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数学哲学の文脈において、純粋数学とは、数学以外の応用とは無関係に数学的概念を研究することを指す非公式な用語である。これらの概念は現実世界の懸念から生じる場合があり、得られた結果は後に実用的な応用に役立つ可能性があるが、研究の主な動機はそうした応用ではない。むしろ、その魅力は、新しい数学的対象を定義したり、基本原理から数学的な帰結を導き出したりすることに伴う知的挑戦と美的美しさにある。
純粋数学と応用数学の区別は少なくとも古代ギリシャ以来存在していましたが、この概念は1900年頃に、直感に反する性質を持つ理論（非ユークリッド幾何学やカントールの無限集合論など）の導入や、明らかなパラドックス（どこでも微分不可能な連続関数やラッセルのパラドックスなど）の発見を受けて、より詳細に検討されるようになりました。[2] これにより、数学的厳密性の概念を刷新し、公理的方法を体系的に使用して、すべての数学をそれに合わせて書き直す必要性が生じました。
それにもかかわらず、ほとんどすべての数学理論は、現実世界の問題や、より抽象度の低い数学理論に由来する問題によって動機づけられていました。また、完全に純粋数学と思われていた多くの数学理論は、最終的には応用分野、主に物理学とコンピュータ科学で使用されました。有名な初期の例としては、アイザック・ニュートンが万有引力の法則から惑星が円錐曲線、つまり古代にアポロニウスによって研究された幾何学的曲線の軌道を描いて運動することを実証したことが挙げられます。もう1つの例は、インターネット通信のセキュリティ確保に広く使用されているRSA暗号システムの基礎となっている大きな整数の因数分解の問題です。 [ 3 ]
したがって、現在では、純粋数学と応用数学の区別は、数学の厳密な区分というよりは、哲学的な観点や好みの問題であると言える。[ 4 ]
古代ギリシャの数学者たちは、純粋数学と応用数学を区別した最初期の数学者たちの一人だった。プラトンは、現在数論と呼ばれる「算術」と、現在算術と呼ばれる「論理学」の間の区別を作るのに貢献した。プラトンは、論理学（算術）は「数の技術を学ばなければ、軍隊の配置方法がわからない」ビジネスマンや軍人に適しており、算術（数論）は「変化の海から立ち上がり、真の存在をつかまなければならない」哲学者に適していると考えた。[ 5 ]この賢明なアレクサンドリアのユークリッドは、生徒の一人から幾何学の研究は何の役に立つのかと尋ねられたとき、奴隷に生徒に3ペンスを与えるように命じた。「学んだことを生かさなければならないのだから」。[ 6 ]ギリシャの数学者ペルガのアポロニウスは、 『円錐曲線論』第 4 巻にあるいくつかの定理の有用性について尋ねられ、[ 7 ]と主張した。
それらは、証明そのものの価値があるという理由だけで受け入れられるに値する。数学において他の多くの事柄を、まさにこの理由だけで、他のいかなる理由もなく受け入れているのと同様である。
また、彼の研究成果の多くは当時の科学や工学には適用できなかったため、アポロニウスは円錐曲線論の第5巻の序文で、この主題は「それ自体研究する価値があると思われる」主題の1つであると主張した。[ 7 ]
注目すべきは、古代ギリシャ哲学において、数学の実験的アプローチと、数学と物理学の明確な区別がないという考え方が、タレスやアルキメデス、そして例えばアリストテレスとその学派などの著述家にすでに存在していたことである。 [ 8 ]このプラトン主義とアリストテレスの二元性は、現代数学にも依然として存在している。[ 9 ]
ピタゴラス学派の様々な歴史的記録は、プラトンに似た神秘主義的な要素から、無限に続く非反復的な数字の集合がユークリッド幾何学の「有限」で「明確に定義された」世界に属することはあり得ないというパラドックスにつながる非合理性の証明に至るまで、この矛盾を示している。最後に、ゼノンのパラドックスは、純粋な論理的推論（距離を2で割ることは常に可能である）と応用領域（旅人が決して目的地に到着しないという事実）との間のこの二重性を再び示している。
「純粋数学」という用語自体は、19世紀半ばに（教授職として）設立されたサドレイリアン講座の正式名称「サドレイリアン純粋数学教授」に明記されている。純粋数学を独立した学問分野として捉える考え方は、おそらくその頃に生まれたのだろう。カール・フリードリヒ・ガウス（1777年～1855年）の世代は、純粋数学と応用数学を大まかに区別することはなかった。その後、専門化と職業化（特にワイエルシュトラスによる数学解析のアプローチ）が進むにつれて、両者の隔たりはより明確になっていった。
