計算電磁気学

離散双極子近似は、任意の形状のターゲットによる散乱と吸収を計算するための柔軟な手法です。この定式化は、マクスウェル方程式の積分形式に基づいています。DDAは、連続体ターゲットを有限個の分極可能な点の配列で近似します。これらの点は、局所的な電場に応じて双極子モーメントを獲得します。双極子は当然、電場を介して互いに相互作用するため、DDAは結合双極子近似と呼ばれることもあります。結果として得られる線形方程式系は、一般的に共役勾配反復法を用いて解かれます。離散化行列は対称性（マクスウェル方程式の積分形式は畳み込み形式）を持つため、共役勾配反復法中に行列とベクトルを乗算するために高速フーリエ変換が可能になります。

モーメント法（MoM）^{[ 2 ]}または境界要素法（BEM）は、積分方程式（境界積分形式）として定式化された線形偏微分方程式を解くための数値計算法です。流体力学、音響学、電磁気学、破壊力学、塑性など、工学や科学の多くの分野に適用できます。

MoMは1980年代以降、より普及してきました。空間全体の値ではなく境界値のみを計算すればよいため、表面積/体積比が小さい問題では計算リソースの面で大幅に効率的です。概念的には、モデル化された表面上に「メッシュ」を構築することで機能します。しかし、多くの問題では、MoMは体積離散化法（有限要素法、有限差分法、有限体積法）よりも計算効率が著しく劣ります。境界要素定式化では、通常、完全に要素が配置された行列が生成されます。これは、ストレージ要件と計算時間が問題サイズの2乗に比例して増加する傾向があることを意味します。対照的に、有限要素行列は通常、帯状（要素は局所的にのみ接続）であり、システム行列のストレージ要件は通常、問題サイズに比例して増加します。圧縮技術（例えば、多重極展開や適応型相互近似／階層行列など）を用いることでこれらの問題を軽減できるが、複雑さが増すという代償があり、成功率は問題の性質や形状に大きく依存する。

モーメント法（MoM）は、グリーン関数を計算できる問題に適用可能です。これらの問題は通常、線形均質媒体における場を扱います。このため、境界要素法に適した問題の範囲と一般性にはかなりの制約が生じます。非線形性は定式化に含めることができますが、一般的に体積積分が導入されるため、解を求める前に体積を離散化する必要があり、MoMのよく挙げられる利点が失われます。

高速多重極法(FMM) は、MoM または Ewald 和法の代替手段です。これは正確なシミュレーション手法であり、MoM よりも少ないメモリとプロセッサパワーで済みます。FMM はGreengardとRokhlin ^{[ 3 ] [ 4 ]}によって最初に導入され、多重極展開技術に基づいています。計算電磁気学における FMM の最初の応用は Engheta ら (1992) によるものです。^{[ 5 ]} FMM は、計算生物電磁気学の電荷ベース境界要素高速多重極法にも応用されています。FMM は MoM を高速化するためにも使用できます。

高速多重極法は静的または周波数領域の振動カーネルを持つ積分方程式の MoM 解を加速するのに有用ですが、平面波時間領域 (PWTD)アルゴリズムは、遅延ポテンシャルを含む時間領域積分方程式の MoM 解を加速するために同様のアイデアを採用しています。PWTD アルゴリズムは 1998 年に Ergin、Shanker、および Michielssen によって導入されました。^{[ 6 ]}

部分要素等価回路（PEEC）は、電磁気解析と回路解析を組み合わせた3D全波モデリング手法です。モーメント法（MoM）とは異なり、PEECは直流からメッシュ分割によって決定される最大周波数まで有効な全スペクトル法です。PEEC法では、積分方程式は基本PEECセルに適用されるキルヒホッフの電圧法則として解釈され、3D形状の完全な回路解が得られます。等価回路の定式化により、追加のSPICEタイプの回路要素を容易に組み込むことができます。さらに、モデルと解析は時間領域と周波数領域の両方に適用されます。PEECモデルから得られる回路方程式は、修正ループ解析（MLA）または修正節点解析（MNA）の定式化を使用して容易に構築できます。直流解を提供するだけでなく、適切なマトリックススタンプを使用することであらゆる種類の回路要素を簡単に組み込むことができるため、この種の問題に対するMoM解析よりもいくつかの利点があります。PEEC法は最近、非直交形状にも対応するように拡張されました。^{[ 7 ]}このモデル拡張は、古典的な直交定式化と一致しており、より一般的な四角形および六面体要素に加えて、幾何学のマンハッタン表現を含んでいます。これにより、未知数の数を最小限に抑えることができ、非直交幾何学の計算時間を短縮できます。^{[ 8 ]}

