直接多重撮影法

数値常微分方程式として知られる数学の分野において、直接多重シューティング法は境界値問題を解く数値法である。この方法では、解を求める区間をいくつかの小さな区間に分割し、それぞれの小さな区間で初期値問題を解き、追加のマッチング条件を課して区間全体の解を形成する。この方法は、単一シューティング法に比べて非線形性の分布と数値安定性が大幅に改善されている。

射撃法は、時刻t _aとt _{b が}分かっていて、 次のような境界値問題（BVP）を解くために使用できます。 $${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{a})=y_{a},\quad y(t_{b})=y_{b},}$$$${\displaystyle y(t),\quad t\in (t_{a},t_{b}).}$$

シングルシューティング法は次のように進行します。y ( t ; t ₀ , y ₀ ) を初期値問題 (IVP) の解とします。 関数F ( p ) をy ( t _b ; p ) と指定された境界値y _bの差として定義します: F ( p ) = y ( t _b ; p ) − y _b 。すると、境界値問題のすべての解 ( y _a、y _{b ) について、} y _a = y ₀となり、y _{b は}Fの根に対応します。この根は、特定の方法依存の前提条件が満たされていれば、任意の根探索法で解くことができます。これには、 y _aとy _bの初期推定値が必要になることがよくあります。通常、解析的な根探索は不可能であり、このタスクには ニュートン法などの反復法が使用されます。$${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=p}$$

境界値問題の数値解法にシングルシューティングを適用すると、いくつかの欠点が生じます。

• 与えられた初期値y ₀に対して、IVPの解は明らかに区間[ t _a、t _b ]上に存在しなければならないので、根を求める関数Fを評価することができます。

非常に非線形または不安定な ODE の場合、初期推定値y ₀は、実際の未知の解y _aに非常に近い必要があります。真の解からわずかに外れた初期値を選択すると、特異点が発生したり、ODE ソルバー メソッドが機能しなくなる可能性があります。ただし、反復根探索法では、このような解を選択することは避けられません。

• 有限精度の数値では、全時間間隔で ODE を解くことができる初期値を見つけることがまったく不可能になる可能性があります。
• ODE の非線形性は事実上Fの非線形性となり、非線形システムを解くことができる根探索法が必要になります。このような方法は、非線形性が強くなるにつれて収束が遅くなるのが一般的です。境界値問題ソルバーのパフォーマンスは、この影響を受けます。
• 安定で条件の整った常微分方程式であっても、不安定で条件の整っていない境界条件方程式になることがあります。初期値推定値y _{0をわずかに変更すると、常微分方程式の解}y ( t _b ; t _a , y ₀ )に非常に大きな変化が生じ、その結果、根を求める関数Fの値も変化します。非解析的な根探索法では、このような動作に対処できないことがほとんどです。

直接多重シューティング法は、追加のグリッド ポイントを導入することによって 区間 [ t _a、t _b ] を分割します。この方法は、 0 ≤ k ≤ N − 1のすべてのグリッド ポイントt _kにおけるy の値を何らかの方法で推測することから始まります。これらの推測を​​ y _kで表します。y ( t ; t _k、y _k ) がk番目のグリッド ポイントから発せられる解、つまり初期値問題の解を 表すものとします。 値y がグリッド ポイントで一致する 場合、これらすべての解をつなぎ合わせて連続した軌道を形成できます。したがって、境界値問題の解は、次のN方程式系の解に対応します。 中央のN −2 方程式は一致条件であり、最初と最後の方程式は境界値問題の条件y ( t _a ) = y _aおよびy ( t _b ) = y _bです。多重シューティング法は、この方程式系を解くことによって境界値問題を解決します。通常、後者のタスクには ニュートン法の修正法が使用されます。$${\displaystyle t_{a}=t_{0}、<t_{1}、<\cdots <t_{N}=t_{b}.}$$$${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{k})=y_{k}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}y(t_{1};t_{0},y_{0})&=y_{1}\\&\;\,\vdots \\y(t_{N-1};t_{N-2},y_{N-2})&=y_{N-1}\\y(t_{N};t_{N-1},y_{N-1})&=y_{b}.\end{aligned}}}$$

多重射撃法は、初期値問題の並列ソルバーを導出するために採用されてきた。^[1] 例えば、パラリアル並列時間積分法は、ヤコビ行列の特別な近似を用いた多重射撃アルゴリズムとして導出することができる。^[2]

• ステア、ジョセフ。 Bulirsch、Roland (2002)、数値解析入門(第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95452-3セクション7.3.5以降を参照してください。
• Bock, Hans Georg; Plitt, Karl J. (1984)、「最適制御問題の直接解法のための多重シューティングアルゴリズム」、第 9 回 IFAC 世界会議議事録、第 9 回 IFAC 世界会議: 制御科学と技術の架け橋、ハンガリー、ブダペスト、1984 年 7 月 2 ～ 6 日、第 17 巻、ブダペスト、pp. 1603 ～ 1608、doi : 10.1016/S1474-6670(17)61205-9{{citation}}: CS1 メンテナンス: 場所が見つかりません 発行者 (リンク)
• モリソン、デビッド D.、ライリー、ジェームズ D.、ザンカナロ、ジョン F. (1962 年 12 月)、「2 点境界値問題に対する多重シューティング法」(PDF)、Commun. ACM、5 (12): 613–614、doi :10.1145/355580.369128、S2CID  8774159