}}}$ 結果として得られるもの：

{\frac {\partial E_{f}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial E_{f}}{\partial x_{j}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}-2\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {S}}_{ij}}{\partial x_{j}}}=-\epsilon _{f}-\Pi

どこ $\epsilon _{f}=2\nu {\bar {S}}_{ij}{\bar {S}}_{ij}$ これは、粘性応力による濾過された速度場の運動エネルギーの散逸であり、 $\Pi =-\tau _{ij}^{r}{\bar {S}}_{ij}$ これは、サブフィルタースケール（SFS）における運動エネルギーの散逸を表します。

左辺の項は輸送を表し、右辺の項は運動エネルギーを散逸させるシンク項である。^{[ 10 ]}

の $\Pi$ SFS散逸項は、大きな分解スケールから小さな未分解スケールへのエネルギー伝達を表すため、特に興味深い。平均的には、 $\Pi$ エネルギーを大きなスケールから小さなスケールへ伝達する。しかし、瞬時に $\Pi$ 正または負になる可能性があり、つまり、ソース用語としても機能します。 $E_{f}$ は、フィルタリングされた速度場の運動エネルギーです。未分解スケールから分解されたスケールへのエネルギーの伝達は後方散乱と呼ばれ（同様に、分解されたスケールから未分解スケールへのエネルギーの伝達は前方散乱と呼ばれます）。^{[ 17 ]}

数値計算法

大規模渦シミュレーション（LES）は、計算流体力学を用いて離散的にフィルタリングされた支配方程式を解くことを含む。LESは領域サイズからスケールを解像する。 $L$ フィルターサイズまで $\Delta$ そのため、高波数乱流変動の大部分を解像する必要がある。これには、高次数値スキームを用いるか、低次数値スキームを用いる場合は細かいグリッド解像度が必要となる。ポープ^{[ 10 ]}の第13章では、どの程度細かいグリッド解像度が必要かという問題を取り上げている。 $\Delta x$ フィルタリングされた速度場を解読するために必要 ${\overline {u}}({\boldsymbol {x}})$ Ghosal ^{[ 18 ]}は、有限体積法で使用されるような低次離散化スキームの場合、フィルタ幅が一定でない限り、切り捨て誤差はサブフィルタスケール寄与と同じオーダーになる可能性があることを発見した。 $\Delta$ グリッド間隔よりもかなり大きい $\Delta x$ 偶数次スキームには切り捨て誤差があるものの、非散逸的である^{[ 19 ]} 。また、サブフィルタスケールモデルは散逸的であるため、偶数次スキームは散逸スキームほどサブフィルタスケールモデルの寄与に強く影響を与えない。

フィルタの実装

大規模渦シミュレーションにおけるフィルタリング操作は、暗黙的または明示的である。暗黙的フィルタリングは、サブフィルタスケールモデルが多くの数値スキームと同様の方法で消散することを認識している。このようにして、グリッド、つまり数値離散化スキームは、LES ローパスフィルタであるとみなすことができる。これはグリッド解像度を最大限に活用し、サブフィルタスケールモデル項を計算する計算コストを排除するが、いくつかの数値的問題に関連する LES フィルタの形状を決定することは難しい。さらに、打ち切り誤差も問題になる可能性がある。^{[ 20 ]}

明示的フィルタリングでは、離散化されたナビエ・ストークス方程式にLESフィルタを適用し、明確なフィルタ形状を得て、打ち切り誤差を低減します。ただし、明示的フィルタリングは暗黙的フィルタリングよりも細かいグリッドを必要とし、計算コストは増加します。 $(\Delta x)^{4}$ Sagaut (2006) の第 8 章では、LES の数値計算についてより詳細に解説しています。^{[ 11 ]}

大規模渦シミュレーションの境界条件

入口境界条件はLESの精度に大きく影響し、LESの入口条件の扱いは複雑な問題です。理論的には、LESの良い境界条件には次の特徴が含まれている必要があります。^{[ 21 ]}

流れの特性、すなわち速度と乱流に関する正確な情報を提供する。
ナビエ・ストークス方程式およびその他の物理法則を満たす。
実装が容易で、様々なケースに合わせて調整しやすい。

