三角測量（幾何学）

幾何学において、三角形分割とは平面図形を三角形に分割することであり、さらに言えば、より高次元の幾何学的図形を単体に分割することである。3次元立体を三角形分割する場合、それは密集した四面体に分割されることになる。

ほとんどの場合、三角形分割における三角形は、辺同士および頂点同士で接する必要がある。

分割対象となる幾何学的オブジェクトの種類と、分割方法の決定方法に応じて、さまざまな種類の三角形分割が定義される。

• 三角測量${\displaystyle T}$の$\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$は$\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$の中へ${\displaystyle d}$次元単体であって、 の任意の 2 つの単体が${\displaystyle T}$共通の面（任意の低次元の単体）で交差するか、まったく交差しないか、また、任意の有界集合は$\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$有限個の単体とのみ交差する${\displaystyle T}$つまり、それは空間全体を覆う局所的に有限な単体複体である。
• 点集合の三角形分割、すなわち離散的な点の集合の三角形分割$\displaystyle \mathcal {P}}\subset \mathbb {R} ^{d}}$は、点の凸包を単体に分割したもので、任意の2つの単体は任意の次元の共通面で交差するか、全く交差しないかのいずれかであり、単体の頂点の集合は に含まれる。${\displaystyle {\mathcal {P}}}$[ ^{1 ]}よく使われ研究されている点集合の三角形分割には、ドロネー三角形分割（一般位置にある点の場合、入力点を含まない開球によって囲まれた単体の集合）と^最小重み三角形分割（辺の長さの合計を最小化する点集合の三角形分割）がある。
• 地図作成において、不規則な三角形網とは、2次元の点群と各点の標高を三角形分割した点群のことである。各点を平面からその標高まで持ち上げると、三角形分割を構成する三角形が3次元の表面となり、3次元の地形を近似的に表現することができる。
• 多角形の三角形分割とは、与えられた多角形を辺同士が接する三角形に分割することであり、三角形の頂点の集合が多角形の頂点の集合と一致するという性質を持つ。 ^{[ 2 ]}多角形の三角形分割は線形時間で見つけることができ、美術館問題の単純な近似解法を含むいくつかの重要な幾何学的アルゴリズムの基礎を形成する。制約付きデローネ三角形分割は、点集合から多角形、あるいはより一般的には平面直線グラフへのデローネ三角形分割の適応である。
• 表面のユークリッド三角形分割${\displaystyle \Sigma }$コンパクト空間の部分集合の集合である$\displaystyle T_{\alpha }}$の${\displaystyle \Sigma }$非退化三角形と同相$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$経由${\displaystyle f_{\alpha }}$それらが表面全体を覆うように、任意の2つの部分集合の交差は空集合、辺、または頂点のいずれかであり、交差が交差である場合、$\displaystyle T_{\alpha }\cap T_{\beta }}$ 空でないならば $${\displaystyle f_{\alpha }f_{\beta }^{-1}}$$これは、その交点における平面の等長変換である。^{[ 3 ]}
• 有限要素法では、計算の基礎となるメッシュ（この場合は三角形メッシュ）として三角形分割がよく用いられます。この場合、三角形はシミュレーション対象領域の細分化を形成する必要がありますが、頂点を入力点に限定するのではなく、追加のシュタイナー点を頂点として追加することができます。有限要素メッシュとして適するためには、三角形分割は有限要素シミュレーションの詳細に応じて適切な形状の三角形を持つ必要があります（メッシュ品質を参照）。例えば、一部の手法では、すべての三角形が直角または鋭角で、鈍角でないメッシュを形成することが求められます。チェウの第2アルゴリズムやルパートのアルゴリズムなどのドロネー細分化アルゴリズムを含む、多くのメッシュ生成手法が知られています。
• より一般的な位相空間では、空間の三角形分割は一般的に、その空間と同相な単体複体を指す。 ^{[ 4 ]}

三角形分割の概念は、三角形に関連する形状への分割にもある程度一般化できる。具体的には、点群の擬似三角形分割とは、点の凸包を擬似三角形（三角形と同様に、ちょうど3つの凸頂点を持つ多角形）に分割することである。点群の三角形分割と同様に、擬似三角形分割の頂点は、与えられた入力点に位置する必要がある。

• ワイススタイン、エリック・W. 「三角測量」 . MathWorld .