ルベーグ定数

数値解析において、ルベーグ定数（ノードの集合とそのサイズに依存する）は、関数の補間関数（与えられたノードにおける）が、関数の最良の多項式近似（多項式の次数は固定）と比較してどの程度優れているかを示す指標となる。次数が最大で の多項式のルベーグ定数は、${\displaystyle n}$そして、セットについては${\displaystyle n+1}$ノード${\displaystyle T}$一般的には、$\displaystyle \Lambda _{n}(T)$これらの定数はアンリ・ルベーグにちなんで名付けられました。

補間ノードを固定します${\displaystyle x_{0},...,x_{n}}$そして間隔${\displaystyle [a,\,b]}$すべての補間ノードが含まれています。補間プロセスは関数をマッピングします${\displaystyle f}$多項式へ${\displaystyle p}$これはマッピングを定義します${\displaystyle X}$宇宙から${\displaystyle C([a,b])}$すべての連続関数について${\displaystyle [a,b]}$それ自体に。地図${\displaystyle X}$これは線形であり、次数n以下の多項式の部分空間Π _nへの射影です。

ルベーグ定数$\displaystyle \Lambda _{n}(X)$は、演算子ノルムとして定義される。${\displaystyle X}$この定義では、ノルムを指定する必要があります。${\displaystyle C([a,b])}$均一な基準が通常は最も便利である。

ルベーグ定数は補間誤差の上限を定める。${\displaystyle p^{*}}$の最良近似値を表す${\displaystyle f}$次数 の多項式の中で${\displaystyle n}$またはそれ以下。言い換えれば、${\displaystyle p^{*}}$最小限に抑える${\displaystyle \|pf\|}$Π _nのすべてのpの中で。

${\displaystyle \|fX(f)\|\leq (\Lambda _{n}(T)+1)\left\|fp^{*}\right\|.}$

ここでは、最大ノルムを用いてこの主張を証明する。

${\displaystyle \|fX(f)\|\leq \|fp^{*}\|+\|p^{*}-X(f)\|}$

三角不等式により。しかし${\displaystyle X}$_{は Π n}への射影なので、

p ^∗ − X ( f ) = X ( p ^∗ ) − X ( f ) = X ( p ^∗ − f )。

これで証明は完了です。${\displaystyle \|X(p^{*}-f)\|\leq \|X\|\|p^{*}-f\|=\|X\|\|fp^{*}\|}$なお、この関係はルベーグの補題の特殊な場合としても現れる。

言い換えれば、補間多項式は、最良の近似値よりも最大でΛ _n ( T ) + 1倍劣る。これは、ルベーグ定数が小さい補間ノードの集合を探す必要があることを示唆している。

ルベーグ定数は、ラグランジュ基底多項式を用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}i=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}.}$

実際、ルベーグ関数があります

${\displaystyle \lambda _{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}|\ell _{j}(x)|.}$

そして、その格子のルベーグ定数（またはルベーグ数）は、その格子の最大値である。

${\displaystyle \Lambda _{n}(T)=\max _{x\in [a,b]}\lambda _{n}(x)}$

しかしながら、 Λ _n ( T )の明示的な式を見つけるのは容易ではない。

等間隔ノードの場合、ルベーグ定数は指数関数的に増加する。より正確には、次の漸近推定値が得られる。

$\Lambda_n(T)\sim \frac{2^{n+1}}{n\log n}}\qquad {\text{ as }}n\to \infty .}$

一方、チェビシェフノードを使用する場合、ルベーグ定数は対数的にしか増加しない。

$\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+a<\Lambda _{n}(T)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+1,\qquad a=0.9625\ldots }$

チェビシェフノードは多項式補間に非常に適していると改めて結論付けます。ただし、チェビシェフノードには、より良いルベーグ定数を与える簡単な（線形）変換があります。t _iをi番目のチェビシェフノードとします。次に、次のように定義します。

${\displaystyle s_{i}={\frac {t_{i}}{\cos \left({\frac {\pi }{2(n+1)}}\right)}}.}$

このようなノードの場合：

$\displaystyle \Lambda _{n}(S)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+b,\qquad b=0.7219\ldots }$

しかし、これらのノードは最適ではありません（つまり、ルベーグ定数を最小化しません）。最適なノードセットの探索（いくつかの仮定の下では一意であることがすでに証明されています）は、今日の数学において依然として興味深いトピックです。ただし、このノードセットは、補間に対して最適です。${\displaystyle C_{M}^{n}[-1,1]}$NS Hoangによって示されたように、n回微分可能な関数の集合で、 n階導関数の絶対値が定数Mによって制限されるもの。コンピュータを使用すると、最小ルベーグ定数の値を近似することができます。ここでは、標準区間[−1, 1]についてです。

固定されたn > 1 に対して、ルベーグ定数を最小化する [−1,1] のノードの集合は数えきれないほど無限に存在します。ただし、補間ノードとして常に −1 と 1 を選択する（これを標準ノード構成と呼びます）と仮定すると、そのような集合は一意でゼロ対称になります。この性質を説明するために、n = 2 の場合（つまり、3 つの補間ノードを考慮する場合、この性質は自明ではありません）に何が起こるかを見てみましょう。タイプ(− a , 0, a )の各 (ゼロ対称) ノードの集合は、 √ 8 / 3 ≤ a ≤ 1の場合に最適であることが確認できます(ここでは [−1, 1] のノードのみを考慮します)。ノードの集合をタイプ(−1, b , 1)に強制すると、b は0 に等しくなければなりません (最大値がルベーグ定数であるルベーグ関数を見てください)。n = 2 の場合の [−1,1] 内のすべての任意の(つまり、ゼロ対称またはゼロ非対称の) 最適なノードセットは、F. Schurer によって決定され、別の方法で H.-J. Rack と R. Vajda (2014) によって決定されました。

−1 と 1 を補間ノードとすると仮定すると、H.-J. Rack (1984 および 2013) が示したように、n = 3 の場合、最適な (一意かつゼロ対称) 4 つの補間ノードの明示的な値と最小ルベーグ定数の明示的な値がわかっています。n = 3 の場合の [1,1] における任意の最適な 4 つの補間ノードのセットはすべて、 H. - J. Rack と R. Vajda (2015) によって、2 つの異なるが同等な方法で明示的に決定されています。

パドヴァ点は、成長が遅い（ただしチェビシェフ点ほど遅くはない）別のノード群を提供し、さらに単解点群であるという特性も備えている。

ルベーグ定数は別の問題でも現れます。p(x) を、ベクトルtの点に関連付けられたラグランジュ形式で表された次数 n の多項式とします(つまり、その係数のベクトルuは、値を含むベクトルです)。${\displaystyle p(t_{i})}$）。 させて$\displaystyle {\hat {p}}(x)}$元の多項式p ( x )の係数uをわずかに変更して得られる多項式を${\displaystyle {\hat {u}}}$次の不等式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {\|p-{\hat {p}}\|}{\|p\|}}\leq \Lambda _{n}(T){\frac {\|u-{\hat {u}}\|}{\|u\|}}}$

これは、値における（相対）誤差が${\displaystyle {\hat {p}}(x)}$適切なルベーグ定数に係数の相対誤差を掛けた値よりも高くなることはありません。この意味で、ルベーグ定数は、各係数ベクトルu を、係数uを持つ多項式のラグランジュ形式の値の集合にマッピングする演算子の相対条件数と見なすことができます。実際には、各多項式基底に対してこのような演算子を定義できますが、その条件数は、ほとんどの便利な基底における最適なルベーグ定数よりも大きくなります。

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• MathWorldのルベーグ定数。