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数学は、経験科学と数学自体のニーズに合わせて開発され、証明された方法、理論、定理を発見し、体系化する研究分野です。数学には多くの分野があり、その中には数論(数の研究)、代数(公式と関連する構造の研究)、幾何学(図形とそれを含む空間の研究)、解析学(連続的な変化の研究)、集合論(現在、すべての数学の基礎として使用されています) などがあります。
数学は、自然からの抽象化、または現代数学では公理と呼ばれる特定の特性を持つと規定されている純粋に抽象的な実体からなる抽象オブジェクトの記述と操作を伴います。数学は純粋理性を使用してオブジェクトの特性を証明します。証明は、すでに確立された結果に演繹規則を連続して適用することで構成されます。これらの結果には、以前に証明された定理、公理、および自然からの抽象化の場合は、検討中の理論の真の出発点と見なされるいくつかの基本的な特性が含まれます。[1]
数学は自然科学、工学、医学、金融、コンピュータサイエンス、社会科学において不可欠です。数学は現象をモデル化するために広く使用されていますが、数学の基本的な真実は科学的実験とは無関係です。統計学やゲーム理論などの数学の一部の分野は、その応用と密接に関連して開発されており、応用数学として分類されることがよくあります。他の分野は、応用とは独立して開発されているため（そのため純粋数学と呼ばれます）、後に実用的な応用が見つかることがよくあります。[2] [3]
歴史的に、証明の概念とそれに関連する数学的厳密さは、ギリシャ数学、最も有名なのはユークリッドの『原論』で初めて登場しました。[4]数学は、その始まり以来、主に幾何学と算術（自然数と分数の取り扱い）に分けられていましたが、16世紀と17世紀に代数学[a]と微積分学が新しい分野として導入されました。それ以来、数学の革新と科学的発見の相互作用により、両方の発展が相関して増加しました。[5] 19世紀末、数学の基礎的危機により公理的方法が体系化され、[6]数学の領域の数とその応用分野が劇的に増加しました。現代の数学主題分類では、60を超える第一レベルの数学の領域が挙げられています。
数学の分野
ルネサンス 以前、数学は数字の操作に関する算術と図形の研究に関する幾何学の2つの主な領域に分かれていました。 [7]数秘術や占星術などの疑似科学は、当時は数学と明確に区別されていませんでした。[8]
ルネッサンス期には、さらに 2 つの分野が出現した。数学的記法は代数学につながり、大まかに言えば、数式の研究と操作からなる。微積分学は、微分積分と積分という 2 つの分野から成り、連続関数の研究であり、変数で表されるさまざまな量間の通常は非線形の関係をモデル化する。算術、幾何学、代数、微積分[9]の 4 つの主要分野へのこの分割は、19 世紀末まで続いた。天体力学や固体力学などの分野は当時数学者によって研究されていたが、現在では物理学に属するものと見なされている。[10]組合せ論の主題は、記録された歴史の大半にわたって研究されてきたが、17 世紀まで数学の独立した分野にならなかった。[11]
19世紀末、数学の基礎的危機と、その結果生じた公理的方法の体系化により、数学の新しい分野が爆発的に増加した。[12] [6] 2020年の数学科目分類には、63以上の第一レベル分野が含まれている。[13]これらの分野の一部は、数論（高等算術の現代の名称）や幾何学に関して当てはまるように、古い区分に対応している。他のいくつかの第一レベル分野は、名前に「幾何学」が含まれているか、そうでなければ一般的に幾何学の一部と見なされている。代数と微積分は第一レベル分野としては登場しないが、それぞれいくつかの第一レベル分野に分割されている。他の第一レベル分野は、数理論理学や基礎など、20世紀に登場したか、以前は数学と見なされていなかった。[14]
数論
数論は数、すなわち自然数 の操作から始まり、後に整数と有理数に拡張されました。数論はかつて算術と呼ばれていましたが、今日ではこの用語は主に数値計算に使用されています。[15]数論の歴史は古代バビロニア、おそらく中国にまで遡ります。初期の著名な数論学者は古代ギリシャのユークリッドとアレクサンドリアのディオファントスです。 [16]抽象的な形での数論の現代研究は、ピエール・ド・フェルマーとレオンハルト・オイラーに大きく起因しています。この分野はアドリアン＝マリー・ルジャンドルとカール・フリードリヒ・ガウスの貢献により完全に結実しました。[17]
簡単に述べられる数の問題の多くには、しばしば数学のあらゆる分野からの洗練された方法を必要とする解決法がある。その顕著な例がフェルマーの最終定理である。この予想は1637年にピエール・ド・フェルマーによって述べられたが、代数幾何学のスキーム理論、圏論、ホモロジー代数などのツールを使用したアンドリュー・ワイルズによって1994年にようやく証明された。[18]もう1つの例はゴールドバッハの予想で、これは2より大きいすべての偶数は2つの素数の和であると主張するものである。1742年にクリスチャン・ゴールドバッハによって述べられたが、かなりの努力にもかかわらず未だに証明されていない。[19]
数論には、解析的数論、代数的数論、数幾何学（方法指向）、ディオファントス方程式、超越理論（問題指向）など、いくつかのサブ領域が含まれます。 [14]
幾何学
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幾何学は数学の最も古い分野の一つです。幾何学は線、角度、円などの形状に関する経験的な方法から始まり、主に測量や建築のニーズに合わせて開発されましたが、その後、他の多くの分野に発展しました。[20]
根本的な革新は、古代ギリシャ人が証明の概念を導入したことである。これは、すべての主張が証明されなければならないことを要求する。たとえば、2つの長さが等しいことを測定によって検証するだけでは不十分である。それらの等しいことは、以前に受け入れられた結果（定理）といくつかの基本的なステートメントからの推論によって証明されなければならない。基本的なステートメントは、自明であるため（公理）、または研究対象の定義の一部であるため（公理）、証明の対象ではない。すべての数学の基礎となるこの原理は、幾何学のために最初に詳述され、紀元前300年頃にユークリッドによって著書『原論』で体系化された。[21] [22]
