適切問題

数学において、適切とされる問題とは、以下の性質が成り立つ問題である。^[a]

1. この問題には解決策がある
2. 解決策はユニークです
3. 解の挙動は初期条件に応じて連続的に変化する

典型的な適切設定問題の例としては、ラプラス方程式のディリクレ問題や、初期条件が指定された熱方程式などがあります。これらの問題は、物理プロセスがモデル化されているという点で「自然な」問題とみなすことができます。

上記の意味で適切ではない問題は、不適切と呼ばれます。逆問題は多くの場合、不適切です。たとえば、最終データから以前の温度分布を推測する逆熱方程式は、解が最終データの変化に非常に敏感であるという点で、適切ではありません。

連続体モデルは、数値解を得るために離散化しなければならないことがよくあります。解は初期条件に関しては連続しているかもしれませんが、有限精度で解いたり、データに エラーがあったりすると、数値的に不安定になることがあります。

問題が適切に設定されていても、条件が悪い場合があります。つまり、初期データの小さな誤差が、答えの誤差を大幅に増加させる可能性があります。非線形複雑システム(いわゆるカオスシステム) の問題は、不安定性のよく知られた例です。条件が悪い問題は、条件数が大きいことで示されます。

問題が適切であれば、安定したアルゴリズムを使用してコンピュータで解ける可能性が高くなります。適切でない場合は、数値処理のために再定式化する必要があります。通常、これには解の滑らかさなどの追加の仮定が含まれます。このプロセスは正則化として知られています。^[1] ティホノフ正則化は、線形不適切問題の正則化に最も一般的に使用されるものの1つです。

エネルギー法は、初期条件に関して一意性と連続性の両方を確立するのに役立ちます (つまり、存在を確立するわけではありません)。この方法は、与えられた問題に対するエネルギーのような関数の上限を導出することに基づいています。

例: 同次ディリクレ境界条件と適切な初期データ(例えば、 )を持つ単位区間上の拡散方程式を考えます。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(0)=f(1)=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{t}&=Du_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\u(x,0)&=f(x),\\u(0,t)&=0,\\u(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

この式を掛けて単位区間にわたって空間積分すると、 ${\displaystyle u_{t}=Du_{xx}}$${\displaystyle u}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\int _{0}^{1}uu_{t}dx&=D\int _{0}^{1}uu_{xx}dx\\\Longrightarrow &&\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}\partial _{t}u^{2}dx&=Duu_{x}{\Big |}_{0}^{1}-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\\\Longrightarrow &&{\frac {1}{2}}\partial _{t}\|u\|_{2}^{2}&=0-D\int _{0}^{1}(u_{x})^{2}dx\leq 0\end{aligned}}}$$

これは、 （pノルム）が時間とともに増大できないことを示しています。2倍にして、からまで時間で積分すると、 ${\displaystyle \|u\|_{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \|u(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq \|f(\cdot )\|_{2}^{2}}$$

この結果は、この問題の エネルギー推定値です。

解の一意性を示すために、問題に2つの異なる解があり、それぞれが同じ初期データを満たすと仮定します。次に を定義すると、方程式の線形性により、 が以下を満たすこと がわかります。${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w=uv}$${\displaystyle w}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}w_{t}&=Dw_{xx},&&0<x<1,\,t>0,\,D>0,\\w(x,0)&=0,\\w(0,t)&=0,\\w(1,t)&=0,\\\end{aligned}}}$$

エネルギー推定値を適用すると、(ほぼどこでも) を意味することがわかります。${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq 0}$${\displaystyle u=v}$

同様に、初期条件に関して連続性を示すには、と が異なる初期データおよびに対応する解であると仮定します。もう一度考えると、 は上記と同じ方程式を満たしますが、 であることがわかります。これにより、連続性を確立するエネルギー推定値が得られます(つまり、と が、それらの差のノルムで測定されるように近づくと、 になります)。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$${\displaystyle v(x,0)=g(x)}$${\displaystyle w=u-v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w(x,0)=f(x)-g(x)}$${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}^{2}\leq D\|f(\cdot )-g(\cdot )\|_{2}^{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \|w(\cdot ,t)\|_{2}\to 0}$

最大原理は、この例の初期条件に関する解の一意性と連続性を確立するための代替アプローチです。この問題の解の存在は、フーリエ級数を使用して確立できます。

• 全吸収分光法–期待値最大化アルゴリズムによって解決される現実の状況における逆問題または不適切問題の例

• アダマール、ジャック (1902)。身体的な問題と重要な問題。プリンストン大学紀要。 49–52ページ。
• パーカー、シビル B. 編 (1989) [1974]。マグロウヒル科学技術用語辞典(第 4 版)。ニューヨーク: マグロウヒル。ISBN 0-07-045270-9。
• ティホノフ、AN; アルセニン、VY (1977)。『不適切問題の解決』ニューヨーク：ウィンストン。ISBN 0-470-99124-0。
• ストラウス、ウォルター A. (2008)。偏微分方程式入門（第 2 版）。ホーボーケン: ワイリー。ISBN 978-0470-05456-7。