フリッツ・ジョンの条件

数学におけるフリッツ・ジョン条件（略称FJ条件）は、非線形計画法の解が最適となるための必要条件である。^{[1]これらは}カルシュ・キューン・タッカー条件の証明における補題として用いられるが、それ自体でも意味を持つ。

次の最適化問題を考えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{最小化}&f(x)\,\\{\text{ただし:}&g_{i}(x)\leq 0,\ i\in \left\{1,\dots ,m\right\}\\&h_{j}(x)=0,\ j\in \left\{m+1,\dots ,n\right\}\end{aligned}}}$

ここで、ƒは最小化される関数、不等式制約、等式制約、であり、それぞれ、、およびは、非アクティブ制約、アクティブ制約、等式制約のインデックスセットであり、が の最適解である場合、次のような非ゼロ ベクトルが存在します。 ${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle h_{j}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle x^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda =[\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}]}$

${\displaystyle {\begin{cases}\lambda _{0}\nabla f(x^{*})+\sum \limits _{i\in {\mathcal {A}}}\lambda _{i}\nabla g_{i}(x^{*})+\sum \limits _{i\in {\mathcal {E}}}\lambda _{i}\nabla h_{i}(x^{*})=0\\[10pt]\lambda _{i}\geq 0,\ i\in {\mathcal {A}}\cup \{0\}\\[10pt]\exists i\in \left(\{0,1,\ldots ,n\}\backslash {\mathcal {I}}\right)\left(\lambda _{i}\neq 0\right)\end{cases}}}$

${\displaystyle \lambda _{0}>0}$ およびが線形独立である場合、またはより一般的には、制約条件が満たされている場合。 ${\displaystyle \nabla g_{i}(i\in {\mathcal {A}})}$${\displaystyle \nabla h_{i}(i\in {\mathcal {E}})}$

フリッツ・ジョンにちなんで名付けられたこれらの条件は、の場合のカルシュ・キューン・タッカー条件と同等です。 のとき、条件はマンガサリアン・フロモビッツ制約条件 (MFCQ) に違反することと同等です。言い換えると、フリッツ・ジョン条件は最適条件 KKT または非 MFCQ と同等です。^{[引用が必要]}${\displaystyle \lambda _{0}>0}$${\displaystyle \lambda _{0}=0}$

• ラウ、ニコラス (1981)。「ラグランジュ乗数」。行列と数理計画法。ロンドン: マクミラン。pp. 156–174。ISBN 0-333-27768-6。