ユークリッド幾何学は、ユークリッド平面（平面幾何学）と3次元ユークリッド空間における線、平面、円から構成される図形とその配置の研究である。[b] [20]
ユークリッド幾何学は、17世紀にルネ・デカルトが現在では直交座標と呼ばれるものを導入するまで、方法や範囲を変えることなく発展してきました。これはパラダイムの大きな変化でした。実数を線分の長さとして定義する代わりに（数直線を参照）、点をその座標、つまり数値を使用して表すことができるようになったのです。こうして代数（そして後には微積分）を使って幾何学の問題を解くことができるようになりました。幾何学は、純粋に幾何学的な方法を使用する総合幾何学と、座標を体系的に使用する解析幾何学という2つの新しい分野に分割されました。[23]
解析幾何学では、円や直線とは関係のない曲線の研究が可能です。このような曲線は関数のグラフとして定義することができ、その研究は微分幾何学につながりました。また、それらは暗黙の方程式、多くの場合多項式方程式として定義することもできます（これは代数幾何学を生み出しました）。解析幾何学では、3次元を超えるユークリッド空間を考慮することもできます。[20]
19世紀、数学者は平行線公準に従わない非ユークリッド幾何学を発見した。この発見は、その公準の真偽を疑問視することで、ラッセルのパラドックスに加わり、数学の根本的な危機を明らかにしたとみなされてきた。危機のこの側面は、公理的方法を体系化し、選択された公理の真偽は数学的な問題ではないとすることで解決された。[24] [6]逆に、公理的方法により、公理を変更したり、空間の特定の変換で変化しない特性を考慮したりすることで得られるさまざまな幾何学の研究が可能になる。[25]
今日の幾何学のサブ領域には以下が含まれる: [14]
- 16 世紀にジラール・デザルグによって導入された射影幾何学は、平行線が交差する無限遠点を追加することでユークリッド幾何学を拡張しました。これにより、交差線と平行線の扱いが統一され、古典幾何学の多くの側面が簡素化されました。
- アフィン幾何学、長さの概念から独立し、平行性に関する特性を研究する学問。
- 微分幾何学は、微分可能な関数を使用して定義される曲線、曲面、およびそれらの一般化を研究する学問です。
- 多様体理論、必ずしもより大きな空間に埋め込まれていない形状の研究。
- リーマン幾何学、曲がった空間における距離特性の研究。
- 代数幾何学は、多項式を使用して定義される曲線、曲面、およびそれらの一般化の研究です。
- 位相幾何学は、連続的な変形の下で維持される特性を研究する学問です。
- 離散幾何学、幾何学における有限構成の研究。
- 凸幾何学は、凸集合の研究であり、最適化への応用からその重要性が高まっています。
- 複素幾何学、実数を複素数に置き換えることによって得られる幾何学。
代数
代数学は方程式や公式を扱う技術である。ディオファントス（3世紀）とアル＝フワーリズミー（9世紀）は代数学の2大先駆者であった。[27] [28]ディオファントスは未知の自然数を含むいくつかの方程式を、解を得るまで新たな関係を導き出すことで解いた。[29]アル＝フワーリズミーは方程式を変換する体系的な方法、例えば方程式の一方の辺からもう一方の辺に項を移動する方法などを導入した。[30]代数学という用語は、彼が主要論文のタイトルでこれらの方法の1つに付けた「壊れた部分の再結合」を意味するアラビア語のアル＝ジャブルに由来している。[31] [32]
代数学が独立した分野となったのは、フランソワ・ヴィエト（1540-1603）が未知数や不特定の数を表すために変数の使用を導入した時である。[33]変数により、数学者は数式を使って表された数に対して実行する必要がある操作を記述することができる。[34]
19 世紀まで、代数学は主に線形方程式(現在は線型代数) と、未知数が1 つの多項式方程式の研究で構成されており、これらは代数方程式(あいまいではあるが、現在でも使用されている用語) と呼ばれていました。19 世紀には、数学者は数値以外のもの (行列、モジュラー整数、幾何学的変換など) を表すために変数を使用し始めました。これらの変数では算術演算の一般化がしばしば有効です。[35]代数構造の概念はこれに対応しており、要素が指定されていない集合、集合の要素に作用する演算、およびこれらの演算が従わなければならない規則で構成されます。このように、代数学の範囲は代数構造の研究を含むように拡大しました。この代数学の対象は、エミー・ネーターの影響と作品によって確立された現代代数学または抽象代数と呼ばれました。[36]
いくつかの種類の代数構造は、数学の多くの分野で有用で、しばしば基本的な性質を持っています。それらの研究は代数学の独立した部分となり、次のようなものが含まれます。[14]
- 群論
- 場の理論
- ベクトル空間、その研究は本質的には線型代数と同じである
- リング理論
- 可換環の研究である可換代数は、多項式の研究を含み、代数幾何学の基礎部分です。
- ホモロジー代数
- リー代数とリー群論
- ブール代数は、コンピュータの論理構造の研究に広く使用されています。
代数的構造の型を数学的対象として研究することが、普遍代数学と圏論の目的である。[37]圏論はあらゆる数学的構造（代数的構造に限らない）に適用される。その起源は、位相空間などの非代数的対象の代数的研究を可能にするためにホモロジー代数とともに導入された。この特定の応用分野は代数的位相幾何学と呼ばれる。[38]
微積分と解析
微積分学は、以前は微小微積分学と呼ばれ、17世紀の数学者ニュートンとライプニッツによって独立して同時に導入されました。[39]基本的には、相互に依存する変数の関係を研究する学問です。微積分学は、18世紀にオイラーによって関数の概念の導入やその他の多くの成果とともに拡張されました。[40]現在、「微積分学」は主にこの理論の初歩的な部分を指し、「解析学」は高度な部分によく使用されます。[41]
解析学はさらに、変数が実数を表す実解析と、変数が複素数を表す複素解析に分かれます。解析学には、数学の他の分野と共通する多くのサブ領域が含まれており、その中には次のようなものがあります。[14]
- 多変数微積分
- 関数解析、変数が変化する機能を表す
- 積分、測度論、ポテンシャル理論はすべて連続体上の確率論と深く関連している
- 常微分方程式
- 偏微分方程式
- 数値解析は、多くのアプリケーションで発生する常微分方程式と偏微分方程式の解をコンピュータ上で計算することを主目的とする。
離散数学
