行列の固有分解

線型代数学において、固有分解とは行列を標準形式に因数分解することであり、行列は固有値と固有ベクトルで表されます。対角化可能な行列のみがこの方法で因数分解できます。因数分解される行列が正規行列または実対称行列である場合、その分解はスペクトル定理に由来する「スペクトル分解」と呼ばれます。

N次元の(非ゼロの) ベクトルvが正方N × N行列Aの固有ベクトルであるとは、 あるスカラーλに対して形式の 線形方程式を満たす場合です。この場合、 λ はvに対応する固有値と呼ばれます。幾何学的に言えば、 Aの固有ベクトルはAが単に伸長または縮小するベクトルであり、それらの伸長/縮小の量が固有値です。上記の方程式は、固有値方程式または固有値問題と呼ばれます。 $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$

これにより、固有値に関する方程式が得られます。 p ( λ ) を特性多項式 と呼び、この方程式は特性方程式と呼ばれ、未知数λに関するN次の多項式方程式です。この方程式にはN _{λ 個の}異なる解があります( 1 ≤ N _λ ≤ N ) 。解の集合、つまり固有値はAのスペクトルと呼ばれます。^{[1] [2] [3]}$${\displaystyle p\left(\lambda \right)=\det \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)=0.}$$

スカラー体が代数的に閉じている場合、p を因数分解する ことができます。 整数n _{i は、}固有値λ _iの代数的重複度と 呼ばれます。代数的重複度を合計するとNになります。$${\displaystyle p(\lambda )=\left(\lambda -\lambda _{1}\right)^{n_{1}}\left(\lambda -\lambda _{2}\right)^{n_{2}}\cdots \left(\lambda -\lambda _{N_{\lambda }}\right)^{n_{N_{\lambda }}}=0.}$$${\textstyle \sum _{i=1}^{N_{\lambda }}{n_{i}}=N.}$

各固有値λ _iに対して、特定の固有値方程式が存在します 。各固有値方程式には、 1 ≤ m _i ≤ n _{i の}線形独立な解 があります。 m _iの解の線形結合(ゼロベクトルを与えるものを除く) は、固有値λ _iに関連付けられた固有ベクトルです。整数m _{i は}、 λ _iの幾何学的重複度と呼ばれます。代数的重複度n _iと幾何学的重複度m _{i は}等しい場合もそうでない場合もありますが、常にm _i ≤ n _iであることに留意することが重要です。最も単純なケースは、もちろん、m _i = n _i = 1のときです。線形独立な固有ベクトルの総数N _vは、幾何学的重複度を合計することで計算できます 。$${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} =0.}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{N_{\lambda }}{m_{i}}=N_{\mathbf {v} }.}$$

固有ベクトルは、二重インデックスを使用して固有値でインデックス付けできます。この場合、 v _{ij は}、 i番目の固有値に対するj番目の固有ベクトルです。固有ベクトルは、より単純な表記法である単一インデックスv _kを使用してインデックス付けすることもできます。この場合、k = 1、2、...、N _vです。

A を、 n 個の線形独立な固有ベクトルq _i (ただし、i = 1, ..., n )を持つn × nの正方行列とします。すると、A は次 のように 因数分解できます。ここで、 Q は、 i番目の列がAの固有ベクトルq _iであるn × nの正方行列、Λは、対角要素が対応する固有値Λ _ii = λ _iである対角行列です。この方法で因数分解できるのは、対角化可能な行列だけであることに注意してください。たとえば、欠陥行列(せん断行列) は対角化できません。 $${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}}$$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$

n 個の固有ベクトルq _{i は}通常は正規化されますが、必ずしもそうである必要はありません。n 個の固有ベクトルの正規化されていないセットv _iも、 Qの列として使用できます。これは、 Qの固有ベクトルの大きさがQ ⁻¹の存在によって分解でキャンセルされることに注目すると理解できます。固有値λ _iの 1 つに複数の線形独立な固有ベクトルがある場合 (つまり、λ _iの幾何学的重複度が 1 より大きい場合)、この固有値λ _iのこれらの固有ベクトルは相互に直交するように選択できます。ただし、2 つの固有ベクトルが 2 つの異なる固有値に属する場合、それらが互いに直交することは不可能な場合があります (以下の例を参照)。 1つの特別なケースとして、Aが正規行列である場合、スペクトル定理により、正規直交基底{q _i }でAを対角化することが常に可能です。