カニャール・ド・フープ法（CdH-MoM）は、ローレンツの相反定理によって定式化された 3 次元全波時間領域積分方程式法です。CdH-MoM は、もともと地球の地殻モデルにおける地震波伝播の解析的解析のために開発されたジョイント変換アプローチであるカニャール・ド・フープ法に大きく依存しているため、このアプローチは平面層状構造の TD EM 解析に適しています。CdH-MoM は、もともと円筒形および平面アンテナの時間領域性能研究^{[ 9 ]に適用され、最近では、薄いシート[ 10 ]}や電磁メタサーフェス^{[ 11 ] [ 12 ]}が存在する場合の伝送線の TD EM 散乱解析にも適用されています。

有限差分周波数領域 (FDFD) は、有限差分法を用いて周波数領域における Maxwell 方程式の厳密な解を提供します。^{[ 13 ]} FDFD は、厳密な解を提供する最も単純な数値計算法と言えるでしょう。非常に汎用性が高く、電磁気学におけるほぼすべての問題を解決できます。FDFD の主な欠点は、他の方法に比べて効率が低いことです。しかし、最新のコンピュータでは、導波管内の導波モードの計算、物体からの散乱の計算、フォトニック結晶からの透過と反射の計算、フォトニックバンド図の計算、メタマテリアルのシミュレーションなど、膨大な数の問題を容易に処理できます。

FDFDは、計算電磁気学（CEM）を学ぶ上で最適な「最初の」方法と言えるでしょう。他の方法で扱う概念のほとんどすべてを網羅していますが、はるかにシンプルな枠組みで学習できます。境界条件、線形代数、音源の注入、デバイスの数値表現、そして意味のある計算を行うためのフィールドデータの事後処理といった概念が含まれます。FDFDは、他の手法を学ぶ上で役立つだけでなく、それらの手法を検証し、ベンチマークを行うための手段にもなります。

FDFDは有限差分時間領域法（FDTD）と非常によく似ています。どちらの方法も空間を点の配列として表現し、各点でマクスウェル方程式を適用します。FDFDはこの大規模な方程式群を行列に格納し、線形代数的手法を用いてすべての方程式を同時に解きます。一方、FDTDはこれらの方程式を繰り返し計算することで、時間とともに解を進化させます。数値的にはFDFDとFDTDは非常に似ていますが、その実装方法は大きく異なります。

有限差分時間領域法(FDTD) は、一般的な CEM 手法です。理解しやすく、全波ソルバーの実装が非常に簡単です。基本的な FDTD ソルバーの実装は、FEM または MoM ソルバーの実装よりも少なくとも 1 桁少ない作業で済みます。FDTD は、妥当な時間枠で現実的に自分で実装できる唯一の手法ですが、それでも、かなり特定の問題に限られます。^{[ 1 ]}時間領域法であるため、目的の最高周波数に対してナイキスト・シャノン標本化定理を満たすのに十分な時間ステップがあれば、1 回のシミュレーション実行で広い周波数範囲をカバーする解が得られます。

FDTD法は、グリッドベースの微分時間領域数値モデリング手法の一般的なクラスに属します。マクスウェル方程式（偏微分形式）は中心差分方程式に修正され、離散化されてソフトウェアに実装されます。方程式は周期的に解かれます。まず、ある時点における電場が解かれ、次に、次の時点における磁場が解かれ、このプロセスが繰り返し行われます。