離散数学は、広義では、個々の可算な数学的対象を研究する学問である。例としては、すべての整数の集合が挙げられる。[42]ここでの研究対象は離散的であるため、微積分や数学的解析の方法は直接適用されない。[c] アルゴリズム、特にその実装と計算の複雑さは、離散数学において大きな役割を果たす。[43]
4色定理と最適球面パッキングは、 20世紀後半に解決された離散数学の2つの主要な問題でした。[44]今日まで未解決のままであるP対NP問題も、その解決が計算上困難な多くの問題に影響を与える可能性があるため、離散数学にとって重要です。 [45]
離散数学には以下のものが含まれる。[14]
- 組合せ論は、与えられた制約を満たす数学的対象を列挙する技術です。もともと、これらの対象は与えられた集合の要素または部分集合でした。これはさまざまな対象に拡張され、組合せ論と離散数学の他の部分との間に強いつながりを確立しています。たとえば、離散幾何学には、幾何学的形状の構成を数えることが含まれます。
- グラフ理論とハイパーグラフ
- 誤り訂正符号や暗号の一部を含む符号理論
- マトロイド理論
- 離散幾何学
- 離散確率分布
- ゲーム理論（連続ゲームも研究されているが、チェスやポーカーなどの最も一般的なゲームは離散ゲームである）
- 離散最適化（組合せ最適化、整数計画法、制約計画法を含む）
数理論理学と集合論
数理論理学と集合論という2つの科目は、19世紀末から数学に属してきました。[46] [47]この時期以前は、集合は数学的な対象とはみなされておらず、論理学は数学的証明に使用されていたものの哲学に属し、数学者によって特に研究されていませんでした。[48]
カントールの無限集合の研究以前は、数学者は実際に無限の集合を考えることに消極的で、無限は終わりのない列挙の結果であると考えていた。カントールの研究は、実際に無限の集合を考えただけでなく[49] 、カントールの対角線論法によれば、これが無限のさまざまなサイズを意味することを示したことで、多くの数学者を怒らせた。これがカントールの集合論をめぐる論争につながった。[50]同じ時期に、数学のさまざまな分野で、基本的な数学的対象に対する以前の直感的な定義は数学の厳密さを保証するのに不十分であると結論付けられた。[51]
これは数学の根底をなす危機となった。[52]主流の数学では、公理的手法を形式化された集合論の中に体系化することで、最終的にこの危機は解決された。大まかに言えば、各数学的対象は、すべての類似した対象の集合と、これらの対象が持つべき特性によって定義される。[12]たとえば、ペアノ算術では、自然数は「ゼロは数である」、「各数には一意の後続数がある」、「ゼロ以外の各数には一意の前続数がある」、およびいくつかの推論規則によって定義される。 [53]この現実からの数学的抽象化は、 1910年頃にデイヴィッド・ヒルベルトによって創設された形式主義の現代哲学に体現されている。[ 54 ]
このように定義されたオブジェクトの「性質」は哲学的な問題であり、数学者は哲学者に任せている。ただし、多くの数学者がこの性質について意見を持っており、その意見（「直観」と呼ばれることもある）を研究や証明の指針としている。このアプローチにより、「論理」（つまり、許容される演繹規則の集合）、定理、証明などを数学的対象として考え、それらに関する定理を証明することができる。たとえば、ゲーデルの不完全性定理は、大まかに言えば、自然数を含む一貫した 形式体系には、真である（より強力な体系では証明可能である）が、体系内では証明できない定理が存在すると主張している。[55]数学の基礎に対するこのアプローチは、20世紀前半に、排中律を明示的に欠く直観主義論理を推進したブラウワーに率いられた数学者によって挑戦された。[56] [57]
これらの問題と議論は数理論理学の幅広い拡大につながり、モデル理論（他の理論の中でいくつかの論理理論をモデル化する）、証明理論、型理論、計算可能性理論、計算複雑性理論などのサブ領域が生まれました。[14]数理論理学のこれらの側面はコンピュータの台頭以前に導入されましたが、コンパイラ設計、形式検証、プログラム分析、証明支援システム、およびコンピュータサイエンスの他の側面での使用は、これらの論理理論の拡大に貢献しました。[58]
統計学およびその他の意思決定科学
統計学の分野は、数学的手法、特に確率論に基づく手順を使用して、データサンプルの収集と処理に用いられる数学的応用分野です。統計学者は、ランダムサンプリングまたはランダム化実験によってデータを生成します。[60]
統計理論は、パラメータ推定、仮説検定、最良の選択などの手順の使用など、統計的行為のリスク（期待損失）を最小化するなどの意思決定問題を研究します。数理統計学のこれらの伝統的な分野では、統計的意思決定問題は、特定の制約の下で期待損失やコストなどの目的関数を最小化することによって定式化されます。たとえば、調査の設計には、特定の信頼レベルで母平均を推定するコストを最小化することがよく含まれます。[61]統計の数理理論は最適化を使用するため、オペレーションズ・リサーチ、制御理論、数理経済学などの他の意思決定科学と重複しています。[62]
計算数学
計算数学は、典型的には人間の数値計算能力では大きすぎる数学的問題の研究である。 [63] [64] 数値解析は、関数解析と近似理論を用いた解析の問題に対する手法を研究する。数値解析には、丸め誤差に特に焦点を当てた近似と離散化の研究が広く含まれる。[65]数値解析、さらに広義には科学計算では、数理科学の非解析的トピック、特にアルゴリズム行列グラフ理論も研究される。計算数学の他の分野には、コンピュータ代数や記号計算などがある。
歴史
語源
数学という単語は、古代ギリシャ語の「学んだもの、知識、数学」を意味するmáthēma ( μάθημα )と、その派生表現である「数学科学」を意味するmatēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη )に由来する。数学は、フランス語とラテン語を通じて、中英語後期に英語に入り込んだ。 [66]
同様に、ピタゴラス学派の2つの主要な学派の1つは、マテマティコイ（μαθηματικοί）として知られていました。これは当時、現代の意味での「数学者」ではなく「学習者」を意味していました。ピタゴラス学派は、この言葉の使用を算術と幾何学の研究に限定した最初の人々だったと思われます。アリストテレス（紀元前384-322年）の時代までに、この意味は完全に確立されました。[67]
