相対的な変化

あらゆる定量科学において、相対変化と相対差という用語は、比較対象の「大きさ」を考慮しながら、つまり標準または参照または開始値で割って2つの量を比較するために使用されます。 ^[1]比較は比率として表され、単位のない数値です。これらの比率に100を掛けるとパーセンテージとして表すことができるため、パーセンテージ変化、パーセント（年齢）差、または相対パーセンテージ差という用語もよく使用されます。「変化」と「差」という用語は互換的に使用されます。^[2]

相対的変化は、結果が同じであると予想される繰り返し測定における品質保証および品質管理の定量的指標としてよく使用されます。パーセント誤差と呼ばれるパーセント変化 (パーセントで表される相対的変化) の特殊なケースは、基準値が許容値または実際の値 (おそらく理論的に決定) であり、それと比較される値が実験的に (測定によって) 決定される測定状況で発生します。

相対変化の式は多くの状況下ではうまく機能しない。文献では相対変化の指標と呼ばれる様々な代替式が提案されている。数人の著者は対数変化と対数ポイントが満足のいく指標であるとしているが、これらは広く使用されているわけではない。^[3]

2つの数値v _refとv refに何らかの参照値がある場合、_それらの実際の変化、実際の差、または絶対変化は

Δv = v − v _ref。​

絶対差という用語は、絶対値が取られていない場合にも使用されることがあります。Δ の符号は、通常、増加するデータ シリーズ全体にわたって一様です。特定のアプリケーションで、値と基準値の関係 (つまり、大きいか小さいか) が重要でない場合は、上記の式で実際の変化の代わりに絶対値を使用して、常に負でない相対変化の値を生成することができます。実際の差は、特に測定単位に依存するため、通常、数値を比較するのに適した方法ではありません。たとえば、1m は​100  cmですが、2と1mの絶対差は1であるが、200cmと100cmでは100となり、より大きな差があるという印象を与える。^[4]しかし、単位が一定であっても、相対的な変化はそれぞれの変化の重要性を判断するのに役立つ。例えば、100ドルの貴重品は、50ドルから150ドルだが、変更する場合はかなり小さい10,000ドルから10,100ドル。

v _refの正の値に対して次のように定義することで、関係する量の「サイズ」を考慮して比較を調整できます。

$${\displaystyle {\text{相対変化}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {\text{実際の変化}}{\text{基準値}}}={\frac {\Delta v}{v_{\text{ref}}}}={\frac {v}{v_{\text{ref}}}}-1.}$$

相対的な変化は、使用される測定単位に依存しません。たとえば、2〜1m は​−50%、200 から 100 cm 。基準値 ( v _ref ) がゼロの場合、相対変化は定義されず、 v _refが負の場合、正の増加に対して負の値を与えるため、通常は負の基準値に対しても定義されません。たとえば、-10 から -6 への相対変化を計算したいとします。上記の式は、⁠(−6) − (−10)/−10⁠ = ⁠4/−10⁠ = −0.4 であり、減少を示していますが、実際には測定値は増加しています。

相対的な変化の尺度は、分数として表される単位のない数値です。対応するパーセント変化の値は、これらの値に 100 を掛けて得られます (値がパーセントであることを示すために % 記号を追加します)。

正の数に対する相対変化のドメイン制限は、しばしば制約を生じます。この問題を回避するために、絶対値を取るのが一般的です。こうすることで、相対変化の式は、v _refのゼロ以外のすべての値に対して正しく機能します。

$${\displaystyle {\text{相対的変化}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {v-v_{\text{ref}}}{|v_{\text{ref}}|}}.}$$

基準がゼロの場合、この方法でも問題は解決しません。代わりに相対変化の指標を使用し、vと の両方の絶対値を取るのが一般的です。この場合、問題となるのは だけですが、これは通常、指標を適切に拡張することで対処できます。たとえば、算術平均の場合は次の式を使用できます。^[5]${\displaystyle v_{\text{reference}}}$${\displaystyle v=v_{\text{参照}}=0}$ $${\displaystyle d_{r}(x,y)={\frac {|xy|}{(|x|+|y|)/2}},\ d_{r}(0,0)=0}$$