分解は、固有ベクトルの基本的な性質から導くことができます。 非ゼロの固有値を持つ 線形独立な固有ベクトルq _{i は、} x ∈ C ⁿに対してすべての可能な積A xの基底（必ずしも正規直交ではない）を形成します。これは、対応する行列変換の像（または範囲）と同じであり、行列Aの列空間でもあります。非ゼロの固有値を持つ線形独立な固有ベクトルq _iの数は、行列Aの階数、および対応する行列変換の像（または範囲）の次元、およびその列空間に等しくなります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \mathbf {v} &=\lambda \mathbf {v} \\\mathbf {A} \mathbf {Q} &=\mathbf {Q} \mathbf { \Lambda } \\\mathbf {A} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}.\end{整列}}}$$

固有値がゼロである線形独立な固有ベクトルq _{i は、行列変換}Aのヌル空間(カーネルとも呼ばれる)の基底 (正規直交になるように選択可能) を形成します。

2×2の実数行列Aは、特異でない行列 Q の乗算によって対角行列に分解できる。$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.}$$

次に、 ある実対角行列について考えます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}x&0\\0&y\end{smallmatrix}}\right]}$

左辺の方程式の両辺にQ を掛けると、 上の方程式は 2 つの連立方程式 に分解できます。 固有値xとy を 因数分解すると、 次 の 2 つのベクトル方程式が得られます。 また、 これは 2 つの解を固有値として含む単一のベクトル方程式で表すことができます。 ここで、λ は2 つの固有値xとyを表し、u はベクトルaとbを表します。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}\end{cases}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {A} \mathbf {a} =x\mathbf {a} \\\mathbf {A} \mathbf {b} =y\mathbf {b} \end{cases}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }$$

λ u を左側にシフトし、 u を因数分解します 。Qは非特異な ので、 uが非ゼロであることが不可欠です。したがって、 λ = 1またはλ = 3として 行列Aの固有値の解が得られ、Aの固有分解から得られる対角行列はです。$${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)\mathbf {u} =\mathbf {0} }$$$${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}$$$${\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0}$$${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]}$

解を上記の連立方程式に戻すと $${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\[1.2ex]{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}$$

方程式を解くと、次の式が得られます 。したがって、 Aの固有分解に必要な 行列Q は次のよう になります 。 $${\displaystyle a=-2c\quad {\text{and}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} .}$$$${\displaystyle \mathbf {Q} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} ,}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} }$$

行列A が固有分解可能であり、その固有値が 0 でない場合、Aは可逆であり、その逆行列は 次 のように定義されます。が対称行列である場合、は の固有ベクトルから形成されるため、は直交行列であることが保証され、したがって となります。さらに、 Λ は対角行列であるため、その逆行列は簡単に計算できます。 $${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}}$$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }}$$${\displaystyle \left[\mathbf {\Lambda } ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}}$$

測定された実データの行列に固有値分解を使用する場合、すべての固有値が上記の形式で変更されていないと、逆行列の有効性が低下する可能性があります。これは、固有値が比較的小さくなると、逆行列への寄与が大きくなるためです。ゼロに近い値や測定システムの「ノイズ」にある値は過度の影響を及ぼし、逆行列を使用したソリューション（検出）を妨げる可能性があります。^[4]

2 つの緩和策が提案されています。小さいまたはゼロの固有値を切り捨てることと、最も低い信頼できる固有値をそれ以下の固有値に拡張することです。また、ノイズによって支配されるようになった固有値をロールオフするための統計的動機付けの偏った方法として、 Tikhonov 正規化も参照してください。