ラテン語と英語では、1700年頃まで、mathematicaという用語は「数学」というよりも「占星術」（または「天文学」）を意味することが一般的でしたが、1500年から1800年頃にかけて徐々に意味が現在のものへと変化しました。この変化により、いくつかの誤訳が生じています。たとえば、聖アウグスティヌスはキリスト教徒は「占星術師」を意味するmathematiciに注意すべきであると警告しましたが、これは数学者に対する非難として誤訳されることがあります。[68]
英語の複数形は、ラテン語の中性複数mathematica ( Cicero )に由来し、ギリシア語の複数形ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά )に基づいており、おおよそ「数学的なすべてのもの」を意味しますが、ギリシャ語から受け継いだ物理学と形而上学のパターンに従って、英語が形容詞mathematic(al)のみを借用し、名詞mathematicaを新たに形成したと考えられます。[69]英語では、名詞mathematicaは単数動詞をとります。これは、多くの場合、 maths [70]または、北米ではmathに短縮されます。[71]
古代
先史時代の人々は、物理的な対象を数える方法を認識していただけでなく、時間（日、季節、年）のような抽象的な量を数える方法も知っていた可能性があります。[72] [73]より複雑な数学の証拠は 、バビロニア人とエジプト人が算術、代数、幾何学を課税やその他の財務計算、建築や建設、天文学に使用し始めた紀元前3000年頃まで現れません。 [74]メソポタミアとエジプトの最古の数学テキストは、紀元前2000年から1800年のものです。[75]多くの初期のテキストでピタゴラスの定理について言及されているため、推測すると、ピタゴラスの定理は基本的な算術と幾何学に次いで最も古く、広範囲に普及した数学概念であると思われます。考古学的記録に初等算術（加算、減算、乗算、除算）が初めて登場するのは、バビロニアの数学です。バビロニア人は位取り記数法も持っていて、角度や時間を測るのに今日でも使われている六十進法を使っていました。 [76]
紀元前6世紀には、ギリシャ数学が独立した学問として現れ始め、ピタゴラス学派などの古代ギリシャ人の中には、それを独立した科目とみなしていた者もいたようである。[77]紀元前300年頃、ユークリッドは公理と第一原理によって数学的知識を体系化し、それが定義、公理、定理、証明からなる、今日の数学で使用されている公理的方法へと発展した。 [78]彼の著書『原論』は、史上最も成功し、影響力のある教科書であると広く考えられている。[79]古代で最も偉大な数学者は、シラクサのアルキメデス（紀元前 287年頃 -紀元前 212年頃）であるとよく考えられている。[80]彼は回転体の表面積と体積を計算する公式を開発し、現代の微積分とそれほど変わらない方法で、尽きる法を使って無限級数の和で放物線の弧の下の面積を計算した。[81]ギリシャ数学の他の注目すべき成果としては、円錐曲線（ペルガのアポロニウス、紀元前3世紀）、[82]三角法（ニカイアのヒッパルコス、紀元前2世紀）、[83]代数学の始まり（ディオファントス、紀元後3世紀）がある。[84]
現在世界中で使われているヒンドゥー・アラビア数字体系とその演算規則は、紀元後1千年紀にインドで発展し、イスラム数学を通じて西洋世界に伝わった。[85]インド数学の他の注目すべき発展としては、正弦と余弦の現代的な定義と近似、そして無限級数の初期の形態が挙げられる。[86] [87]
中世以降
イスラムの黄金時代、特に9世紀から10世紀にかけて、数学はギリシャ数学を基にした多くの重要な革新を遂げた。イスラム数学の最も注目すべき成果は代数の発展である。イスラム時代のその他の成果としては、球面三角法の進歩やアラビア数字への小数点の追加などがある。 [88]この時代の著名な数学者の多くはペルシャ人で、アル＝フワーリズミー、オマル・ハイヤーム、シャラフ・アッディーン・アル＝トゥーシーなどがいた。[89]ギリシャ語とアラビア語の数学書は中世にラテン語に翻訳され、ヨーロッパで利用できるようになりました。[90]
近世になると、西ヨーロッパでは数学が急速に発展し始め、フランソワ・ビエト（1540–1603）による変数と記号表記の導入、ジョン・ネイピアによる1614年の対数の導入（特に天文学と航海の数値計算を大幅に簡素化）、ルネ・デカルト（1596–1650）による座標の導入（幾何学を代数に還元）、アイザック・ニュートン（1643–1727）とゴットフリート・ライプニッツ（1646–1716）による微積分の開発など、数学に革命をもたらす革新が次々と起こりました。18世紀で最も著名な数学者であるレオンハルト・オイラー（1707–1783）は、これらの革新を標準化された用語で統一した単一の体系に統合し、数多くの定理の発見と証明によって完成させました。[91]
おそらく19世紀で最も優れた数学者はドイツの数学者カール・ガウスであり、代数学、解析学、微分幾何学、行列理論、数論、統計学などの分野に多大な貢献をした。[92] 20世紀初頭、クルト・ゲーデルは不完全性定理を発表して数学に変革をもたらした。不完全性定理は、一貫した公理体系は、算数を記述するのに十分なほど強力であれば、証明できない真の命題を含むことを部分的に示している。[55]
それ以来、数学は大きく発展し、数学と科学の間には双方に利益をもたらす実りある相互作用が生まれてきました。数学の発見は今日まで続いています。ミハイル・B・セヴリュクは、2006年1月のアメリカ数学会報で次のように述べています。「1940年（MRの運用開始年）以来、数学レビュー（MR）データベースに含まれる論文と書籍の数は現在190万件を超えており、毎年7万5千件以上の項目がデータベースに追加されています。この海の中の圧倒的多数の作品には、新しい数学定理とその証明が含まれています。」[93]
記号表記と用語
数学表記法は、科学や工学において、複雑な概念や特性を簡潔かつ明瞭に、正確に表現するために広く使われている。この表記法は、演算、不特定の数、関係、その他の数学的対象を表現する記号で構成され、それらを組み立てて表現や数式を作成する。[94]より正確には、数やその他の数学的対象は、変数と呼ばれる記号で表され、変数は一般にラテン文字やギリシャ文字で、添え字が含まれることが多い。演算や関係は一般に、 +（プラス）、×（乗算）、（積分）、=（等しい）、<（より小さい）などの特定の記号やグリフで表される。 [96]これらすべての記号は一般に、特定の規則に従ってグループ化されて、表現や数式が形成される。[97]通常、表現や数式は単独で現れることはなく、現在の言語の文に含まれ、表現は名詞句の役割を果たし、数式は節の役割を果たす。
