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『数学者の弁明』は、イギリスの数学者G・H・ハーディが1940年に著したエッセイで、数学そのものを追求することの意義を擁護している。ハーディの「弁明」（プラトンの『ソクラテスの弁明』における形式的な正当化や弁護という意味は、数学には応用とは無関係な価値があるという主張である。ハーディはこの価値を、彼が「数学の美しさ」と呼んだものに見出し、数学の美しさの例と基準をいくつか挙げている。本書には、現役の数学者の思考を垣間見ることができる短い自伝も含まれている。
ハーディが数学における生涯の業績を正当化しようとした理由は二つある。第一に、心臓発作を乗り越え、62歳になったハーディは、老齢期に差し掛かり、数学的な創造性と技能が衰えつつあることを自覚していた。弁明書の執筆に時間を費やすことで、ハーディは創造的な数学者としての自身の時代が終わったことを認めたのである。1967年版の序文で、C・P・スノーは弁明書を「かつて存在し、二度と戻ってこない創造力への情熱的な嘆き」と評している。[ 1 ]： 51 ハーディの言葉を借りれば、「解説、批評、評価は二流の頭脳の仕事である。[…] プロの数学者にとって、数学について書くことは憂鬱な経験である。数学者の役割は何かをすること、新しい定理を証明すること、数学に貢献することであり、自分や他の数学者が何をしたかについて語ることではない。」[ 2 ]： §1
第二に、第二次世界大戦勃発時、熱心な平和主義者であったハーディは、数学は応用のためではなく、数学そのもののために追求されるべきだという自身の信念を正当化したいと考えていた。彼は、ケンブリッジ大学の学生数学会であるアルキメデス会の機関誌『ユーレカ』[ 2 ]（序文）への寄稿を依頼された際に、このテーマについて執筆を始めた。編集者が提案したテーマの一つは「数学と戦争に関する何か」であり、その結果生まれたのが「戦時下の数学」という記事である。[ 3 ]ハーディは後にこの記事を『数学者の弁明』[ 2 ]（序文）に組み込んだ。
ハーディは、次世代の数学者に向けて自身の数学哲学を解説する本を書きたいと考えていた。彼はこの本を通して、数学の応用例に頼ることなく、数学の重要性について未来の世代に感銘を与えることができると期待していた。
ハーディは当初、ケンブリッジ大学出版局に『数学者の弁明』を提出し、印刷費用を自費で支払うつもりだったが、出版局は初版4000部を出版資金として拠出することにした。[ 4 ]： 97 1940年の初版のために、ハーディは出版社にハガキを送り、妹のガートルード・エミリー・ハーディ（1878-1963）、C・D・ブロード、ジョン・エデンソー・リトルウッド、アーサー・エディントン卿、C・P・スノー、クリケット選手のジョン・ローマス（ハーディがこの本を献呈した人物）などに贈呈本を送ってほしいと依頼した。[ 5 ]
本書の主要テーマの一つは、ハーディが絵画や詩に例える数学の美しさである。[ 6 ]ハーディにとって最も美しい数学は、実用的な応用を持たない数学（純粋数学）であり、特にハーディ自身の専門分野である数論である。ハーディは、有用な知識を、単なる知的満足とは無関係に物質的な快適さに貢献する可能性のある知識と定義するならば、高等数学のほとんどは役に立たないと主張する。彼は、純粋数学の「役に立たない」という性質こそが、悪用して害を及ぼすことができないことを意味するという議論で、純粋数学の追求を正当化する。一方で、ハーディは応用数学の多くを「取るに足らない」「醜い」「退屈」と貶め、それを純粋数学を「真の数学」と対比させる。
ハーディは、カール・フリードリヒ・ガウスの言葉とされる「数学は科学の女王であり、数論は数学の女王である」というフレーズについてコメントしている。応用数学における数論の相対的な希少性が、ガウスに上記の発言をさせたのだと考える人もいるかもしれないが、ハーディは、それは決して事実ではないと指摘する。もし数論の応用が見つかれば、誰もそれを「数学の女王」の座から引きずり下ろそうとはしないだろう。ハーディによれば、ガウスが言いたかったのは、数論を構成する根底にある概念は、他のどの数学分野のものよりも深く、より洗練されているということである。
もう一つのテーマは、数学は「若者の遊び」であるという考え方だ。ハーディは、数学の才能を持つ者は、中年期に独創的な数学を生み出す能力が衰える前に、若いうちにその才能を伸ばし活用すべきだと考えていた。この考え方は、ハーディ自身の数学的能力の衰えに伴う憂鬱感の高まりを反映している。ハーディにとって、真の数学とは、説明的あるいは解説的な活動ではなく、本質的に創造的な活動だったのだ。
ハーディの意見は、第一次世界大戦と第二次世界大戦の間のケンブリッジ大学とオックスフォード大学の学術文化に大きく影響を受けていた。
ハーディの例の中には、後から考えると不運なものもある。例えば、彼は「数論や相対性理論が戦争に役立つ目的を誰も発見しておらず、今後何年も誰も発見しないだろう」と書いている。それ以来、数論はドイツのエニグマ暗号の解読に使用され、ずっと後には公開鍵暗号で重要な役割を果たした。[ 7 ]さらに、特殊相対性理論によって予測された質量とエネルギーの相互変換性は、核兵器の物理的基礎を形成している。
ハーディが応用数学を純粋数学より劣ると考えた理由は、応用性そのものにあるのではなく、応用数学に内在する単純さと俗っぽさにある。彼は、例えばロルの定理は微積分学にとってある程度の重要性を持つものの、エヴァリスト・ガロアをはじめとする純粋数学者たちが生み出した数学の優雅さや卓越性とは比較にならないと考えていた。
年齢と数学的生産性に関する彼の主張に異議を唱える人もおり、重要な発見は必ずしも若い年齢で起こる必要はないと述べている。