パーセンテージの変化は変数の変化を表現する方法の一つです。これは古い値と新しい値の間の相対的な変化を表します。^[6]

例えば、ある家が現在10万ドルの価値があるとして、翌年にその価値が11万ドルに上がった場合、その価値の変化率は次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\frac {110000-100000}{100000}}=0.1=10\%.}$$

すると、家の価値は 10% 上がったと言えます。

より一般的には、 V _{1 が}古い値を表し、V _{2 が}新しい値を 表す場合、$${\displaystyle {\text{変化率}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\ 100\% を掛けます。}$$

%CH一部の計算機は、または関数を介してこれを直接サポートします。 Δ%

問題となる変数がパーセンテージそのものである場合は、相対差と絶対差の混同を避けるために、パーセンテージポイントを使用してその変化について述べる方が適切です。

パーセント誤差は、実験値（測定値）と理論値（許容値）の間の絶対変化から計算され、理論値（許容値）で割った相対変化のパーセント形式の特殊なケースです。

$${\displaystyle \%{\text{誤差}}={\frac {|{\text{実験値}}-{\text{理論値}}|}{|{\text{理論値}}|}}\times 100.}$$

上記の式で使用されている「実験的」および「理論的」という用語は、通常、類似の用語に置き換えられます。実験的に使用される他の用語には、「測定された」、「計算された」、「実際の」などがあり、理論的な用語には「受け入れられた」などがあります。実験値は、計算や測定を使用して導き出された値であり、その精度は理論値、科学界で受け入れられている値、または成功した結果の目標と見なすことができる値に対してテストされています。

パーセント誤差について議論するときは相対的変化の絶対値バージョンを使用するのが一般的ですが、状況によっては、絶対値を削除して結果に関する詳細情報を提供する方が有益な場合があります。したがって、実験値が理論値よりも小さい場合、パーセント誤差は負になります。この負の結果は、実験結果に関する追加情報を提供します。たとえば、光の速度を実験的に計算して負のパーセント誤差になった場合、実験値は光速よりも遅い速度であることを示します。これは、実験値が光速よりも速い速度である（相対性理論に違反する）ことを意味し、ニュース価値のある結果である正のパーセント誤差になることとは大きな違いです。

絶対値を削除してパーセント誤差の式を書き直すと、次のようになります。 $${\displaystyle \%{\text{誤差}}={\frac {{\text{実験値}}-{\text{理論値}}}{|{\text{理論値}}|}}\times 100.}$$

分子の 2 つの値は交換できないことに注意することが重要です。したがって、上記の順序を維持することが重要です。つまり、理論値から実験値を減算し、その逆は行わないでください。

車Mが50,000ドル、車L が40,000ドルだとします。これらのコストを比較します。^[7]車Lに関しては、絶対差は10,000ドル = 50,000ドル - 40,000ドルです。つまり、車M は車Lよりも10,000ドル高価です。相対差はであり、 車M は車Lよりも25%高価である と言えます。比較を比率で表すことも一般的で、この例ではであり 、車M のコストは車Lの125%である と言えます。 $${\displaystyle {\frac {\$10,000}{\$40,000}}=0.25=25\%,}$$$${\displaystyle {\frac {\$50,000}{\$40,000}}=1.25=125\%,}$$

この例では、車Lのコストが基準値と見なされましたが、逆に選択して、車Mのコストを基準値とすることもできます。車 L は車 M よりも $10,000 安いので、絶対差は -$10,000 = $40,000 - $50,000 になります。車Lは車Mよりも20 %安いので、相対差 も負です。比較の比率形式は、 車L のコストが車M のコストの80%である ことを示します。 $${\displaystyle {\frac {-\$10,000}{\$50,000}}=-0.20=-20\%}$$$${\displaystyle {\frac {\$40,000}{\$50,000}}=0.8=80\%}$$

比率と相対的な差を区別するのは、「～の」と「～より少ない／多い」という単語の使用です。^[8]