現在、LESの入口条件を生成する方法は、Taborらによって分類された2つのカテゴリに大別されます。^{[ 22 ]}

乱流入口を生成する最初の方法は、フーリエ技術、主直交分解（POD）、渦法などの特定のケースに応じて乱流入口を合成することです。合成技術は、適切な乱流のような特性を持つ入口で乱流場を構築し、乱流運動エネルギーや乱流散逸率などの乱流のパラメータを簡単に指定できるようにします。さらに、乱数を使用して生成される入口条件は計算コストが低くなります。しかし、この方法には重大な欠点が1つあります。合成された乱流は、ナビエ・ストークス方程式によって支配される流体流れの物理的構造を満たしません。^{[ 21 ]}

2つ目の方法は、乱流データベースを生成するための前処理計算を別途行い、それを入口における主計算に導入するというものです。このデータベース（「ライブラリ」と呼ばれることもあります）は、周期領域、事前準備済みライブラリ、内部マッピングなど、さまざまな方法で生成できます。ただし、前処理シミュレーションによって乱流流入を生成する方法は、大規模な計算能力を必要とします。

さまざまなタイプの合成計算と前駆計算の適用を研究している研究者たちは、入口乱流がより現実的であればあるほど、LES による結果の予測精度が高くなることを発見した。^{[ 21 ]}

未解決のスケールをモデル化する

未解決スケールのモデリングについて議論するには、まず未解決スケールを分類する必要があります。未解決スケールは、解決済みサブフィルタースケール（SFS）とサブグリッドスケール（SGS）の2つのグループに分類されます。

分解されたサブフィルタースケールは、カットオフ波数よりも大きい波数を持つスケールを表します。 $k_{c}$ しかし、その効果はフィルターによって減衰されます。分解されたサブフィルタースケールは、波空間で非局所的なフィルター（ボックスフィルターやガウスフィルターなど）が使用されている場合にのみ存在します。これらの分解されたサブフィルタースケールは、フィルター再構成を使用してモデル化する必要があります。

サブグリッドスケールとは、カットオフフィルタ幅よりも小さいスケールのことです。 $\Delta$ SGSモデルの形式は、フィルタの実装方法によって異なります。LESの数値計算法のセクションで述べたように、暗黙的LESを考慮する場合、SGSモデルは実装されず、離散化の数値的効果は、解像されていない乱流運動の物理現象を模倣するものとみなされます。

サブグリッドスケールモデル

乱流の普遍的に有効な記述がないため、SGS モデルを構築および適用する際には、ガリレオ不変性^{[ 10 ]}などの基本的な物理的制約で補完された経験的情報を使用する必要があります。^{[ 23 ]} SGS モデルには 2 つのクラスがあります。最初のクラスは機能モデルであり、2 番目のクラスは構造モデルです。一部のモデルは両方に分類される場合があります。

機能的（渦粘性）モデル

機能モデルは構造モデルよりも単純で、物理的に正しい速度でエネルギーを散逸させることのみに焦点を当てています。これらは、乱流の影響を乱流粘性にまとめた人工渦粘性アプローチに基づいています。このアプローチでは、サブグリッドスケールでの運動エネルギーの散逸を分子拡散に類似したものとして扱います。この場合、偏差成分は $\tau _{ij}$ 以下のようにモデル化されます。

\tau _{ij}^{r}-{\frac {1}{3}}\tau _{kk}\delta _{ij}=-2\nu _{\mathrm {t} }{\bar {S}}_{ij}

どこ $\nu _{\mathrm {t} }$ 乱流渦粘性と ${\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$ はひずみ速度テンソルです。

次元解析に基づくと、渦粘性は単位が $\left[\nu _{\mathrm {t} }\right]={\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s} }}$ ほとんどの渦粘性SGSモデルは、渦粘性を特性長さスケールと特性速度スケールの積としてモデル化します。

スマゴリンスキー・リリーモデル

最初に開発されたSGSモデルは、ジョセフ・スマゴリンスキー^{[ 1 ]によって開発され、ディアドルフ}^{[ 2 ]}による最初のLESシミュレーションで使用されたスマゴリンスキー・リリーSGSモデルである。このモデルは、渦粘性を次のようにモデル化している。

