ストーン＝ワイエルシュトラスの定理

数学解析において、ワイエルシュトラスの近似定理は、閉区間 $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ で定義されたすべての連続関数は、多項式関数によって望む限り一様に近似できると述べています。多項式は最も単純な関数の 1 つであり、コンピュータは多項式を直接評価できるため、この定理は特に多項式補間において、実用的かつ理論的に重要です。この結果の原型は、1885 年にカール・ワイエルシュトラスがワイエルシュトラス変換を用いて確立しました。

マーシャル・H・ストーンは定理^{[ 1 ]}を大幅に一般化し、証明を簡略化した^{[ 2 ]} 。彼の結果はストーン・ワイエルシュトラスの定理として知られている。ストーン・ワイエルシュトラスの定理は、ワイエルシュトラスの近似定理を2つの方向に一般化している。実数区間 $[a, b]$ の代わりに任意のコンパクトなハウスドルフ空間 $X$ が考慮され、多項式関数の代数の代わりに、他のさまざまな連続関数族が考慮される。 $X$ 以下に詳述するように、十分であることが示されています。ストーン・ワイエルシュトラスの定理は、コンパクトハウスドルフ空間上の連続関数の代数の研究において重要な結果です。

さらに、ストーン・ワイエルシュトラスの定理を非コンパクトなチコノフ空間に一般化したものがあり、すなわち、チコノフ空間上の任意の連続関数は、ストーン・ワイエルシュトラスの定理に現れるタイプの代数によってコンパクト集合上で一様に近似され、以下に説明する。

ワイエルシュトラスの元の定理の別の一般化としてメルゲリヤンの定理があり、これはそれを複素平面の特定の部分集合上で定義された関数に一般化したものです。

ワイエルシュトラスの近似定理

ワイエルシュトラスによって最初に発見された近似定理の記述は以下のとおりです。

ワイエルシュトラスの近似定理— $f$ $は実数区間[a, b]$ 上で定義された連続実数値関数であるとします。任意の $ε > 0に対して、すべての$ $x \in$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ に対して $|$ $f$ $($ $x$ $)$ $-$ $p$ $($ $x$ $)|$ $<$ $ε$ となるような多項式 $p$ が存在し、これは上限ノルム $‖$ $f$ $-$ $p$ $‖$ $<$ $ε$ と同等です。

ベルンシュタイン多項式に関するページには、上記の定理の構成的な証明が概説されている。

近似度

微分可能な関数に対して、ジャクソンの不等式は、与えられた次数の多項式による近似誤差を制限します。 $f$ は連続な k 階微分を持つので、すべての $n\in \mathbb {N}$ 多項式が存在する $p_{n}$ 最大で $n$ そのため $\left\lVert f-p_{n}\rVert \leq {\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{(n+1)^{k}}}\lVert f^{(k)}\rVert }$ [ ³^]

しかし、もし $f$ は単に連続であるが、近似の収束は次の意味で任意に遅くなり得る。任意の正の実数列に対して $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 0に減少する関数が存在する $f$ そのため $\lVert fp\rVert >a_{n}$ すべての多項式に対して $p$ 最大で $n$ [ ⁴^]

アプリケーション

ワイエルシュトラスの近似定理の結果として、空間 $C[a, b]は$ 分離可能であることが示せる。すなわち、多項式関数は稠密であり、各多項式関数は有理係数を持つ関数によって一様に近似できる。有理係数を持つ多項式は可算個しか存在しない。C $[a, b]$ は距離化可能かつ分離可能であるため、 $C[a, b] の$ 濃度は最大で $2 ℵ 0$ である。（注：この濃度に関する結果は、実数上の連続関数が有理数への制限によって一意に決定されるという事実からも導かれる。）