銀行が普通預金口座の金利を 3% から 4% に引き上げる場合、「金利が 1% 上昇した」という記述は誤りであり、誤解を招くことになります。この状況での絶対的な変化は 1 パーセント ポイント (4% - 3%) ですが、金利の相対的な変化は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {4\%-3\%}{3\%}}=0.333\ldots =33{\frac {1}{3}}\%.}$$

一般的に、「パーセンテージポイント」という用語はパーセンテージの絶対的な変化または差を示しますが、パーセント記号または「パーセンテージ」という単語は相対的な変化または差を指します。^[9]

上記の（古典的な）相対的変化は、相対的変化の可能な尺度/指標の1つにすぎません。x（初期値または基準値）からy（新しい値） への相対的変化の指標は、関心領域に対して定義された2進実数値関数であり、次の特性を満たします。^[10]${\displaystyle R(x,y)}$

• 適切な標識:${\displaystyle {\begin{cases}R(x,y)>0&{\text{iff }}y>x\\R(x,y)=0&{\text{iff }}y=x\\R(x,y)<0&{\text{iff }}y<x\end{cases}}.}$
• R は、 xが固定されている場合、yの増加関数です。
• Rは連続です。
• 測定単位に依存しません。すべての に対して、です。${\displaystyle a>0}$${\displaystyle R(ax,ay)=R(x,y)}$
• 正規化:${\displaystyle \left.{\frac {d}{dy}}R(1,y)\right|_{y=1}=1}$

正規化条件は、定数でスケールされたRが正規化以外の条件を満たすという観察に基づいています。さらに、独立条件により、すべてのRは比の単一引数関数Hとして記述できます。^[11]正規化条件は、 です。これは、がに近い場合、すべての指標が古典的な指標のように動作することを意味します。${\displaystyle c>0}$${\displaystyle y/x}$${\displaystyle H'(1)=1}$${\displaystyle y/x}$1 .

通常、相対的な変化の指標は、実際の変化Δを値xとyの何らかの関数、例えばf ( x , y )でスケーリングしたものとして表されます。^[2]

$${\displaystyle {\text{Relative change}}(x,y)={\frac {{\text{Actual change}}\,\Delta }{f(x,y)}}={\frac {y-x}{f(x,y)}}.}$$

古典的な相対変化と同様に、 f ( x , y )がゼロの場合、一般的な相対変化は定義されません。関数f ( x , y )にはさまざまな選択肢が提案されています。^[12]

表からわかるように、最初の 2 つの指標を除くすべての指標は、分母として平均 を持っています。平均関数の特性の 1 つは^[12]であり、これは、このような指標はすべて、古典的な相対変化にはない「対称性」特性を持っていることを意味します。これは、関係が示唆するように、xからyへの相対変化は、反対方向のyからxへの相対変化と同じ大きさになるはずだという直感と一致しています。 ${\displaystyle m(x,y)}$ ${\displaystyle m(x,y)=m(y,x)}$${\displaystyle R(x,y)=-R(y,x)}$${\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {1}{\frac {x}{y}}}}$

最大平均変化は、プログラミング言語で浮動小数点値を比較して、一定の許容範囲内で等しいかどうかを確認する場合に推奨されています。 ^[13]もう1つの用途は、測定の相対誤差が必要な場合の近似誤差の計算です。 ^[要出典]最小平均変化は、計量経済学で使用するために推奨されています。^{[14] [15]}相対変化の汎用的な代替として、対数変化が推奨されており、以下で詳しく説明します。

テンフネンはL（基準値）からKまでの一般的な相対差関数を定義している：^[16] $${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}\int _{1}^{K/L}t^{c-1}dt&{\text{when }}K>L\\-\int _{K/L}^{1}t^{c-1}dt&{\text{when }}K<L\end{cases}}}$$

それは

$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}{\frac {1}{c}}\cdot ((K/L)^{c}-1)&c\neq 0\\\ln(K/L)&c=0,K>0,L>0\end{cases}}}$$

特に特殊なケースでは、 ${\displaystyle c=\pm 1}$

$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}(K-L)/K&c=-1\\(K-L)/L&c=1\end{cases}}}$$

