悪魔のアルゴリズム

デーモンアルゴリズムは、与えられたエネルギーを持つミクロカノニカル アンサンブルのメンバーを効率的にサンプリングするモンテ カルロ法です。システムには「デーモン」と呼ばれる追加の自由度が追加され、エネルギーを蓄積および提供できます。描画されたミクロ状態のエネルギーが元の状態よりも低い場合、余分なエネルギーはデーモンに転送されます。サンプリングされた状態が希望よりも高いエネルギーを持っている場合、デーモンは不足しているエネルギーを利用可能な場合は提供します。デーモンは負のエネルギーを持つことはできず、エネルギーの交換以外に粒子と相互作用することはありません。デーモンの追加の自由度は、マクロレベルで多くの粒子を含むシステムを大幅に変更しないことに注意してください。

熱力学システムでは、異なるミクロな特性 (個々の粒子の速度など) から、同じマクロな特性 (温度など) が生じることがあります。ミクロな特性をシミュレートするために、個々の粒子の完全な運動方程式をコンピュータでシミュレーションすると、計算コストが非常に高くなります。モンテカルロ法では、完全なミクロ物理学をモデル化するのではなく、確率論的ルールに従ってミクロな状態をサンプリングすることで、この問題を克服できます。

ミクロカノニカル アンサンブルは、エネルギー、体積、粒子数が固定されたミクロ状態の集合です。一定数の粒子を含む密閉システムでは、エネルギーはミクロ物理学の影響を受ける唯一のマクロ変数です。したがって、ミクロカノニカル アンサンブルのモンテ カルロ シミュレーションでは、同じエネルギーを持つさまざまなミクロ状態をサンプリングする必要があります。熱力学システムの可能なミクロ状態の数が非常に多い場合、すべての可能な状態から状態をランダムに抽出し、適切なエネルギーを持つ場合にそれをシミュレーションに受け入れるのは非効率的です。抽出された状態の多くが拒否されるためです。

完全な手順は、次の手順で要約できます。

1. ランダムに選択されたパーティクルの状態をランダムに変更します (例: 速度や位置の変更)。
2. 熱システムのエネルギーの変化を計算します。${\displaystyle \Delta E}$
3. 負の、つまり余分なエネルギーは、悪魔に追加することによって悪魔に与えられます。この場合 ( ) は常に受け入れられます。${\displaystyle \Delta E}$${\displaystyle |\Delta E|}$${\displaystyle \Delta E<0}$
4. 悪魔は、十分なエネルギーがある場合のみ、つまり の場合にのみ、総エネルギーを一定に保つために正の値を提供します。この場合、変更は受け入れられ、そうでない場合は、ランダムに選択された速度の変化は拒否され、アルゴリズムは元の微視的状態から再開されます。${\displaystyle \Delta E}$${\displaystyle E_{d}>\Delta E}$
5. 変更が承認された場合は、新しい構成に対してアルゴリズムを繰り返します。

自由度あたりのエネルギー変動は 1/ Nのオーダーに過ぎないため、悪魔の存在は、粒子数の多いシステムのマクロ特性にほとんど影響を及ぼしません。アルゴリズムを何度も繰り返した後、悪魔とランダムなエネルギー変化の相互作用により、システムは平衡状態になります。特定のシステムが非常に長い時間 (準エルゴード性) ですべての可能な状態に近づくと仮定すると、結果として得られるモンテカルロダイナミクスは、与えられたエネルギー値に対応するミクロ状態を現実的にサンプリングします。これは、マクロ量が多くのモンテカルロステップにわたって安定している場合、つまりシステムが平衡状態にある場合にのみ当てはまります。

• モンテカルロ法
• 固定温度で微視的状態をサンプリングするメトロポリスアルゴリズム

• Harvey Gould、Jan Tobochnik、Wolfgang Christian (2006)。「第 15 章: 熱システムのモンテ カルロ シミュレーション」。コンピュータ シミュレーション手法入門: 物理システムへの応用(第 3 版)。Addison Wesley。ISBN 978-0-8053-7758-3。
• Creutz, Michael (1983 年 5 月). 「ミクロカノニカル モンテ カルロ シミュレーション」. Phys. Rev. Lett . 50 (19). アメリカ物理学会: 1411–1414. Bibcode :1983PhRvL..50.1411C. doi :10.1103/PhysRevLett.50.1411.