基本的な FDTD アルゴリズムは、1966 年に Kane Yee がIEEE Transactions on Antennas and Propagationに発表した画期的な論文に遡ります。Allen Taflove は、1980 年にIEEE Trans. Electromagn. Compat.に発表した論文で、「有限差分時間領域」という記述子と、それに対応する「FDTD」という頭字語を考案しました。1990年頃から、FDTD 技術は、電磁波と材料構造の相互作用を扱う多くの科学的および工学的問題をモデル化する主要な手段として登場しました。時間領域有限体積離散化手順に基づく効果的な手法は、Mohammadian らによって導入されました。 1991年に登場しました。 ^{[ 14 ]} 現在のFDTDモデリングアプリケーションは、近直流（地球全体と電離層導波路を含む超低周波地球物理学）からマイクロ波（レーダーシグネチャ技術、アンテナ、無線通信機器、デジタル相互接続、生体医療画像処理/治療）を経て可視光（フォトニック結晶、ナノプラズモニクス、ソリトン、バイオフォトニクス）まで多岐にわたります。市販および大学開発のソフトウェアスイートが約30種類利用可能です。

MRTDは、ウェーブレット解析に基づく有限差分時間領域法（FDTD）の適応的な代替手法である。

有限体積時間領域（FVTD）法は、マクスウェル方程式の保存形式を使用して電磁気問題を解くために使用されます^{[ 15 ]}。これは、FDTDのデカルトスタッガードグリッドを、例えば四面体セルや六面体セルを使用して他のタイプのメッシュに一般化する方法として、1990年代に初めて導入されました^{[ 16 ]}。その数値結果は、非長方形の形状に対してより高い精度を示しています。

有限要素法（FEM）は、偏微分方程式（PDE）および積分方程式の近似解を求めるために用いられます。解法は、時間微分を完全に消去する（定常状態問題）か、PDEを等価な常微分方程式に変換し、それを有限差分法などの標準的な手法を用いて解くかのいずれかに基づいています。

偏微分方程式を解く際、最も重要な課題は、解析対象の方程式を近似しつつ、数値的に安定した方程式を作成することです。つまり、入力データや中間計算における誤差が蓄積して、最終的な出力の意味を損なわないようにすることです。これには様々な方法があり、それぞれに長所と短所があります。有限要素法は、複雑な領域における偏微分方程式の解法、あるいは領域全体で求められる精度が変化する場合に適した方法です。

数ある時間領域法の中でも、不連続ガラーキン時間領域法（DGTD）は、有限体積時間領域法（FVTD）と有限要素時間領域法（FETD）の両方の利点を統合しているため、近年人気が高まっています。FVTDと同様に、数値流束は隣接する要素間で情報を交換するために使用されるため、DGTDのすべての操作は局所的で並列化が容易です。FETDと同様に、DGTDは非構造メッシュを使用し、高次の階層的基底関数を採用すれば高次の精度を実現できます。上記の利点から、DGTD法は多数の未知数を含むマルチスケール問題の過渡解析に広く適用されています。^{[ 17 ] [ 18 ]}

有限積分法 (FIT) は、時間領域および周波数領域で電磁場問題を数値的に解くための空間離散化スキームです。電荷やエネルギーの保存など、連続方程式の基本的なトポロジー特性を保持します。FIT は 1977 年にThomas Weilandによって提案され、長年にわたって継続的に改良されてきました。^{[ 19 ]}この方法は、電磁気学 (静的から高周波まで) および光学アプリケーションの全範囲をカバーし、Computer Simulation Technology (CST AG) によって開発された CST Studio Suite やNimbicによって開発された Electromagnetic Simulation ソリューションなどの商用シミュレーション ツールの基礎となっています。

この手法の基本的な考え方は、積分形式のマクスウェル方程式をスタッガードグリッドのセットに適用することです。この手法は、幾何学的モデリングと境界処理における高い柔軟性、および任意の材料分布や異方性、非線形性、分散などの材料特性の組み込みにおいて際立っています。さらに、一貫したデュアル直交グリッド（例えば、デカルト座標系グリッド）と明示的な時間積分スキーム（例えば、リープフロッグスキーム）を組み合わせることで、計算効率とメモリ効率に優れたアルゴリズムが実現し、特に無線周波数（RF）アプリケーションにおける過渡場解析に適しています。