相対的変化のこれらの指標のうち、最も自然なのは、2つの数値（最終値と初期値）の比の自然対数（ln）であり、 log変化と呼ばれます。^[2]実際、のとき、次の近似が成り立ちます。 ${\displaystyle \left|{\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\right|\ll 1}$$${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}\approx \int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V_{0}}}={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}={\text{classical relative change}}}$$

相対的な変化を 100 倍にしてパーセンテージを得るのと同じように、 を100 倍にして一般にログポイントと呼ばれるものを得ることができます。^[17]ログポイントは、ルートパワー量を測定する場合の単位であるセンチパース(cNp) に相当します。^{[18] [19]}この量はログパーセンテージとも呼ばれ、L%と表記されます。^[2] 自然対数の 1 における導関数は 1 であるため、ログポイントは小さな差のパーセント変化とほぼ等しくなります。たとえば、1% の増加は 0.995 cNp の増加に等しく、5% の増加は 4.88 cNp の増加になります。この近似特性は、導関数が 1 でないためにスケーリング係数を導入する他の対数底の選択には当てはまりません。したがって、ログポイントはパーセント変化の代わりに使用できます。^{[20] [18]}${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}}$

対数変化を使用すると、相対変化に比べて加法性の利点があります。^{[2] [18]}具体的には、対数変化を使用する場合、一連の変化後の総変化は変化の合計に等しくなります。パーセントの場合、変化を合計しても近似値に過ぎず、変化が大きいほど誤差が大きくなります。^[18]たとえば、次のようになります。

上記の表では、相対変化 0 (または相対変化 1 ) は対数変化 0 (または対数変化 1 )と同じ数値であるため、同じ変化には対応していないことに注意してください。相対変化と対数変化の変換は次のように計算できます。 ${\displaystyle {\text{log change}}=\ln(1+{\text{relative change}})}$

加法性により、となり、したがって加法性は一種の対称性、すなわち を意味し、したがって対数変化で表される変化の大きさは、 V ₀またはV _{1 の}どちらを基準として選択しても同じです。 ^[18]対照的に、相対変化の場合、となり、 V ₁またはV ₀が 0 に近づくにつれて差は大きくなり、一方は固定されたままになります。例えば、 ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}+\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}=0}$${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=-\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}}$${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\neq -{\frac {V_{0}-V_{1}}{V_{1}}}}$${\displaystyle {\frac {(V_{1}-V_{0})^{2}}{V_{0}V_{1}}}}$

ここで、0 ^{+ は、}上から 0 に向かって極限を取ることを意味します。

対数変化は、加法的であり、その線形化が相対変化と一致する唯一の2変数関数です。任意のに対して、絶対変化が、対数変化がとなるような加法的差分関数の族があります。^[21]${\displaystyle F_{\lambda }(x,y)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$${\displaystyle F_{0}}$${\displaystyle F_{1}}$

• 近似誤差
• 統計における誤差と残差
• 相対標準偏差
• 対数スケール

• ベネット、ジェフリー、ブリッグス、ウィリアム（2005）、数学の使用と理解：定量的推論アプローチ（第3版）、ボストン：ピアソン、ISBN 0-321-22773-5
• 「測定とグラフ化の理解」(PDF)。ノースカロライナ州立大学。2008 年 8 月 20 日。2010年 6 月 15 日にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2010年 5 月 5 日に取得。
• 「パーセント差異 - パーセント誤差」（PDF）。イリノイ州立大学物理学部。2004年7月20日。2019年7月13日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。2010年5月5日に取得。
• トルンクヴィスト、レオ。ヴァルティア、ペンティ。 Vartia、Yrjö (1985)、「相対的な変化はどのように測定されるべきですか?」(PDF)、The American Statistician、39 (1): 43–46、doi :10.2307/2683905、JSTOR  2683905
• Tenhunen, Lauri (1990)。CES と par 生産技術、所得分配と新古典派生産理論 (PhD)。A. Vol. 290。タンペレ大学。
• Vartia, Yrjö O. (1976). 相対的変化と指数(PDF) . ETLA A 4. ヘルシンキ: フィンランド経済研究所. ISBN 951-9205-24-1. 2022年11月20日閲覧。