ストーン・ワイエルシュトラスの定理、実版

$[ a$ $,$ $b$ $]$ 上の連続実数値関数の集合 $C$ $[a, b]$ と上限ノルム $‖ f ‖ = sup a \leq x \leq b | f (x) |$ はバナッハ代数です(つまり、すべてのf , g に対して $‖$ $fg$ $‖$ $\leq$ $‖$ $f$ $‖$ $\cdot$ $‖$ $g$ $‖$ が成り立つ結合代数およびバナッハ空間です $)$ 。すべての多項式関数の集合は $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ の部分代数を形成します(つまり、関数の乗法に関して閉じている $C[$ $a$ $,$ $b$ $]$ のベクトル部分空間です)。ワイ $エル$ シュトラスの近似定理の内容は、この部分代数が $C$ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ において稠密であるということです。

ストーンは任意のコンパクトなハウスドルフ空間 $X$ から始め、上限ノルムによって誘導される位相を持つ、 $X$ 上の実数値連続関数の代数 $C(X, R)を考察する。彼は$ $、C($ $X$ $,$ $R$ $)$ の稠密な部分代数を見つけたいと考えている。部分代数が満たさなければならない重要な性質は、点を分離することであることが判明する。X上で定義された関数の集合 $Aは、$ $X$ 内の任意の異なる 2 つの点 $x$ と $yに対して、$ $p$ $($ $x$ $) \neq$ $p$ $($ $y$ $)$ となる $A$ $内$ の関数 $p$ が存在する場合に、点を分離すると言われる。ここで、次のように述べることができる。

ストーン・ワイエルシュトラスの定理（実数）— $X$ をコンパクトなハウスドルフ空間とし、 $Aを$ $C(X, R)$ の部分代数で、非零定数関数を含むとする。このとき、 $Aが$ $C(X, R)$ において稠密であるのは、A が点を分離する場合に限る。

$これは、ワイエルシュトラスの元の主張を暗示しています。なぜなら、[a, b]$ 上の多項式は、定数を含み点を分離する $C[a, b]$ の部分代数を形成するからです。

ローカルコンパクト版

ストーン・ワイエルシュトラスの定理の変形版は、 $X が$ 局所的にコンパクトである場合にも成り立ちます。C $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ $を、$ $X上の$ 無限遠でゼロになる実数値連続関数の空間とします。つまり、連続関数 $f$ $がC$ $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)$ に含まれるとは、任意の $ε$ $> 0$ に対して、 $|$ $f$ $|$ $<$ $ε$ となるようなコンパクト集合 $K$ $\subset$ $Xが$ $X$ $\$ $K$ 上に存在する場合です。ここでも、 $C$ $0$ $($ $X$ $,$ $R$ $)は$ 上限ノルムを持つバナッハ代数です。C 0 ( X , R ) の部分代数 $A$ $は$ $、$ $A$ $の$ $すべて$ の $要素$ $が$ $一$ 点で同時にゼロにならない場合に、どこにもゼロにならないと言います。つまり、 $X$ の任意の $xに対して、$ $f$ $($ $x$ $) \neq 0$ となるような $f が$ $A$ に存在します。この定理は次のように一般化されます。

ストーン・ワイエルシュトラスの定理（局所コンパクト空間）— $X を$ 局所コンパクトハウスドルフ空間とし、 $Aを$ $C 0 (X, R)$ の部分代数とする。このとき、 $Aが$ $C 0 (X, R)$ において稠密であるのは（一様収束の位相が与えられた場合）、点を分離し、どこにも消滅しない場合に限る。

$このバージョンは、 X$ がコンパクトな場合、 $C 0 (X, R) = C(X, R)$ となるため、明らかに前のバージョンを意味します。また、局所コンパクト性の仮定を弱める、より一般的な Stone–Weierstrass の定理のバージョンもあります。^{[ 5 ]}