このクラスのマックスウェル方程式の時間進行計算手法は、離散フーリエ変換または離散チェビシェフ変換を使用して、単位セルの2次元グリッドまたは3次元格子に配置された電場および磁場ベクトル成分の空間微分を計算します。PSTDはFDTDに比べて数値位相速度異方性誤差が無視できるほど小さいため、はるかに大きな電気的サイズの問題をモデル化できます。^{[ 20 ]}

PSSDは、選択された空間方向に伝播させることでマクスウェル方程式を解きます。したがって、場は時間、そして（場合によっては）任意の横方向の空間次元の関数として保持されます。この方法は、FFTを使用して周波数領域で時間微分を計算するため、擬似スペクトル法です。場が時間の関数として保持されるため、伝播媒体における任意の分散を最小限の労力で迅速かつ正確にモデル化できます。^{[ 21 ]}ただし、空間（時間ではなく）に伝播させるという選択は、特に反射が重要な場合、いくつかの微妙な点をもたらします。^{[ 22 ]}

伝送線路行列（TLM）は、回路ソルバー（SPICE、HSPICEなど）で直接解ける集中定数要素の直接セットとして、カスタム要素ネットワークとして、または散乱行列アプローチを介して、いくつかの方法で定式化できます。TLMは、機能面ではFDTDに似た非常に柔軟な解析手法ですが、FDTDエンジンの方が利用可能なコードが多い傾向があります。

これは暗黙法です。この方法では、2 次元の場合、マクスウェル方程式は 2 段階で計算されますが、3 次元の場合は、マクスウェル方程式は 3 つの空間座標方向に分割されます。3 次元 LOD-FDTD 法の安定性と分散解析については、詳細に議論されています。^{[ 23 ] [ 24 ]}

固有モード展開（EME）は、電磁場を局所固有モードの基底セットに分解することで電磁波伝搬をシミュレートする、厳密な双方向手法です。固有モードは、各局所断面でマクスウェル方程式を解くことによって求められます。固有モード展開は、2Dおよび3Dのマクスウェル方程式を解くことができ、モードソルバーがベクトル型であれば、完全なベクトル解を提供できます。光導波路のモデリングにおいてFDTD法と比較して非常に大きな利点があり、光ファイバーやシリコンフォトニクスデバイスのモデリングに広く用いられています。

物理光学（PO）とは、光学、電気工学、応用物理学で一般的に用いられる高周波近似（短波長近似）のことです。これは、波動効果を無視する幾何光学と、厳密な理論である全波電磁気学の中間的な手法です。「物理的」という言葉は、幾何光学よりも物理的であるという意味であり、厳密な物理理論であるという意味ではありません。

この近似法は、光線光学を用いて表面上の場を推定し、その場を表面上で積分して透過場または散乱場を計算するというものです。これは、問題の詳細を摂動として扱うという点で、ボルン近似に似ています。

均一回折理論（UTD）は、電気的に小さな不連続性、または同一点における複数次元の不連続性からの電磁散乱問題を解決するための高周波手法である。

均一回折理論では、近接場電磁場を準光学的現象として近似し、光線回折を用いて各回折対象物と光源の組み合わせごとに回折係数を決定します。これらの係数を用いて、回折点から離れた各方向における電界強度と位相を計算します。そして、これらの電界を入射電界と反射電界に加えることで、全体の解が得られます。

例えば、解析式を用いて板の レーダー断面積の値を評価する場合：$${\displaystyle {\text{RCS}}_{\text{Plate}}={\frac {4\pi A^{2}}{\lambda ^{2}}},}$$ ここでAはプレートの表面であり、${\displaystyle \lambda }$は波長です。次の曲線は、35GHzで計算されたプレートのRCSを示しており、参考例として使用できます。

一例として、モーメント法と漸近法の結果をそれぞれの有効領域で相互比較することが挙げられる。^{[ 25 ]}

最終的な検証ステップは、測定値とシミュレーションの比較によって行われます。例えば、35 GHz における複雑な金属物体のRCS 計算^{[ 26 ]}と測定^{[ 27 ]} です。計算では、エッジに対して GO、PO、PTD が実装されています。

検証プロセスにより、実験設定とシミュレーション環境での再現との間の差異によって説明できる差異がいくつかあることが明らかになる。^{[ 28 ]}