線形補間

数学において、線形補間は、線形多項式を使用して曲線を近似し、既知のデータ ポイントの離散セットの範囲内で新しいデータ ポイントを構築する 方法です。

2 つの既知の点が座標 および で与えられる場合、線形補間はこれらの点を結ぶ直線です。区間 内の値の場合、直線に沿った 値は、右の図から幾何学的に導き出される傾斜の方程式から与えられます。これは、 を伴う多項式補間 の特殊なケースです。${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{0},x_{1})}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}} 、}$$${\displaystyle n=1}$

この方程式を（ における未知の値）について解くと、 が得られ、 これは区間 における線形補間の公式です。この区間外では、公式は線形外挿と同一です。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{0}+(x-x_{0}){\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{0}(x_{1}-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {y_{1}(x-x_{0})-y_{0}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{1}x-y_{1}x_{0}-y_{0}x+y_{0}x_{0}+y_{0}x_{1}-y_{0}x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\&={\frac {y_{0}(x_{1}-x)+y_{1}(x-x_{0})}{x_{1}-x_{0}}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle (x_{0},x_{1})}$

この式は加重平均として理解することもできます。重みは、端点から未知の点までの距離に反比例します。つまり、近い点の方が遠い点よりも影響力が強くなります。したがって、重みはと となり、これらは未知の点と各端点間の正規化された距離です。これらの合計は 1 になるため、 上記の線形補間の式が得られます。 ${\textstyle 1-(x-x_{0})/(x_{1}-x_{0})}$${\textstyle 1-(x_{1}-x)/(x_{1}-x_{0})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left(1-{\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}\right)\\&=y_{0}\left(1-{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\\&=y_{0}\left({\frac {x_{1}-x}{x_{1}-x_{0}}}\right)+y_{1}\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\end{aligned}}}$$

データ ポイントのセット( x ₀、y ₀ )、( x ₁、y ₁ )、...、( x _n、y _n )に対する線形補間は、各データ ポイントのペア間の線形セグメント補間の連結から生じる区分線形として定義されます。この結果、不連続導関数 (一般に) を持つ連続曲線が生成され、したがって微分可能クラスになります。 ${\displaystyle C^{0}}$

線形補間は、ある関数 fの値を、他の点におけるその関数の 2 つの既知の値を使用して近似するためによく使用されます。この近似の誤差は次のように定義されます 。 ここで、p は上で定義した線形補間多項式を表します。 $${\displaystyle R_{T}=f(x)-p(x),}$$$${\displaystyle p(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).}$$

ロルの定理を用いると、 fが連続的な2次導関数を持つ場合、誤差は次のように制限されること が証明できる。$${\displaystyle |R_{T}|\leq {\frac {(x_{1}-x_{0})^{2}}{8}}\max _{x_{0}\leq x\leq x_{1}}\left|f''(x)\right|.}$$

つまり、与えられた関数上の 2 点間の近似は、近似される関数の 2 次導関数によって悪化します。これは直感的にも正しいです。関数が「曲線的」になるほど、単純な線形補間による近似は悪化します。

線形補間は、表の空白を埋めるために古代から使用されてきました。ある国の 1970 年、1980 年、1990 年、2000 年の人口を記載した表があり、1994 年の人口を推定したいとします。線形補間は、これを行う簡単な方法です。線形補間は、セレウコス朝(紀元前 3 世紀後半) やギリシャの天文学者で数学者のヒッパルコス(紀元前 2 世紀) によって使用されたと考えられています。線形補間の説明は、紀元前 200 年から紀元後 100 年にかけて書かれた古代中国の数学書『九章算術』^[1]や、プトレマイオスの『アルマゲスト』 (紀元後 2 世紀)に見ることができます。

2 つの値の間の線形補間の基本操作は、コンピュータ グラフィックスでよく使用されます。この分野の専門用語では、これをlerp ( l inear in terp olation から) と呼ぶこともあります。この用語は、操作を表す動詞または名詞として使用できます。例: 「 Bresenham のアルゴリズムは、直線の 2 つの端点の間を増分的に lerps します。」

最新のコンピュータ グラフィックス プロセッサのハードウェアには、Lerp 操作が組み込まれています。Lerp 操作は、より複雑な操作の構成要素としてよく使用されます。たとえば、双線形補間は3 つの Lerp で実行できます。この操作は低コストであるため、テーブル エントリをあまり多くすることなく、スムーズな関数をすばやく検索できる正確なルックアップ テーブルを実装するのに適した方法でもあります。

C ⁰関数が不十分な場合、たとえば、データ ポイントを生成したプロセスがC ⁰よりも滑らかであることがわかっている場合は、線形補間をスプライン補間に置き換えたり、場合によっては多項式補間に置き換えたりするのが一般的です。

ここで説明する線形補間は、1 つの空間次元のデータ ポイントに対するものです。2 つの空間次元の場合、線形補間の拡張は双線形補間と呼ばれ、3 次元の場合は三線形補間 と呼ばれます。ただし、これらの補間はもはや空間座標の線形関数ではなく、線形関数の積であることに注意してください。これは、下の図の双線形補間の明らかに非線形な例によって示されています。線形補間のその他の拡張は、ベジェ面を含む三角形メッシュや四面体メッシュなどの他の種類のメッシュに適用できます。これらは、実際にはより高次元の区分線形関数として定義できます(下の 2 番目の図を参照)。

多くのライブラリやシェーディング言語には、「lerp」ヘルパー関数（GLSLではmixとして知られています）があり、閉じた単位区間[0, 1]内の(v0, v1)パラメータの2つの入力間の補間を返します。lerp関数間のシグネチャは、とtの両方の形式でさまざまに実装されています。 (v0, v1, t)(t, v0, v1)

// 不正確な方法。浮動小数点演算エラーのため、t = 1 の場合に v = v1 になることが保証されません。
// このメソッドは単調です。この形式は、ハードウェアにネイティブの融合乗算加算命令がある場合に使用できます。
フロートlerp (フロートv0 ,フロートv1 ,フロートt ) {       
  v0 + t * ( v1 - v0 )を返します。       
}

// t = 1 の場合に v = v1 を保証する正確なメソッド。このメソッドは、v0 * v1 < 0 の場合にのみ単調です。
// 同じ値の間で Lerping を実行しても同じ値が生成されない可能性があります
フロートlerp (フロートv0 ,フロートv1 ,フロートt ) {       
  ( 1 - t ) * v0 + t * v1を返します。         
}

この lerp 関数は、アルファ ブレンディング(パラメーター " t " は "アルファ値")によく使用され、式を拡張して、ベクトルの複数のコンポーネント (空間のx、y、z軸やr、g、b色コンポーネントなど) を並列にブレンドすることもできます。

• 双線形補間
• スプライン補間
• 多項式補間
• カステルジョーのアルゴリズム
• 一次ホールド
• ベジェ曲線

• 結び目を切る直線の方程式
• 数値とポインタの適切な補間
• 「線形補間」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「有限増分公式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Lerp スムージングが壊れている - 減衰とデルタ時間の旅