\nu _{\mathrm {t} }=C\Delta ^{2}{\sqrt {2{\bar {S}}_{ij}{\bar {S}}_{ij}}}=C\Delta ^{2}\left|{\bar {S}}\right|

どこ $\Delta$ グリッドサイズと $C$ 定数です。

この方法は、小規模なエネルギー生成と散逸が平衡状態にあることを前提としている。つまり、 $\epsilon =\Pi$ 。

動的モデル（Germanoらおよびそれ以降）

Germanoら^{[ 24 ]}は、 Smagorinskyモデルを用いた複数の研究を特定したが、それらの研究ではそれぞれSmagorinsky定数の値が異なっていた。 $C$ さまざまな流れ構成に対して。SGS モデルへのより普遍的なアプローチを定式化するために、Germano らは、2 つのフィルタを使用する動的 Smagorinsky モデルを提案しました。グリッド LES フィルタ、 ${\overline {f}}$ 、そしてテストLESフィルタ、 ${\hat {f}}$ あらゆる乱流場に対して $f$ テストフィルタはグリッドフィルタよりもサイズが大きく、LESで表現される既に平滑化された乱流場に、さらに平滑化処理を加えます。テストフィルタをLES方程式（ナビエ・ストークス方程式に「グリッド」フィルタを適用して得られる方程式）に適用すると、形式は同じだがSGS応力を含む新しい方程式セットが得られます。 $\tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}$ に置き換えられました $T_{ij}={\widehat {\overline {u_{i}u_{j}}}}-{\hat {\bar {u}}}_{i}{\hat {\bar {u}}}_{j}$ Germanoらは、 $\tau _{ij}$ または $T_{ij}$ 未解決のスケールが存在するため、正確に計算することができ、これら 2 つのテンソルを結びつける正確な関係があります。この関係は、ゲルマノ恒等式として知られています。 $L_{ij}=T_{ij}-{\hat {\tau }}_{ij}.$ ここ $L_{ij}={\widehat {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\widehat {{\bar {u}}_{i}}}{\widehat {{\bar {u}}_{j}}}$ これは、フィルタリングされた速度とテストフィルタリングの操作のみを含むため、明示的に評価できます。この恒等式の意義は、乱流が自己相似であると仮定すると、グリッドレベルとテストレベルでのSGS応力が同じ形式になるということです。 $\tau _{ij}-(\tau _{kk}/3)\delta _{ij}=-2C\Delta ^{2}|{\bar {S}}_{ij}|{\bar {S}}_{ij}$ そして $T_{ij}-(T_{kk}/3)\delta _{ij}=-2C{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}$ すると、ゲルマノ恒等式からスマゴリンスキー係数が得られる方程式が得られる。 $C$ （もはや「定数」ではない）は、潜在的に決定できる可能性がある。[この手順には、係数が $C$ はスケール不変である（レビュー ^{[ 25 ]}を参照）]。これを行うために、元の定式化に2つの追加ステップが導入されました。まず、たとえ $C$ 原理的には可変であったが、その変化は十分に緩やかであったため、フィルタリング処理から除外することができた。 ${\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}$ 第二に、 $C$ はスカラーであったため、ゲルマノ恒等式は2階テンソル（歪み速度テンソルが選択された）と縮約され、スカラー方程式に変換された。 $C$ 決定できる可能性がある。リリー ^{[ 26 ]は} 、テンソル恒等式からCを得るための、より恣意性が少なく、したがってより満足のいくアプローチを見つけた。彼は、ジェルマーノ恒等式は、単一の量に対して空間の各点で9つの方程式を満たす必要がある（そのうち独立なのは5つだけ）と指摘した。 $C$ 取得の問題 $C$ したがって、過剰決定されていた。そこで彼は次のように提案した。 $C$ 残差を最小化する最小二乗法を用いて決定する。その結果、

C={\frac {L_{ij}m_{ij}}{m_{kl}m_{kl}}}.