アプリケーション

ストーン＝ワイエルシュトラスの定理は、ワイエルシュトラスの結果を超える以下の2つの命題を証明するために使用できる。

$f$ が集合 $[$ $a$ $,$ $b$ $] \times [$ $c$ $,$ $d$ $]$ 上で定義された連続実数値関数 $で$ あり、 $ε$ $> 0$ である場合、すべての $x$ ∈ $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ および $y$ ∈ $[$ $c$ $, d ]に対して$ $|$ $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $) -$ $p$ $($ $x$ $,$ $y$ $) | <$ $ε$ $と$ なるような 2 変数の多項式関数p $が$ 存在する。
$X$ と $Y$ が2 つのコンパクトなハウスドルフ空間であり、 $f : X \times Y \to R$ が連続関数である場合、任意の $ε > 0に対して、$ $n > 0$ と $X$ 上の連続関数 $f$ $1$ $, ...,$ $f$ $n$ $およびY$ 上の連続関数 $g$ $1$ $, ...,$ $g$ $n が$ 存在し $、‖$ $f$ $- Σ$ $f$ $i$ $g$ $i$ $‖$ $<$ $ε$ となります。

ストーン・ワイエルシュトラスの定理（複素数版）

もう少し一般的な定理は次の通りで、ここでは代数を考える。 $C(X,\mathbb {C} )$ コンパクト空間上の複素数値連続関数 $X$ これも一様収束の位相を持つ。これは、点ごとの複素共役によって与えられる *-演算を持つC*-代数である。

ストーン・ワイエルシュトラスの定理（複素数）— $X$ コンパクトなハウスドルフ空間とし、 $S$ 分離部分集合である $C(X,\mathbb {C} )$ 。次に、によって生成される複素単位的 *-代数 $S$ 密度が高い $C(X,\mathbb {C} )$ 。

によって生成される複素単位的*-代数 $S$ 要素から得られるすべての関数から構成される $S$ 定数関数 $1$ を導入し、それらを加算、乗算、共役、または複素スカラーとの乗算を行い、有限回繰り返すことによって。

この定理は実数版を意味する。なぜなら、複素数値関数のネットワークが与えられた関数を均一に近似する場合、 $f_{n}\to f$ すると、それらの関数の実部は、その関数の実部を均一に近似する。 $\operatorname {Re} f_{n}\to \operatorname {Re} f$ 実数部分集合の場合、 $S\subset C(X,\mathbb {R} )\subset C(X,\mathbb {C} ),$ 生成された複素単位代数（自己共役代数）の実部を取ると、生成された実単位代数と一致する。

現実の場合と同様に、この定理の類似物は局所コンパクトハウスドルフ空間についても成り立つ。

以下は、この複雑なバージョンの応用例です。

フーリエ級数：関数 $e n (x) = e 2 πinx 、 n \in Z$ の線形結合の集合は $C([0, 1]/{0, 1})$ で稠密であり、ここで区間 $[0, 1]$ の端点を同一視して円を得ます。このことから重要な結果として、 $e n$ $は [0, 1 ]$ 上の二乗可積分関数の空間 $L$ $2$ $([0, 1])$ の正規直交基底となります。

ストーン・ワイエルシュトラスの定理、四元数版

Holladay (1957)に従って、コンパクト空間 $X$ 上の四元数値連続関数の代数 $C(X, H)$ を、一様収束の位相で考えます。

四元数 $q$ が次の形式で記述されている場合 ${\textstyle q=a+ib+jc+kd}$

そのスカラー部分 $a$ は実数です ${\frac {q-iqi-jqj-kqk}{4}}$ 。

同じく

$-qi$ のスカラー部分は $b$ であり、これは実数である $。$ ${\frac {-qi-iq+jqk-kqj}{4}}$ 。
$-qj$ のスカラー部分は実数 $c$ です $。$ ${\frac {-qj-iqk-jq+kqi}{4}}$ 。
$-qk$ のスカラー部分は $d$ であり、これは実数である $。$ ${\frac {-qk+iqj-jqk-kq}{4}}$ 。