数学は、さまざまな抽象的で理想化された対象の性質とそれらの相互作用を研究する幅広い分野をカバーする豊富な用語を開発してきました。それは、コミュニケーションの標準的な基盤を提供する厳密な定義に基づいています。公理または公準は、証明を必要とせずに真であるとみなされる数学的なステートメントです。数学的なステートメントがまだ証明されていない場合（または反証されていない場合）、それは推測と呼ばれます。演繹的推論を採用した一連の厳密な議論を通じて、真であると証明されたステートメントは定理になります。主に別の定理を証明するために使用される特殊な定理は補題と呼ばれます。より一般的な発見の一部を形成する証明されたインスタンスは、系と呼ばれます。[98]
数学で使われる専門用語の多くは、多項式や同相写像など新語である。[99]その他の専門用語は、正確な意味で使われるが、一般的な意味とは若干異なる共通言語の言葉である。例えば、数学では「または」は「一方、他方、または両方」を意味するが、一般言語では曖昧であるか「一方または他方であり、両方ではない」を意味する（数学では後者は「排他的または」と呼ばれる）。最後に、多くの数学用語は、全く異なる意味で使われる共通語である。[100]これにより、正しくて真の数学的主張であるが、必要な背景を持たない人には意味不明に見える文章が生じる可能性がある。例えば、「すべての自由モジュールは平坦である」や「体は常に環である」などである。
科学との関係
数学はほとんどの科学において現象をモデル化するために使われており、それによって実験法則から予測を行うことができる。[101]数学的真理が実験から独立していることは、そのような予測の正確さはモデルの妥当性にのみ依存することを意味する。[102]不正確な予測は、無効な数学的概念によって引き起こされるのではなく、使用される数学モデルを変更する必要があることを意味する。[103]たとえば、水星の近日点歳差運動は、ニュートンの万有引力の法則に代わるより優れた数学モデルとなったアインシュタインの一般相対性理論の出現後にのみ説明可能となった。[104]
数学が科学であるかどうかについては、哲学的な議論がまだ続いている。しかし、実際には、数学者は科学者と同列に扱われるのが一般的で、数学は物理科学と多くの共通点を持っている。数学は反証可能であり、つまり、数学では、結果や理論が間違っている場合、反例を提示することで証明できる。科学と同様に、理論や結果（定理）は実験から得られることが多い。[105]数学では、実験は、選択された例の計算、または図やその他の数学的対象物の表現（多くの場合、物理的なサポートのない心による表現）の研究で構成される場合がある。たとえば、ガウスは、どのようにして定理を思いついたのかと尋ねられたとき、「体系的な実験を通じて」と答えたことがある。[106]しかし、一部の著者は、数学は経験的証拠に頼らない点で現代の科学の概念とは異なると強調している。 [107] [108] [109] [110]
純粋数学と応用数学
アイザック・ニュートン（左）とゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは微積分学を開発した。
19世紀まで、西洋における数学の発展は主に技術と科学の必要性によって動機づけられており、純粋数学と応用数学の間に明確な区別はなかった。[111]たとえば、自然数と算術は計数の必要性から導入され、幾何学は測量、建築、天文学によって動機づけられた。後に、アイザック・ニュートンは、万有引力の法則で惑星の動きを説明するために微分積分を導入した。さらに、ほとんどの数学者は科学者でもあり、多くの科学者は数学者でもあった。 [112]しかし、古代ギリシャの純粋数学の伝統には注目すべき例外があった。[113]たとえば、紀元前300年のユークリッドにまで遡る整数因数分解の問題は、現在コンピュータネットワークのセキュリティに広く使用されているRSA暗号システムで使用されるまで、実用的な用途はなかった。[114]
19世紀には、カール・ワイエルシュトラスやリヒャルト・デデキントなどの数学者が、内部問題、つまり純粋数学の研究にますます重点を置くようになりました。[111] [115]これにより、数学は純粋数学と応用数学に分かれ、後者は数学純粋主義者の間では価値が低いと見なされることが多くなりました。しかし、両者の境界線はしばしば曖昧です。[116]
第二次世界大戦の余波は、米国やその他の国々で応用数学の発展の急増をもたらした。[117] [118]応用のために開発された理論の多くは純粋数学の観点から興味深いものであることがわかり、純粋数学の結果の多くは数学以外の分野にも応用できることが示された。その結果、これらの応用の研究は「純粋理論」に対する新たな洞察を与える可能性がある。[119] [120]
最初の例としては、ローラン・シュワルツが量子力学の計算を検証するために導入した超関数理論が挙げられ、これはすぐに（純粋）数学的解析の重要なツールとなった。[121] 2番目の例としては、実数の第一階理論の決定可能性が挙げられる。これは純粋数学の問題で、アルフレッド・タルスキによって正しいことが証明されたが、そのアルゴリズムは計算量が高すぎるため実装が不可能であった。 [122]実装可能で多項式方程式と不等式のシステムを解くことができるアルゴリズムを得るために、ジョージ・コリンズは円筒代数分解を導入し、これは実代数幾何学の基本的なツールとなった。[123]
現在、純粋数学と応用数学の区別は、数学を広い分野に分けるというよりも、数学者の個人的な研究目的の問題である。[124] [125]数学科目分類には「一般応用数学」のセクションがあるが、「純粋数学」については触れられていない。[14]しかし、これらの用語は、ケンブリッジ大学数学部など、一部の大学の学部名に今でも使用されている。
不合理な効果
数学の不合理な有効性は、物理学者ユージン・ウィグナーによって名付けられ、初めて明確にされた現象である。[3]多くの数学理論（「最も純粋な」ものでさえ）は、当初の対象以外に応用されているという事実である。これらの応用は、数学の当初の領域を完全に超える場合があり、数学理論が導入されたときにはまったく知られていなかった物理現象に関係している可能性がある。[126]数学理論の予期せぬ応用の例は、数学の多くの分野で見ることができる。