最初の軽減方法は、元のマトリックスのスパース サンプルに似ており、価値がないと見なされるコンポーネントを削除します。ただし、ソリューションまたは検出プロセスがノイズ レベルに近い場合、切り捨てによって、目的のソリューションに影響を与えるコンポーネントが削除される可能性があります。

2 番目の緩和策では、固有値を拡張して、低い値が反転に与える影響を大幅に減らしますが、それでも寄与するため、ノイズに近い解が依然として見つかります。

信頼性の高い固有値は、非常に類似した低い値の固有値が測定ノイズ（ほとんどのシステムでは低いと想定されます）を適切に表していると仮定することで見つけることができます。

固有値が値によってランク付けされている場合、信頼できる固有値は、ソートされた固有値のラプラシアンを最小化することによって見つけることができます。 ^[5] ここで、固有値には、ソートされていることを示すためにsが添え字として付けられます。最小化の位置は、最も低い信頼できる固有値です。測定システムでは、この信頼できる固有値の平方根が、システムのコンポーネント全体の平均ノイズです。 $${\displaystyle \min \left|\nabla ^{2}\lambda _{\mathrm {s} }\right|}$$

固有値分解により、行列のべき級数の計算がはるかに簡単になります。 f  ( x )が で与えられる 場合、 次の式が得られます。 Λは対角行列である ため、Λの関数は非常に簡単に計算できます。 $${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots }$$$${\displaystyle f\!\left(\mathbf {A} \right)=\mathbf {Q} \,f\!\left(\mathbf {\Lambda } \right)\mathbf {Q} ^{-1}}$$$${\displaystyle \left[f\left(\mathbf {\Lambda } \right)\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right)}$$

f  ( Λ )の非対角要素はゼロです。つまり、f  ( Λ )も対角行列です。したがって、f  ( A )の計算は、各固有値に対する関数を計算するだけになります。

同様の手法は、より一般的には、上記の を用いて 正則関数計算にも適用できる 。ここでも、 $${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}}$$$${\displaystyle \left[f\left(\mathbf {\Lambda } \right)\right]_{ii}=f\left(\lambda _{i}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{2}&=\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)\left(\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\right)=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \left(\mathbf {Q} ^{-1}\mathbf {Q} \right)\mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{2}\mathbf {Q} ^{-1}\\[1.2ex]\mathbf {A} ^{n}&=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{n}\mathbf {Q} ^{-1}\\[1.2ex]\exp \mathbf {A} &=\mathbf {Q} \exp(\mathbf {\Lambda } )\mathbf {Q} ^{-1}\end{aligned}}}$$ これらは関数 の例です。さらに、は指数行列です。 ${\displaystyle f(x)=x^{2},\;f(x)=x^{n},\;f(x)=\exp {x}}$${\displaystyle \exp {\mathbf {A} }}$

スペクトル行列は、異なる固有値と完全な固有ベクトルのセットを持つ行列です。この特性により、スペクトル行列は完全に対角化可能であり、固有値分解を使用してより単純な形式に分解できます。この分解プロセスは、特に量子力学、信号処理、数値解析などの分野で、行列の構造と動作に関する基本的な洞察を明らかにします。^[6]

複素数値正方行列が正規行列（つまり、、ここでは共役転置）である場合、かつそれが として分解できる場合のみ、複素数値正方行列は正規行列である。ここではユニタリ行列（つまり）、diag( ) は対角行列である。 ^[7]の列は正規直交基底を形成し、 の固有ベクトルであり、対応する固有値を持つ。^[8]${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {A} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {U} ^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {\Lambda } =}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\cdots ,\mathbf {u} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$

たとえば、2 x 2 の正規行列を考えます。 ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}}$

固有値はおよび です。 ${\displaystyle \lambda _{1}=3}$${\displaystyle \lambda _{2}=-1}$

これらの固有値に対応する（正規化された）固有ベクトルは、およびです。 ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}}$

対角化は であり、ここで、です。 ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {\Lambda } =}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {U} ^{-1}=}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