ここ

m_{ij}=\alpha _{ij}-{\widehat {\beta }}_{ij}

簡潔にするために $\alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}$ 、 $\beta _{ij}=-2\Delta ^{2}|{\bar {S}}|{\bar {S}}_{ij}$ LESシミュレーションでモデルを実装する最初の試みは失敗に終わった。まず、計算された係数は想定されていたように「ゆっくり変化する」ものではなく、他の乱流場と同様に大きく変化した。次に、計算された $C$ 正にも負にもなり得る。後者の事実自体は欠点とみなすべきではない。フィルタリングされたDNSフィールドを使用した事前テストでは、局所サブグリッド散逸率が $-\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}$ 乱流場では、流体領域全体にわたる積分は常に正であり、大きなスケールでのエネルギーの正味の散逸を表しているにもかかわらず、負になる可能性は正になる可能性とほぼ同じです。渦粘性の厳密な正性ではなく、わずかに正の値が優勢になることで、観測された正味の散逸が生じます。このいわゆる「後方散乱」によるエネルギーの小スケールから大スケールへの散乱は、確かにスマゴリンスキーモデルにおける負のC値に対応します。しかしながら、ゲルマノ・リリーの定式化では安定した計算結果が得られないことがわかりました。流れの中にそのような方向が存在する場合、分子と分母を均質な方向で平均化するというアドホックな対策が採用されました。

C={\frac {\left\langle L_{ij}m_{ij}\right\rangle }{\left\langle m_{kl}m_{kl}\right\rangle }}.

平均化に十分な統計サンプルが含まれる場合、計算された $C$ 正の値（または少なくともまれに負の値）であれば、安定した計算が可能でした。負の値を単純にゼロに設定する（「クリッピング」と呼ばれる手順）ことでも、平均化の有無にかかわらず、安定した計算が得られました。Meneveau は^{[ 27 ]} 指数関数的に減衰する「記憶」を持つラグランジュ流体軌跡の平均化を提案しました。これは、均質な方向を持たない問題に適用でき、平均化を行う実効時間が十分に長く、かつ関心のある空間的不均質性を平滑化するほど長くなければ安定します。

リリーによるジャーマノ法の修正とそれに続く統計的平均化または負の粘性領域の合成除去は、たとえ「機能する」ようにできたとしても、場当たり的であるように思われる。最小二乗法の別の定式化である「動的局所化モデル」（DLM）は、ゴーサルらによって提案された^{[ 28 ]} 。このアプローチでは、まず量を定義する。

E_{ij}=L_{ij}-T_{ij}+{\hat {\tau }}_{ij}

テンソルを用いて $\tau _{ij}$ そして $T_{ij}$ 適切な SGS モデルに置き換えられます。このテンソルは、各空間位置でサブグリッドモデルが Germano の恒等式をどの程度満たしていないかを表します。Lilly のアプローチでは、 $C$ 帽子からオペレーターが引き出す

{\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}

作る $E_{ij}$ 代数関数 $C$ そしてそれは、次のことを要求することによって決定される。 $E_{ij}E_{ij}$ C の関数として考えると、最小値になります。しかし、 $C$ こうして得られたものは、乱流における他の変動量と同様に変動することが判明し、 $C$ 事後的に正当化することはできない。DLMアプローチでは、テストフィルタリング操作からCを除去するステップを呼び出さないことで、この矛盾を回避する。代わりに、フロー領域全体にわたるグローバルエラーを次の量で定義する。

E[C]=\int E_{ij}E_{ij}dV

ここで、積分範囲は流体全体の体積に及ぶ。この全体的な誤差 $E[C(x,y,z,t)]$ 空間的に変化する関数の関数である $C(x,y,z,t)$ （ここでいう時刻は、 $t$ は固定されているため、単なるパラメータとして現れます。このパラメータは、この汎関数を最小化するように決定されます。この変分問題の解は次のようになります。 $C$ 第二種フレドホルム積分方程式を満たさなければならない