注目すべき例としては、自然数の素因数分解が、 RSA暗号システムによる安全なインターネット通信に一般的に使用される2,000年以上前に発見されたことが挙げられます。[127] 2つ目の歴史的な例は、楕円の理論です。楕円は、古代ギリシャの数学者によって円錐曲線（つまり、円錐と平面の交差）として研究されました。ヨハネス・ケプラーが惑星の軌道が楕円であることを発見したのは、ほぼ2,000年後のことでした。 [128]
19世紀には、幾何学（純粋数学）の内部発展により、非ユークリッド幾何学、3次元以上の空間、多様体の定義と研究が進んだ。当時、これらの概念は物理的現実とはまったく切り離されているように思われたが、20世紀初頭、アルバート・アインシュタインはこれらの概念を根本的に利用する相対性理論を開発した。特に、特殊相対性理論の時空は4次元の非ユークリッド空間であり、一般相対性理論の時空は4次元の（曲がった）多様体である。[129] [130]
数学と物理学の相互作用の顕著な側面は、数学が物理学の研究を牽引している点である。これは陽電子と重粒子の発見によって例証される。どちらの場合も、理論の方程式には説明できない解があり、未知の 粒子の存在が推測され、これらの粒子の探索が行われた。どちらの場合も、これらの粒子は数年後に特定の実験によって発見された。[131] [132] [133]
特定の科学
物理
数学と物理学は近代史を通じて互いに影響を及ぼし合ってきた。現代物理学は数学を多用しており[134]、また数学の主要な発展の動機とも考えられている[135] 。
コンピューティング
コンピューティングはいくつかの点で数学と密接に関連している。[136] 理論計算機科学は本質的に数学的であると考えられている。[137]通信技術は、暗号や符号理論において、特に伝送セキュリティに関して、非常に古い数学の分野（算術など）を適用する。離散数学は、複雑性理論、情報理論、グラフ理論など、計算機科学の多くの分野で有用である。[138] 1998年には、球詰めに関するケプラー予想も計算機によって部分的に証明されたようであった。[139]
生物学と化学
生物学では、生態学や神経生物学などの分野で確率が広く使用されています。[140]確率に関する議論のほとんどは、進化適応度 の概念に集中しています。 [140]生態学では、個体群動態のシミュレーション、[140] [141]捕食者-被食者モデルなどの生態系の研究、汚染拡散の測定、[142]気候変動の評価などにモデリングが多用されています。[143]個体群の動態は、ロトカ・ヴォルテラ方程式などの結合微分方程式によってモデル化できます。[144]
統計的仮説検定は、臨床試験のデータを用いて新しい治療法が有効かどうかを判断するために行われます。 [145] 20世紀初頭以来、化学ではコンピューティングを使用して分子を3次元でモデル化してきました。[146]
地球科学
構造地質学と気候学では、確率モデルを使用して自然災害のリスクを予測します。[147]同様に、気象学、海洋学、惑星学もモデルを多用するため数学を使用します。[148] [149] [150]
社会科学
社会科学で使われる数学の分野には、確率・統計や微分方程式などがある。これらは言語学、経済学、社会学[151]、心理学[ 152 ]で使われている。
数理経済学の基本的な前提は、多くの場合、合理的な個人行為者、すなわちホモ・エコノミクス（文字通り「経済人」）である。[153]このモデルでは、個人は自己利益を最大化しようと努め、[153]完全な情報を使用して常に最適な選択を行う。[154]この経済学の原子論的見方により、個々の計算が数学的計算に置き換えられるため、比較的簡単にその思考を数学化することができる。このような数学的モデリングにより、経済のメカニズムを調査することができる。ホモ・エコノミクスの概念を拒否または批判する人もいる。経済学者は、実際の人間は限られた情報しか持たず、誤った選択をし、個人的な利益だけでなく公平性や利他主義を気にすると指摘している。[155]
数学的モデリングがなければ、統計的観察や検証不可能な推測を超えることは難しい。数学的モデリングにより、経済学者は仮説を検証し、複雑な相互作用を分析するための構造化されたフレームワークを作成することができる。モデルは明快さと正確さを提供し、理論的概念を現実世界のデータに対して検証可能な定量化可能な予測に変換することができる。[156]
20世紀初頭には、歴史的な動きを数式で表現する開発が行われました。1922年、ニコライ・コンドラチェフは、経済成長や危機の段階を説明する約50年にわたるコンドラチェフサイクルを発見しました。 [157] 19世紀末に向けて、数学者は分析を地政学にまで広げました。[158] ピーター・ターチンは、 1990年代から歴史動態学を開発しました。 [159]
社会科学の数学的表現にはリスクがないわけではない。論争を呼んだ著書『Fashionable Nonsense』（1997年）で、ソカルとブリクモントは社会科学における科学用語、特に数学や物理学の用語の根拠のない、あるいは乱用的な使用を非難した。[160]複雑系（失業率の推移、企業資本、人口動態の推移など）の研究には数学的知識が用いられる。しかし、特に失業率の計算基準やモデルの選択は論争の的となる可能性がある。[161] [162]
哲学
現実
数学と物質的現実とのつながりは、少なくともピタゴラスの時代から哲学的な議論を呼んでいる。古代哲学者プラトンは、物質的現実を反映する抽象概念は、それ自体が空間と時間の外側に存在する現実であると主張した。その結果、数学的対象は抽象概念の中に何らかの形で独自に存在するという哲学的見解は、しばしばプラトン主義と呼ばれる。彼らの哲学的意見とは関係なく、現代の数学者は、研究対象を現実の対象として考え、語るため、一般的にプラトン主義者とみなされるかもしれない。[163]
アルマン・ボレルは数学の現実性に関するこの見解を次のように要約し、GHハーディ、シャルル・エルミート、アンリ・ポアンカレ、アルバート・アインシュタインの言葉を引用して彼の見解を支持した。[131]
何かが客観的になる（「主観的」ではなく）のは、それが他人の心の中にも自分と同じ形で存在し、一緒に考えたり議論したりできると確信したときである。[164]数学の言語は非常に正確であるため、そのような合意が存在する概念を定義するのに理想的である。私の意見では、それは客観的な存在、数学の現実感を与えるのに十分である...