検証は です。 ${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{*}=}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/{\sqrt {2}}&1/{\sqrt {2}}\\1/{\sqrt {2}}&-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}=\mathbf {A} }$

この例では、固有値と固有ベクトルを求め、ユニタリ行列と対角行列を形成し、分解を検証すること によって 、正規行列を対角化するプロセスを示します。${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {\Lambda } }$

特別な場合として、すべてのn × n実対称行列に対して、固有値は実数であり、固有ベクトルは実数かつ正規直交 として選択できます。したがって、実対称行列Aはとして分解できます。ここで、QはAの実正規直交固有ベクトルを列とする直交行列であり、ΛはAの固有値を要素とする対角行列です。^[9]${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{\mathsf {T}}}$

対角化可能な行列は、線形独立な固有ベクトルの完全なセットを持っている限り、固有値分解を使用して分解できます。これらは と表現できます。ここで、 は列が の固有ベクトルである行列であり、は の対応する固有値からなる対角行列です。^[8]${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} \mathbf {D} \mathbf {P} ^{-1}}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {D} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

正定値行列は、すべての固有値が正である行列である。これらはコレスキー分解（ は下三角行列）を使用して分解することができる。 ^[10]${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {L} \mathbf {L} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$

ユニタリ行列は(実数の場合)または(複素数の場合)を満たし、 は共役転置を表し、 は共役転置を表す。これらはユニタリ変換を使用して対角化される。^[8]${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {U} ^{*}=\mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {U} \mathbf {U} ^{\dagger }=\mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {U} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }}$

エルミート行列は（共役転置を表す）を満たす。これらはユニタリ行列または直交行列を使用して対角化できる。^[8]${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} ^{\dagger }}$${\displaystyle \mathbf {H} ^{\dagger }}$

• 固有値の積はAの行列式に等しくなります。各固有値は代数的重複度n _i乗されることに注意してください。 $${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} \right)=\prod _{i=1}^{N_{\lambda }}{\lambda _{i}^{n_{i}}}}$$
• 固有値の合計はAのトレースに等しくなります。各固有値には代数的重複度n _iが掛けられることに注意してください。 $${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \right)=\sum _{i=1}^{N_{\lambda }}{{n_{i}}\lambda _{i}}}$$
• Aの固有値がλ _iであり、Aが可逆である場合、A ⁻¹の固有値は単にλである。⁻¹
  _私。
• Aの固有値がλ _iである場合、任意の正則関数fに対して、 f  ( A )の固有値は単にf  ( λ _i )です。

• Aがエルミートかつフルランクの場合、固有ベクトルの基底は相互に直交するように選択できます。固有値は実数です。
• A ⁻¹の固有ベクトルはAの固有ベクトルと同じです。
• 固有ベクトルは乗法定数までしか定義されません。つまり、Av = λ vの場合、c v は任意のスカラーc ≠ 0に対しても固有ベクトルです。特に、− vとe ^iθ v (任意のθに対して) も固有ベクトルです。
• 退化した固有値（複数の固有ベクトルを持つ固有値）の場合、固有ベクトルには線形変換の自由度が加わります。つまり、（退化した部分空間内の）固有値を共有する固有ベクトルの任意の線形（正規直交）組み合わせは、それ自体が（部分空間内の）固有ベクトルになります。

• A は、線形独立な固有ベクトルの数N _{v が}固有ベクトルの次元に等しい場合にのみ、固有分解できます。N _v = N
• スカラー体が代数的に閉じており、p ( λ )に重根がない場合、つまり、Aは固有分解できます。${\displaystyle N_{\lambda }=N,}$
• 「 A は固有値分解できる」という記述は、一部の固有値がゼロになる可能性があり、逆変換できないため、Aに逆が存在することを意味するものではありません。
• 「 Aには逆行列がある」という文は、 A が固有分解できることを意味しません。反例として、可逆な欠陥行列があります。${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$

• A は、すべての固有値がゼロでない場合にのみ反転できます$${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0\quad \forall \,i}$$
• λ _i ≠ 0 かつ N _v = Nの場合、逆関数は次のように表される。$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}}$$