C({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}

関数 $K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})$ そして $f({\boldsymbol {x}})$ 解決されたフィールドの観点から定義される $L_{ij},\alpha _{ij},\beta _{ij}$ したがって、各時間ステップで既知であり、積分範囲は流体領域全体にわたる。積分方程式は反復手順によって数値的に解かれ、前処理スキームを使用すると収束は一般的に速いことがわかった。この変分アプローチはリリーのアプローチに内在する矛盾を取り除くが、 $C(x,y,z,t)$ 積分方程式から得られた結果は、負の粘性に関連する不安定性を示した。これは、次のことを主張することで解決できる。 $E[C]$ 制約条件の下で最小化される $C(x,y,z,t)\geq 0$ これにより、次の式が得られます。 $C$ それは非線形です

C({\boldsymbol {x}})=\left[f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}\right]_{+}

ここで接尾辞 + は「肯定部分」、つまり、 $x_{+}=(x+|x|)/2$ 一見「クリッピング」のように見えるかもしれませんが、これはアドホックな手法ではなく、制約付き変分問題の正真正銘の解です。この DLM(+) モデルは安定しており、強制および減衰等方性乱流、チャネル流れ、その他さまざまなより複雑な形状に対して優れた結果をもたらしました。流れが均質な方向（例えば x 方向と z 方向）を持つ場合、次の仮説を導入できます。 $C=C(y,t)$ 変分法を用いると、以前の結果を特別に修正する必要なく、同次方向について平均化することで、リリーの結果を直ちに得ることができる。

DLM(+)モデルの欠点の1つは、DNSデータの解析から実在することが知られている後方散乱を記述していなかったことである。これに対処するために2つのアプローチが開発された。Caratiら ^{[ 29 ]}による1つのアプローチでは、ランダウの変動流体力学理論に類似して、変動散逸定理によって振幅が決定される変動力が追加される。2番目のアプローチでは、「後方散乱」エネルギーは、サブグリッドスケールのエネルギーを犠牲にしてのみ、解像されたスケールに現れることに着目する。DLMは、この物理的事実を考慮に入れて、本質的に安定しながら後方散乱を許容するように、簡単に修正することができる。このk方程式バージョンのDLM、DLM(k)は、 $\Delta |{\bar {S}}|$ Smagorinskyの渦粘性モデルでは ${\sqrt {k}}$ 適切な速度スケールとして。決定するための手順 $C$ テンソルを除いて、「制約なし」バージョンと同一のままです。 $\alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {K}}{\hat {\bar {S}}}_{ij}$ 、 $\beta _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {k}}{\bar {S}}_{ij}$ ここで、サブテストスケールの運動エネルギー K は、サブグリッドスケールの運動エネルギー k と次の関係にある。 $K=k+L_{ii}/2$ （ジェルマーノ恒等式のトレースを取ることで続く）。kを決定するために、輸送方程式を用いる。

{\frac {\partial k}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}=-\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {C_{*}}{\Delta }}k^{3/2}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(D\Delta {\sqrt {k}}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}\right)+\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}

どこ $\nu$ は動粘度であり、 $C_{*},D$ は、それぞれ運動エネルギーの散逸と拡散を表す正の係数です。これらは、DLM(+) と同様に、制約付き最小化による動的手順に従って決定できます。このアプローチは、DLM(+) よりも実装コストが高いものの、安定しており、テストしたさまざまな流れの実験データと良好な一致が得られました。さらに、大規模エネルギーと SGS エネルギーの合計は構成上非増加であるため、DLM(k) が不安定な計算結果になることは数学的に不可能です。後方散乱を組み込んだこれらのアプローチはどちらもうまく機能します。これらは、DLM(+) よりもわずかに散逸が少なく、パフォーマンスがやや向上したモデルを生成します。DLM(k) モデルはさらに、関心のある物理量であるサブグリッド運動エネルギーを生成します。これらの改善は、モデル実装のコストがやや増加することで達成されます。

ダイナミックモデルは、スタンフォード大学の乱流研究センター（CTR）が1990年に開催したサマープログラムで誕生しました。乱流モデリングにおけるこの重要なマイルストーンの30周年を記念して、「CTR-Tea」セミナーシリーズが開催されました。この情報は、2022年10月30日にWayback Machineにアーカイブされています。

さらに読む

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