しかしながら、プラトン主義とそれに伴う抽象化の見解は、数学の不合理な有効性を説明するものではない。[165]
提案された定義
数学の定義やその認識論的地位、つまり知識の中での位置づけについては、一般的な合意はない。多くの数学者は数学の定義に興味を示さないか、定義不可能だと考えている。数学が芸術か科学かという点でも合意はない。ただ「数学は数学者が行うものだ」と言う人もいる。[166] [167]一般的なアプローチは、数学をその研究対象によって定義することである。[168] [169] [170] [171]
アリストテレスは数学を「量の科学」と定義し、この定義は 18 世紀まで一般的でした。しかし、アリストテレスは、量だけに焦点を当てるだけでは数学を物理学などの科学と区別できないかもしれないとも指摘しました。彼の見解では、抽象化と、量を実際の例から「思考で分離できる」性質として研究することが数学を区別するものでした。[172] 19 世紀に数学者が、物理的現実とは明確な関係のないトピック (無限集合など) に取り組み始めたとき、さまざまな新しい定義が与えられました。[173] 20 世紀初頭以来、多数の新しい数学分野が登場したため、数学をその研究対象によって定義することはますます困難になっています。[174]たとえば、定義の代わりに、サンダース・マクレーンは『数学、形態、機能』で、数学のいくつかの分野の基礎を要約し、それらの相互関連性を強調し、次のように述べています。[175]
数学の発展は、形式的な規則、概念、システムの緊密に結びついたネットワークを提供します。このネットワークのノードは、人間の活動に役立つ手順や科学で生じる疑問に密接に結びついています。活動から形式的な数学システムへの移行は、さまざまな一般的な洞察とアイデアによって導かれます。
数学を定義するもう一つのアプローチは、その方法論を使うことである。例えば、ある研究分野は、定理を証明できればすぐに数学として認められることが多い。定理とは、その妥当性が証明、つまり純粋に論理的な演繹に依存する主張である。[d] [176] [検証に失敗した]
厳しさ
数学的推論には厳密さが求められる。これは、定義が絶対的に明確で、証明が推論規則の適用の連続に還元可能でなければならないことを意味し、[e]経験的証拠や直感を一切使用してはならない。[f] [177]厳密な推論は数学に特有のものではないが、数学では厳密さの基準が他の分野よりもはるかに高い。数学は簡潔であるにもかかわらず、厳密な証明は、255ページに及ぶフェイト・トムソン定理のように、表現するのに数百ページを要することがある。[g]コンピュータ支援による証明の出現により、証明の長さがさらに長くなった。[h] [178]この傾向の結果、絶対確実とはみなせないが、確率が付随する準経験主義的証明 の哲学が生まれた。 [6]
数学における厳密さの概念は、論理的演繹的推論を奨励する社会であった古代ギリシャにまで遡ります。しかし、この厳密なアプローチは、無理数や無限の概念などの新しいアプローチの探求を阻む傾向がありました。厳密な証明を示す方法は、16 世紀に記号表記法の使用によって強化されました。18 世紀には、社会の変化により、数学者は教えることで生計を立てるようになり、数学の根底にある概念についてより慎重に考えるようになりました。これにより、より厳密なアプローチが生まれ、幾何学的方法から代数的証明、そして算術的証明へと移行しました。[6]
19 世紀末には、数学の基本概念の定義が、パラドックス (非ユークリッド幾何学とワイエルシュトラス関数) や矛盾 (ラッセルのパラドックス) を回避するのに十分正確ではないことが明らかになりました。これは、数学理論の明確な推論規則に公理を組み込むことで解決されました。これは、古代ギリシャ人が開拓した公理的方法の再導入です。[6]その結果、「厳密さ」はもはや数学において重要な概念ではなくなりました。証明は正しいか間違っているかのどちらかであり、「厳密な証明」は単なる言い換えです。厳密さの特別な概念が作用するのは、証明の社会化された側面で、他の数学者によって明らかに反駁される可能性がある場合です。証明が何年も、あるいは何十年も受け入れられた後で、その証明は信頼できるものと見なされます。[179]
それにもかかわらず、「厳密さ」の概念は、初心者に数学的証明とは何かを教える上で有用であり続けるかもしれない。[180]
トレーニングと実践
教育
数学は文化の境界や時代を越える驚くべき能力を持っています。人間の活動として、数学の実践には教育、キャリア、認識、普及などを含む社会的側面があります。教育において、数学はカリキュラムの中核部分であり、 STEM学問分野の重要な要素を形成しています。プロの数学者の著名なキャリアには、数学教師または教授、統計学者、保険数理士、金融アナリスト、経済学者、会計士、商品トレーダー、またはコンピューターコンサルタントが含まれます。[181]
考古学的証拠によると、数学の指導は紀元前2千年紀の古代バビロニアですでに行われていた。[182]同様の証拠が古代近東の書記官による数学の訓練、そして紀元前300年頃から始まるギリシャ・ローマ世界で発見されている。 [183] 最古の数学の教科書は紀元前 1650年頃のエジプトのリンド・パピルスである。 [184]書籍が不足していたため、古代インドでは数学の教えはヴェーダ時代（紀元前 1500年頃 ～紀元前 500年頃）から暗記した口承で伝えられていた。[185]唐の時代（紀元618年～907年）の中国帝国では、国家官僚に加わるための公務員試験に数学のカリキュラムが採用された。[186]
暗黒時代の後、ヨーロッパの数学教育は、四分法の一環として宗教学校によって提供されました。正式な教育法の指導は、16世紀と17世紀のイエズス会の学校で始まりました。19世紀まで、ほとんどの数学のカリキュラムは基礎的かつ実用的なレベルにとどまり、フランスとドイツで盛んになりました。数学の指導を扱った最も古い雑誌は、1899年に出版されたL'Enseignement Mathématiqueです。 [187]西洋の科学技術の進歩により、多くの国民国家で中央集権的な教育システムが確立され、数学は当初は軍事への応用を目的として中核的な要素となりました。[188]コースの内容はさまざまですが、今日ではほぼすべての国でかなりの時間を学生に数学を教えています。[189]
学校時代、数学の能力と前向きな期待は、その分野でのキャリアへの関心と強い関連がある。教師、親、仲間からのフィードバックによる動機付けなどの外的要因は、数学への関心のレベルに影響を与える可能性がある。[190]数学を勉強している生徒の中には、数学の成績に不安や恐怖を抱く人もいる。これは数学不安症または数学恐怖症として知られており、学業成績に影響を与える障害の中で最も顕著なものと考えられている。数学不安症は、親や教師の態度、社会的固定観念、個人的特性など、さまざまな要因によって発症する可能性がある。不安を和らげるには、指導方法の変更、親や教師との交流、個人に合わせた治療などが役立つ可能性がある。[191]
心理学（美学、創造性、直感）