与えられた行列の固有値を計算したいとします。行列が小さければ、特性多項式 を使って記号的に計算できます。しかし、大きな行列ではこれが不可能な場合が多く、その場合は数値法を使用する必要があります。

実際には、大きな行列の固有値は特性多項式を使用して計算されません。多項式の計算自体がコストが高くなり、高次多項式の正確な（記号的な）根を計算して表現することが困難な場合があります。アーベル・ルフィニの定理は、高次（5以上）の多項式の根は一般にn次の根だけでは単純に表現できないことを意味します。したがって、固有ベクトルと固有値を見つけるための一般的なアルゴリズムは反復的です。

ニュートン法など、多項式の根を近似する反復数値アルゴリズムは存在するが、一般的に特性多項式を計算してからこれらの方法を適用するのは非現実的である。その理由の1つは、特性多項式の係数の小さな丸め誤差が、固有値と固有ベクトルに大きな誤差をもたらす可能性があることである。根は係数の極めて条件の悪い関数である。 ^[11]

単純かつ正確な反復法はべき乗法である。ランダムベクトルvが選択され、単位ベクトルのシーケンスが次のように計算される。 $${\displaystyle {\frac {\mathbf {A} \mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} \mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{2}\mathbf {v} \right\|}},{\frac {\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} }{\left\|\mathbf {A} ^{3}\mathbf {v} \right\|}},\ldots }$$

このシーケンスは、 v が固有ベクトル基底にこの固有ベクトルの非ゼロ成分を持つ場合（また、最大の大きさの固有値が 1 つだけである場合）、ほぼ常に最大の大きさの固有値に対応する固有ベクトルに収束します。この単純なアルゴリズムは、いくつかの実用的なアプリケーションで役立ちます。たとえば、 Google は検索エンジンでドキュメントのページランクを計算するためにこれを使用しています。 ^[12] また、べき乗法は、多くのより洗練されたアルゴリズムの出発点です。たとえば、シーケンスの最後のベクトルだけでなく、シーケンス内のすべてのベクトルの範囲を調べることで、より優れた（より速く収束する）固有ベクトルの近似値を取得できます。このアイデアは、アーノルディ反復法の基礎となっています。^[11] また、重要なQR アルゴリズムも、べき乗法の微妙な変換に基づいています。^[11]

固有値が計算されると、 ガウス消去法または行列方程式を解く他の方法を 使用して方程式を解くことによって、固有ベクトルを計算できます。 $${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} _{i,j}=\mathbf {0} }$$

しかし、実際の大規模固有値法では、固有ベクトルは通常、固有値計算の副産物として他の方法で計算されます。たとえば、べき乗反復では、固有ベクトルは実際には固有値（通常は固有ベクトルのレイリー商によって計算されます）の前に計算されます。 ^[11]エルミート行列（または任意の正規行列） のQRアルゴリズムでは、正規直交固有ベクトルはアルゴリズムのステップからQ行列の積として得られます。 ^[11] （より一般的な行列の場合、QRアルゴリズムは最初にシュアー分解を生成し、そこからバックサブスティテューション手順によって固有ベクトルを取得できます。^[13]）エルミート行列の場合、固有ベクトルと固有値の両方が必要な場合は、分割統治固有値アルゴリズムの方がQRアルゴリズムよりも効率的です。^[11]

固有値の幾何学的重複度は、関連する固有空間、つまりλ I − Aのヌル空間の次元として記述できることを思い出してください。代数的重複度も次元として考えることができます。これは、十分に大きい任意のkに対する行列( λ I − A ) ^kのヌル空間である、関連する一般化固有空間(第 1 の意味) の次元です。つまり、これは一般化固有ベクトルの空間(第 1 の意味) であり、一般化固有ベクトルとは、λ I − Aを十分な回数連続して適用した場合に最終的に0 になる任意のベクトルです。任意の固有ベクトルは一般化固有ベクトルであるため、各固有空間は関連する一般化固有空間に含まれます。これにより、幾何学的重複度が常に代数的重複度以下であることが簡単に証明されます。

