クープマン近似

クーパーマン近似は、一定の空間複雑度を持つ連続プロセスで分数次積分器を近似する方法です。分数積分を計算するための最も正確で正確な方法では、すべての過去の履歴の記録が必要であり、したがって線形空間複雑度ソリューション O( n ) が必要になります。ここで、nは完全な履歴に対して測定されたサンプルの数です。

フラクタ (フラクショナル コンデンサ) は、制御システムで役立つアナログ コンポーネントです。デジタル シミュレーションでコンポーネントの動作をモデル化したり、デジタル コントローラでフラクタを置き換えたりするには、線形ソリューションは一般的には受け入れられません。ただし、空間の複雑さを軽減するには、何らかの方法で情報を失う必要があります。

クープマン近似は、単純な畳み込みを使用して分数積分を計算し、古いデータを畳み込みに戻して再利用する、堅牢でシンプルな方法です。畳み込みにより、分数計算で説明されている重み付けテーブルが設定されます。重み付けテーブルは、テーブルのサイズ、システムのサンプリング レート、および積分の次数に基づいて変化します。計算された重み付けテーブルは、静的なままです。

データ テーブルはすべてゼロに初期化され、これは以前のすべての時間でアクティビティがなかったことを表します。新しいデータはリング バッファー方式でデータ バッファーに追加され、最新のポイントが最も古いデータ ポイントに上書きされます。畳み込みは、重みテーブルとデータ テーブルの対応する要素を乗算し、結果の積を合計することで解決されます。説明したように、新しいデータで上書きすることで古いデータが失われると、システムに吸収されていた障害が突然除去されるため、連続システムでエコーが発生します。

この問題を解決するのが Coopmans 近似の核心です。古いデータ ポイントにそれに対応する重み項を掛けたものが、最新のデータ ポイントに直接追加されます。これにより、システム履歴の滑らかな (ただし、べき乗法ではなく指数法) 減衰が可能になります。この近似には、ソリューションの空間複雑性を維持しながら、エコーを除去するという望ましい効果があります。

この近似のマイナス効果は、システム周波数が DC に近づくと、ソリューションの位相特性が失われることです。ただし、すべてのデジタル システムはメモリが有限であるため、メモリ要件が無限に近づくと機能しなくなるため、すべてのデジタル システムは必ずこの欠陥に悩まされます。