数学の定理の妥当性は、その証明の厳密さのみに依存しており、理論的にはコンピュータプログラムによって自動的に行うことができます。これは、数学的な研究に創造性の余地がないことを意味するものではありません。それどころか、多くの重要な数学的結果（定理）は、他の数学者が解決できなかった問題の解決策であり、それらを解決するための方法の発明は、解決プロセスの基本的な方法である可能性があります。[192] [193]極端な例はアペリーの定理です。ロジャー・アペリーは証明のアイデアのみを提供し、正式な証明は数か月後に他の3人の数学者によってのみ与えられました。[194]
創造性と厳密さは、数学者の活動の唯一の心理的側面ではありません。数学者の中には、自分たちの活動をゲーム、より具体的にはパズルを解くことと見なす人もいます。[195]数学活動のこの側面は、レクリエーション数学で強調されています。
数学者は数学に美的価値を見出すことができる。美と同様に定義は難しいが、一般的にはシンプルさ、対称性、完全性、一般性などの性質を含む優雅さと関連している。GHハーディは『数学者の弁明』の中で、美的考慮はそれ自体で純粋数学の研究を正当化するのに十分であるという信念を表明した。彼はまた、数学的美学に貢献する重要性、意外性、必然性などの他の基準も特定した。[196]ポール・エルデシュは、最も美しい証明を集めた神聖なコレクションである「The Book」について語ることで、この感情をより皮肉的に表現した。エルデシュに触発された1998年の本「Proofs from THE BOOK」は、特に簡潔で啓示的な数学的議論を集めたものである。特に優雅な結果の例には、素数が無限に存在するというユークリッドの証明や、調和解析の高速フーリエ変換などがある。[197]
数学を科学とみなすことは、伝統的な7つの教養科目における数学の芸術性と歴史を軽視することだと考える人もいる。[198]この視点の違いが表れる一つの方法は、数学的結果が（芸術のように）創造されるのか、（科学のように）発見されるのかという哲学的な議論である。[131]娯楽数学の人気は、多くの人が数学の問題を解くことに喜びを見いだしていることのもう一つの表れである。
文化的な影響
芸術的表現
西洋人の耳によく聞こえる音は、振動の基本周波数が単純な比率になっている音です。たとえば、オクターブは周波数を2倍にし、完全5度は周波数を倍にします。[199] [200]
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人間は、他の動物と同様に、対称的なパターンの方が美しいと感じます。[201]数学的には、物体の対称性は対称群と呼ばれる群を形成します。[202]たとえば、鏡面対称性の基礎となる群は、2つの要素の巡回群です。ロールシャッハテストは、この対称性によって図形不変であり、[203]蝶や動物の体（少なくとも表面上）はより一般的には不変です。 [204]海面の波は並進対称性を持ちます。つまり、波頭間の距離だけ視点を移動しても、海の眺めは変わりません。[205]フラクタルには自己相似性があります。[206] [207]
普及
普及数学とは、専門用語を使わずに数学を紹介する行為である。[208]一般の人々は数学不安に悩まされており、数学的対象は高度に抽象的であるため、数学を紹介するのは難しいかもしれない。[209]しかし、普及数学の執筆では、応用や文化的つながりを利用することでこれを克服することができる。[210]それにもかかわらず、印刷メディアやテレビメディアで数学が普及の話題になることはめったにない。
賞と賞金の問題
数学界で最も権威のある賞はフィールズ賞である。[211] [212] 1936年に創設され、4年ごとに（第二次世界大戦の前後を除く）最大4名に授与される。[213] [214]これは数学におけるノーベル賞とみなされている。[214]
その他の権威ある数学賞には以下のものがある: [215]
- アーベル賞は2002年に創設され[216]、2003年に初めて授与された[217]。
- 生涯功績に対するチャーン賞は2009年に導入され[218]、2010年に初めて授与された[219]。
- AMSリロイ・ P・スティール賞、1970年から授与されている[220]
- ウルフ数学賞は生涯の功績に対して授与され、[221] 1978年に設立された[222]
1900年にドイツの数学者ダヴィド・ヒルベルトによって「ヒルベルトの問題」と呼ばれる23の未解決問題の有名なリストがまとめられました。[ 223]このリストは数学者の間で非常に有名になり、[224]少なくとも13の問題（いくつかの問題の解釈によって異なりますが）が解決されました。[223]
2000年に「ミレニアム懸賞問題」と題された7つの重要な問題の新たなリストが発表された。そのうちの1つ、リーマン予想だけがヒルベルトの問題の1つと重複している。これらの問題のどれか1つを解くと100万ドルの賞金がもらえる。[225]現在までに、これらの問題のうちの1つ、ポアンカレ予想だけがロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンによって解決されている。[226]
参照
参考文献
注記
- ^ ここでの代数学は現代的な意味で捉えられており、大まかに言えば、数式を操作する技術です。
- ^ これには、円筒と平面の交差である円錐曲線が含まれます。
- ^ただし、 複素解析の手法を数列の生成に適用するなど、高度な解析手法が使用されることもあります。
- ^ たとえば、論理学はアリストテレス以来哲学に属しています。19 世紀末頃、数学の基礎的危機は数学に特有の論理学の発展を意味しました。これにより、ゲーデルの定理などの定理の証明が可能になりました。それ以来、数理論理学は一般に数学の一分野と見なされています。
- ^ これは、使用されるすべての推論規則を明示的にするという意味ではありません。逆に、これはコンピューターと証明支援ツールなしでは一般的に不可能です。この最新のテクノロジーを使用しても、完全に詳細な証明を書き出すには何年もの人間の作業が必要になる場合があります。
- ^ これは、証明する定理を選択してそれを証明するために経験的証拠と直感が必要ないという意味ではありません。
- ^ これは、以前に発表されたいくつかの補助的な結果の証明を含まないオリジナルの論文の長さです。完全な証明を記した本は 1,000 ページ以上あります。
- ^ 証明中に発生する大規模な計算を信頼できるとみなすには、通常、独立したソフトウェアを使用した2つの計算が必要である。
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さらに読む
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- ヴァルタースハウゼン、ヴォルフガング・ザルトリウス・フォン(1965) [1856]。ガウス・ツム・ゲデヒトニス。 Sändig 復刻版 Verlag HR Wohlwend。ISBN 978-3-253-01702-5。