すると、次のように述べることができる。

ストーン・ワイエルシュトラスの定理（四元数）— $X を$ コンパクトなハウスドルフ空間とし、 $Aを$ $C(X, H)$ の部分代数で、非ゼロの定数関数を含むとする。このとき、 A が $C($ $X$ $,$ $H$ $)$ で稠密であるのは、 $Aが$ 点を分離する場合に限る。

ストーン・ワイエルシュトラスの定理、C*-代数版

コンパクトハウスドルフ空間上の複素数値連続関数の空間 $X$ つまり $C(X,\mathbb {C} )$ は単位元を持つ可換C*-環の典型的な例である。 ${\mathfrak {A}}$ 空間X は、純粋状態の空間と見なすことができる。 ${\mathfrak {A}}$ 弱*位相を持つ。上記のヒントに従って、未解決のままであるストーン・ワイエルシュトラスの定理の非可換拡張は次のようになる。

予想—単位元を持つC*-代数が ${\mathfrak {A}}$ C*-部分代数を持つ ${\mathfrak {B}}$ 純粋な状態を分離する ${\mathfrak {A}}$ 、それから ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$ 。

1960年、ジム・グリムは上記の予想のより弱いバージョンを証明した。

ストーン・ワイエルシュトラスの定理（C*-環）^{[ 6 ]} —単位元を持つC*-環が ${\mathfrak {A}}$ C*-部分代数を持つ ${\mathfrak {B}}$ これは、純粋状態空間（すなわち純粋状態の弱*閉包）を分離する。 ${\mathfrak {A}}$ 、それから ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {B}}$ 。

格子状バージョン

$X を$ コンパクトなハウスドルフ空間とする。ストーンによる定理の元の証明では、 $C($ $X$ $,$ $R$ $)$ における格子の概念が用いられた。C $($ $X$ $,$ $R$ $)$ の部分集合 $L$ は、任意の 2 つの要素 $f$ $,$ $g$ $\in$ $L$ に対して、関数 $max{$ $f$ $,$ $g$ $}、min{$ $f$ $,$ $g$ $}も$ $L$ に属する場合、格子と呼ばれる。ストーン・ワイエルシュトラスの定理の格子版は次のようになる。

ストーン・ワイエルシュトラスの定理（格子）— $X を$ 少なくとも 2 つの点を持つコンパクトなハウスドルフ空間とし、L $を$ $C(X, R)$ の格子で、 $X$ の任意の異なる 2 つの要素 $x$ と $y$ および任意の 2 つの実数 $a$ と $b$ に対して、 $f$ $($ $x$ $) =$ $a$ かつ $f$ $($ $y$ $) =$ $b$ となる要素 $f$ $\in$ $L$ が存在するとする。このとき、 $Lは$ $C($ $X$ $,$ $R$ $)$ において稠密である。

上記のStone–Weierstrassの定理は、格子特性が絶対値 $| f |を用いて定式化できること、そしてそれが$ $f$ の多項式で近似できることに気づけば、この定理から証明できる。定理の変形は、maxに関して閉じている $C($ $X$ $,$ $R$ $)の線形部分空間に適用される。$ ^[⁷^]

ストーン・ワイエルシュトラスの定理（最大閉）— $X$ をコンパクトなハウスドルフ空間とし、 $Bを$ $C(X, R)$ の関数族とすると、

$Bは$ 点を区切る。
$Bに$ は定数関数1が含まれています。
$f$ $\in$ $B$ ならば、すべての定数 $a$ $\in$ $Rに対して$ $af$ $\in$ $B が$ 成り立つ。
$f$ $、$ $g$ $\in$ $B$ ならば、 $f$ $+$ $g$ $、 max{$ $f$ $、$ $g$ $} \in$ $B$ 。

すると、 $Bは$ $C(X, R)$ において稠密になります。

より詳細な情報が入手可能です。

X を

少なくとも 2 つの点を持つコンパクトなハウスドルフ空間とし、L

を

C(X, R)

