ニューマークベータ法

ニューマーク・ベータ法は、特定の微分方程式を解くために使用される数値積分法です。これは、動的システムをモデル化する有限要素解析など、構造物や固体の動的応答の数値評価に広く使用されています。この方法は、構造力学で使用するために1959年に開発した、イリノイ大学アーバナ・シャンペーン校の元土木工学教授であるネイサン・M・ニューマーク[ ^{1 ]に}ちなんで名付けられました。半離散化された構造方程式は、2階常微分方程式系です。

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+f^{\textrm {int}}(u)=f^{\textrm {ext}}\,}$

ここ${\displaystyle M}$は質量行列です。${\displaystyle C}$は減衰行列です。${\displaystyle f^{\textrm {int}}}$そして${\displaystyle f^{\textrm {ext}}}$はそれぞれ、単位変位あたりの内部力と外部力である。

拡張平均値定理を用いると、ニューマーク-${\displaystyle \beta }$この方法によれば、時間に関する一次微分（運動方程式における速度）は次のように解くことができる。

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+\Delta t~{\ddot {u}}_{\gamma }\,}$

どこ

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\gamma }=(1-\gamma ){\ddot {u}}_{n}+\gamma {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq \gamma \leq 1}$

したがって

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}。}$

しかし、加速度も時間とともに変化するため、正しい変位を得るには、拡張平均値定理を2階時間微分にも拡張する必要があります。したがって、

$\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\Delta t^{2}~{\ddot {u}}_{\beta }}$

また

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\beta }=(1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq 2\beta \leq 1}$

離散化された構造方程式は次のようになる

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}\\&u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left((1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}\right)\\&M{\ddot {u}}_{n+1}+C{\dot {u}}_{n+1}+f^{\textrm {int}}(u_{n+1})=f_{n+1}^{\textrm {ext}}\,\end{aligned}}}$

明示的な中心差分スキームは、次のように設定することで得られる。${\displaystyle \gamma =0.5}$そして${\displaystyle \beta =0}$

平均一定加速度（中間点ルール）は、次のように設定することで得られます。${\displaystyle \gamma =0.5}$そして${\displaystyle \beta =0.25}$

時間積分スキームは、積分時間ステップが存在する場合に安定であると言われる。 $\displaystyle \Delta t_{0}>0}$したがって、任意の${\displaystyle \Delta t\in (0,\Delta t_{0}]}$状態ベクトルの有限変動$q_n$その時$t_n$状態ベクトルの非増加的な変化のみを誘発する$q_n+1$後日計算される$t_n+1$時間積分スキームを次のように仮定します。

${\displaystyle q_{n+1}=A(\Delta t)q_{n}+g_{n+1}(\Delta t)}$

線形安定性は以下と同等である。$\displaystyle \rho (A(\Delta t))\leq 1}$、 ここ${\displaystyle \rho (A(\Delta t))}$は更新行列のスペクトル半径です${\displaystyle A(\Delta t)}$。

線形構造方程式の場合

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+Ku=f^{\textrm {ext}}\,}$

ここ${\displaystyle K}$は剛性行列です。${\displaystyle q_{n}=[{\dot {u}}_{n},u_{n}]}$更新行列は ${\displaystyle A=H_{1}^{-1}H_{0}}$、 そして

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}M+\gamma \Delta tC&\gamma \Delta tK\\\beta \Delta t^{2}C&M+\beta \Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}M-(1-\gamma )\Delta tC&-(1-\gamma )\Delta tK\\-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}C+\Delta tM&M-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

減衰がない場合（${\displaystyle C=0}$）更新行列は固有モードを導入することで分離できる。${\displaystyle u=e^{i\omega _{i}t}x_{i}}$構造システムの一般化固有値問題によって解かれる

${\displaystyle \omega ^{2}Mx=Kx\,}$

各固有モードについて、更新行列は次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}1&\gamma \Delta t\omega _{i}^{2}\\0&1+\beta \Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}1&-(1-\gamma )\Delta t\omega _{i}^{2}\\\Delta t&1-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

更新行列の特性方程式は次のとおりです。

${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(2-(\gamma +{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}\right)\lambda +1-(\gamma -{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}=0\,\qquad \eta _{i}^{2}={\frac {\omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}{1+\beta \omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}}}$

安定性に関しては、

明示的中心差分スキーム（${\displaystyle \gamma =0.5}$そして${\displaystyle \beta =0}$) は、${\displaystyle \omega \Delta t\leq 2}$。

平均一定加速度（中間点ルール）（${\displaystyle \gamma =0.5}$そして${\displaystyle \beta =0.25}$は無条件に安定している。