この用法は、以下で説明する一般化固有値問題と混同しないでください。

共役固有ベクトルまたは共役ベクトルは、その共役のスカラー倍に変換された後に送られるベクトルであり、スカラーは線形変換の共役固有値または共役固有値と呼ばれます。共役ベクトルと共役値は、通常の固有ベクトルおよび固有値と本質的に同じ情報と意味を表しますが、代替座標系が使用される場合に発生します。対応する方程式は次のとおりです。 たとえば、コヒーレント電磁散乱理論では、線形変換Aは散乱物体によって実行されるアクションを表し、固有ベクトルは電磁波の偏光状態を表します。光学では、座標系は波の観点から定義され、前方散乱アラインメント(FSA) と呼ばれ、通常の固有値方程式が生成されますが、レーダーでは、座標系はレーダーの観点から定義され、後方散乱アラインメント(BSA) と呼ばれ、共役値方程式が生成されます。 $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ^{*}.}$$

一般化固有値問題(第 2 の意味)は、 AとBが行列である ときに、次式に従う (非ゼロの) ベクトルv を見つける問題です。v が、あるλとともにこの式に従う場合、 v をAとBの一般化固有ベクトル(第 2 の意味)と呼び、 λ をAとBの一般化固有値(第 2 の意味)と呼びます。これは、一般化固有ベクトルvに対応します。λの可能な値は、次の式に従う必要があります 。$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {B} \mathbf {v} }$$$${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {B} )=0.}$$

もしn個の線形独立ベクトル{ v ₁ , …, v _n }が見つかり、任意のi ∈ {1, …, n }に対してAv _i = λ _i Bv _iが成り立つとすると、行列PとDを次のように 定義すると 、次の等式が成り立ち 、証明は $${\displaystyle P={\begin{bmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}(\mathbf {v} _{1})_{1}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{1}\\\vdots &&\vdots \\(\mathbf {v} _{1})_{n}&\cdots &(\mathbf {v} _{n})_{n}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle (D)_{ij}={\begin{cases}\lambda _{i},&{\text{if }}i=j\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} \mathbf {P} ^{-1}}$$$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {P} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}|&&|\\\mathbf {v} _{1}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\A\mathbf {v} _{1}&\cdots &A\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\\lambda _{1}B\mathbf {v} _{1}&\cdots &\lambda _{n}B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}|&&|\\B\mathbf {v} _{1}&\cdots &B\mathbf {v} _{n}\\|&&|\end{bmatrix}}\mathbf {D} =\mathbf {B} \mathbf {P} \mathbf {D} }$$

そして、Pは逆数なので、右から方程式にその逆数を掛けて証明は完了です。

A − λ B（λは複素数）の形式の行列の集合は行列ペンシルと呼ばれる。行列ペンシルという用語は、行列のペア（A、B）を指すこともある。^[14]

Bが逆行列を持つ場合、元の問題は標準的な固有値問題の形式で記述できます 。ただし、ほとんどの場合、逆行列を実行するのではなく、元の一般化固有値問題を解く方が望ましいです。これは、AとB がエルミート行列である場合に特に重要です。この場合、B ⁻¹ A は一般にエルミート行列ではなく、解の重要な特性がもはや明らかではないためです。 $${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$$

AとB が両方とも対称またはエルミートであり、Bも正定値行列である場合、固有値λ _{i は}実数であり、異なる固有値を持つ固有ベクトルv ₁とv _2はB直交（v ₁ ^* Bv ₂ = 0）です。^[15]この場合、上で定義した行列P が または を満たす ように固有ベクトルを選択でき、一般化固有ベクトルの基底 が存在する（これは欠陥のある問題ではありません）。^[14] この場合は、エルミート定値ペンシルまたは定値ペンシルと呼ばれることがあります。^[14]$${\displaystyle \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} \mathbf {P} =\mathbf {I} }$$$${\displaystyle \mathbf {P} \mathbf {P} ^{*}\mathbf {B} =\mathbf {I} ,}$$

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