の格子とする。関数

φ \in C(X, R)が

L

の閉包に属するのは、

X

内の異なる点の任意のペアxとyおよび任意の

ε

> 0に対して、

|

f

(

x

) -

φ

(

x

)| <

ε

かつ

|

f

(

y

) -

φ

(

y

)| <

ε

となるような

f

\in

L

が存在する場合に限る。

ビショップの定理

ストーン・ワイエルシュトラスの定理のもう一つの一般化は、エレット・ビショップによるものである。ビショップの定理は次のとおりである。^{[ 8 ]}

ビショップの定理—コンパクトハウスドルフ空間 $X$ 上の連続複素数値関数の複素バナッハ代数 $C($ $X$ $,$ $C$ $)$ の閉じた部分代数を $A$ とする。上限ノルムを使用する。S $\subset$ $Xに対して、$ $A$ $S$ $= {$ $g|$ $S$ $: g$ $\in$ $A$ $}$ $と$ 書く。f ∈ $C$ $($ $X$ $,$ $C$ $)$ が次の性質を持つと仮定する。

F | S \in A S

は、 A

S

のすべての実関数が定数であるような、すべての極大集合

S \subset X

に対して成り立つ。

すると $f$ $\in$ $A$ となる。

グリックスバーグ（1962）は、クライン＝ミルマンの定理とハーン＝バナッハの定理を本質的に用いて、ビショップの定理の簡潔な証明を与えている。これはルイ・ド・ブランジュ（1959）の手法である。ルーディン（1973 、§5.7）も参照のこと。

ナッハビンの定理

ナッハビンの定理は、滑らかな多様体上の複素数値滑らかな関数の代数に対するストーン・ワイエルシュトラスの定理の類似物である。^{[ 9 ]}ナッハビンの定理は次のとおりである。^{[ 10 ]}

ナッハビンの定理—有限次元の滑らかな多様体 $M$ 上の滑らかな関数の代数 $C$ $\infty$ $($ $M$ $)$ の部分代数を $A$ とする。A $が$ $M$ の点を分離し、かつ $M$ の接ベクトルも分離すると仮定する。すなわち、 mにおける接空間の各点m ∈ Mおよび接ベクトルvに対して、d f ( x )( v ) ≠ 0となるf ∈ $A$ が存在する。このとき、 $Aは$ $C$ $\infty$ $($ $M$ $)$ において稠密である。

編集履歴

1885年には、英語版の論文「実変数の任意の関数に解析的表現を与える可能性について」も発表された。^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}数学者のヤミレット・キンタナによれば、ワイエルシュトラスは「任意の解析関数は冪級数で表現できると疑っていた」という。^{[ 15 ]}^{[ 14 ]}

注記

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JG・バーキル著『多項式による近似に関する講義』（PDF）。

歴史書

ヴァイエルシュトラスの歴史的著作（ドイツ語）は、ベルリン・ブランデンブルク科学アカデミーのデジタルオンラインアーカイブから無料で入手可能です。

K. ヴァイエルシュトラス (1885)。非常に優れた分析結果を基に、さまざまな機能が開発されます。ベルリンの教育学アカデミー、1885 年 (II)。
Erste Mittailung (パート 1) pp. 633–639、Zweite Mittailung (パート 2) pp. 789–805。

外部リンク

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ストーン＝ワイエルシュトラスの定理

ワイエルシュトラスの近似定理

近似度

アプリケーション

ストーン・ワイエルシュトラスの定理、実版

ローカルコンパクト版

アプリケーション

ストーン・ワイエルシュトラスの定理（複素数版）

ストーン・ワイエルシュトラスの定理、四元数版

ストーン・ワイエルシュトラスの定理、C*-代数版

格子状バージョン

ビショップの定理

ナッハビンの定理

編集履歴

関連項目

注記

参考文献

歴史書

外部リンク

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