ノイマン・ノイマン法

数学において、ノイマン・ノイマン法は、サブドメイン間のインターフェースの両側の各サブドメインでノイマン問題を解くことからそのように名付けられたドメイン分割前処理法である。 ^{[ 1 ]} すべてのドメイン分割法と同様に、反復回数がサブドメインの数とともに増加しないように、ノイマン・ノイマン法は、グローバルな通信を提供するために粗い問題を解く必要がある。バランス型ドメイン分割は、特殊な種類の粗い問題を持つノイマン・ノイマン法である。

より具体的には、ポアソン方程式を解きたい領域Ωを考えます。

$${\displaystyle -\Delta u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=0}$$

ある関数fに対して、領域を共通境界Γを持つ2 つの重なり合わない部分領域Ω ₁とΩ ₂に分割し、各部分領域におけるuの値をu ₁とu ₂とする。2 つの部分領域の境界面において、2 つの解はマッチング条件を満たさなければならない。

$${\displaystyle u_{1}=u_{2},\qquad \partial _{n_{1}}u_{1}=\partial _{n_{2}}u_{2}}$$

どこ${\textstyle n_{i}}$は、各サブドメインにおけるΓへの単位法線ベクトルである。

マッチング条件を満たす各u _i ( i = 1, 2 ) の近似値を求める反復法(k = 0, 1, ... ) は、まずディリクレ問題を解くことである。

$${\displaystyle {\begin{aligned}-&\Delta u_{i}^{(k)}=f_{i}~~{\text{in}}~~\Omega _{i},\\[1.3ex]&\left.u_{i}^{(k)}\right|_{\partial \Omega }=0,\quad \left.u_{i}^{(k)}\right|_{\Gamma }=\lambda ^{(k)}\end{aligned}}}$$

Γ上の何らかの関数λ ^{( k )}に対して、λ ⁽⁰⁾は任意の安価な初期推定値である。次に、2 つのノイマン問題を解く。

$${\displaystyle {\begin{aligned}-&\Delta \psi _{i}^{(k)}=0~~{\text{in}}~\Omega _{i},\\[1.3ex]&\left.\psi _{i}^{(k)}\right|_{\partial \Omega }=0,\quad \left.\partial _{n_{i}}\psi _{i}^{(k)}\right|_{\Gamma }=\omega \left(\partial _{n_{1}}u_{1}^{(k)}+\partial _{n_{2}}u_{2}^{(k)}\right).\end{aligned}}}$$

次に、次の反復値を取得するために、

$${\displaystyle \lambda ^{(k+1)}=\lambda ^{(k)}-\omega \left(\theta _{1}\psi _{1}^{(k)}+\theta _{2}\psi _{2}^{(k)}\right)~~{\text{on}}~\Gamma }$$

いくつかのパラメータω、θ ₁、およびθ ₂について。

この手順は、シューア補元法から生じる方程式の反復解法のためのリチャードソン反復法と見なすことができる。^{[ 2 ]}

この連続反復は有限要素法によって離散化され、コンピュータ上で並列に解くことができる。より多くのサブドメインへの拡張は容易であるが、この方法をシューア補元システムの前処理として使用すると、サブドメインの数に応じてスケーラブルにならないため、大域的な粗解法が必要となる。

• ノイマン・ディリクレ法