ワイエルシュトラス以降、19 世紀末までに、グレゴール・カントールなどの著者による無限の役割に関する重要な議論や、フラクタルやカオスの初期の例が生まれました。ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは、カントールの非可算集合のアプローチを数学の癌とみなしました。[ 10 ]アンリ・ポアンカレは集合論を一時的な病気に例えたようです。[ 11 ]一般的に無限は公理的に扱うのが難しく、そのため常に純粋数学の周辺にあると考えられてきました。この複雑さは、 20 世紀初頭のバートランド・ラッセルとゲーデルのパラドックスに関する 研究で明らかになりました。
20世紀初頭、数学者たちはダヴィッド・ヒルベルトの例に強く影響を受け、公理的方法を採用した。バートランド・ラッセルが命題の量化子構造という観点から提案した純粋数学の論理的定式化は、数学の大部分が公理化され、厳密な証明という単純な基準に従うようになるにつれて、ますます説得力を持つようになった。
ブルバキグループに帰属する見解によれば、純粋数学とは証明されるものである。「純粋数学者」は訓練によって達成可能な、認められた職業となった。とはいえ、純粋数学が工学教育に役立つという主張がなされた。[ 12 ]
20世紀初頭における主要な進歩は、抽象代数学と位相幾何学の形式化であった。これら二つの分野は、純粋数学の哲学から大きな影響を受けていた。
歴史的に純粋数学に付随すると考えられてきた分野は 、数論（これらの無限は通常可算である）と代数幾何学（関数は通常扱いやすい関数である[ 13 ]（つまり、区分的多項式関数または有理関数））である。ワイル予想の証明の成功と、最終的に幾何学的ラングランズ・プログラムにおけるこれら2つの分野の統一は、独立して自己維持できる研究活動としての純粋数学の概念に勢いを与えた。一方、関数解析、偏微分方程式、統計学、力学系の分野は[ 14 ]応用数学の陣営に属すると考えられており、これは数学カリキュラムの典型的な構成に反映されている[ 15 ] 。
世紀末までに、四色定理の数値的証明はコンピュータの進歩の主要な例となった。[ 16 ]ポール・コーエンなどの著名な数学者は、1970年代にはすでに純粋数学の概念に異議を唱え、将来、ほとんどの数学者がコンピュータに取って代わられる瞬間が来るだろうと述べていた。[ 17 ]
フランス数学学派と西洋の著者全般は、ブルバキグループの影響を強く受けており、数学を自然科学から切り離すという哲学的思想に影響を受けている。一方、ロシア数学学派（例えば、コルモゴロフ、ゲルファント、ウラジーミル・アーノルド）は、数学は実際には物理学[ 18 ]や生物学[ 19 ] [ 20 ]などの実験科学に完全に根ざしていると考えており、これは冷戦時代に地政学的な動機から両学派が分離したことや、ロバート・ラングランズのような著者が両学派の業績を少しずつ再接続し始めたことに反映されている[ 21 ] 。
21世紀初頭、純粋数学への人工知能の応用は、ケン・オノ[ 22 ]やフランソワ・シャルトン[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]といった著名人の注目を集めた。
解析的ラングランズ予想[ 25 ]のような最近の研究分野を見ると、純粋数学と応用数学の区別が再び曖昧になっていることがわかります。別の例としては、数論におけるカオスの出現[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]や、ロバート・ラングランズのような著者がラングランズ・プログラムを通じて数学と物理学の統一を提唱していること[ 31 ] [ 32 ]が挙げられます。
数学者たちは、純粋数学と応用数学の区別について、常に意見を異にしてきた。この議論の最も有名な（しかしおそらく誤解されている）現代の例の一つは、G・H・ハーディが1940年に発表したエッセイ『ある数学者の弁明』に見られる。
ハーディは応用数学を醜くて退屈だと考えていたと広く信じられている。ハーディが純粋数学を好み、それを絵画や詩に例えることが多かったのは事実だが、ハーディは純粋数学と応用数学の違いを、応用数学は物理的真理を数学的枠組みで表現しようとするのに対し、純粋数学は物理世界とは無関係な真理を表現するという単純なものだと考えていた。ハーディは数学において、「永続的な美的価値を持つ」彼が「真の」数学と呼んだものと、実用的な用途を持つ「退屈で初歩的な数学の部分」とを区別した。[ 33 ]
ハーディは、アインシュタインやディラックといった物理学者を「真の」数学者とみなしていたが、彼が『弁明』を執筆していた当時は、一般相対性理論や量子力学を「役に立たない」と考えており、そのため「退屈な」数学だけが有用であるという見解を持っていた。さらにハーディは、行列理論や群論が物理学に応用されたのが予期せぬ出来事であったように、いずれは美しく「真の」数学が有用になる時が来るかもしれないと、簡潔に認めている。
アメリカの数学者アンディ・マジッドも、別の洞察に満ちた見解を示している。
私は、ここで良いモデルは環論から引き出せると常に考えてきました。その分野では、可換環論と非可換環論という下位分野があります。知識のない観察者はこれらが二分法を表していると考えるかもしれませんが、実際には後者が前者を包含しています。非可換環は必ずしも可換ではない環です。同様の慣習を用いると、応用数学と非応用数学に言及することができ、後者は必ずしも応用数学ではないことを意味します... [強調追加] [ 34 ]
フリードリヒ・エンゲルスは1878年の著書『反デューリング論』の中で、「純粋数学において、心が自身の創造物や想像のみを扱うというのは全く真実ではない。数と図形の概念は、現実世界以外のいかなる源泉からも発明されたものではない」と主張した。[ 35 ] : 36さらに彼は、「長方形をその一辺を中心に回転させることで円柱の形状を導き出すという考えに至る前に、形状がいかに不完全であっても、数多くの実際の長方形と円柱が調べられたに違いない。他のすべての科学と同様に、数学は人間の必要性から生まれた…しかし、あらゆる思考分野と同様に、ある発展段階において、現実世界から抽象化された法則は現実世界から切り離され、独立した何か、つまり世界が従わなければならない外部からの法則として現実世界に対置されるようになる」と主張した。[ 35 ] : 37
2000 年以降、[ 36 ]セドリック・ヴィラニなどの著者は、構成主義的アプローチを用いず、他の認知プロセス[ 37 ]を考慮しない純粋で抽象的な数学は教育に悪影響を及ぼす可能性があると主張した。[ 38 ] より正確には、1960 年代と 1970 年代に学校制度とカリキュラムを改革するために、一流の数学者に数学の教え方を尋ね、集合論に基づいて教育システムを構築することが正しい方法であるように思われた。[ 39 ]これは、準備不足の教師の世代、質の低い教育教材の世代、そして最終的には質の低い教育につながった。
人々がどのように数学を学ぶのか、私たちは実際にはよく分かっていません。そのため、数学の教え方を理解するための実験的なアプローチを推進すべきです。
—セドリック・ヴィラーニ
そのような例としては、数学教育への投資[ 40 ]やサイモンズ財団による投資[ 41 ]などが挙げられる。
厳密な科学には、通常、帰納的プロセス（実験的証拠から抽象化へ）と演繹的プロセス（公理から定理と証明へ）という2つの認知プロセスが含まれます。どちらも教育プロセスにおいて重要であり、より正確には、演繹的プロセスは純粋数学に典型的である一方、帰納的プロセスは数学教育と実験数学に重要です。
コロナ禍は、いわゆる世界的な学習危機 [ 42 ]を引き起こし、すべての科学教育に悪影響を及ぼした。
2026年現在、市販されている主要なLLMは古典的な定理の複数の証明を再現でき、他のLLMは平均的な高校数学を反映して数学オリンピックで非常に高いスコアを獲得できる[ 43 ]。この技術は、斬新さを生み出すことができなくても、理想的には教育を変革する可能性を秘めているが、現状ではそうではない。
2026年現在、場合によっては、数学的知識の大規模なデータベースを自動的に作成し[ 44 ]（つまり、実験プロセスの側面を自動化する）、人工知能を使用して大規模なデータセット全体にわたってパターンを自動的に見つけて数学的予想を導き出す（つまり、帰納的プロセスの側面を自動化する）ことが可能になるかもしれない[ 45 ] 。その後、人工知能によって生成された推定証明は、 Leanなどの証明支援ツールと、定理の大規模なサポートデータベース[ 46 ]（演繹的プロセスを自動化する）を介して検証することができる。一部の数学者は、これらのアプローチが21世紀に主流になる可能性があると考えている[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] 。