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数理論理学において、ラッセルのパラドックス（ラッセルのアンチノミーとも呼ばれる）は、1901年にイギリスの哲学者で数学者のバートランド・ラッセルによって発表された集合論のパラドックスである。 [ 1 ] [ 2 ]ラッセルのパラドックスは、無制限の内包原理を含むすべての集合論が矛盾につながることを示している。[ 3 ]
無制限内包原理によれば、十分に明確に定義された任意の性質に対して、その性質を持つすべての対象のみからなる集合が存在する。Rを、自身を要素としないすべての集合の集合とする（「ラッセル集合」と呼ばれることもある）。R が自身を要素としないならば、その定義からRは自身を要素とすることが導かれる。しかし、R が自身を要素とする場合、R は自身を要素としないすべての集合の集合であるため、R は自身を要素としないことになる。結果として生じる矛盾がラッセルのパラドックスである。記号で表すと次のようになる。
ラッセルはまた、このパラドックスの別バージョンが、ドイツの哲学者で数学者のゴットロープ・フレーゲによって構築された公理系から導き出せることを示し、それによってフレーゲの数学を論理に還元しようとする試みを弱体化させ、論理主義プログラムに疑問を投げかけた。このパラドックスを回避する影響力のある2つの方法は、いずれも1908年に提案された。ラッセル自身の型理論とツェルメロ集合論である。特に、ツェルメロの公理は無制限内包原理を制限した。アブラハム・フレンケルの追加的な貢献により、ツェルメロ集合論は標準的なツェルメロ＝フレンケル集合論（選択公理を含めると一般にZFCとして知られる）へと発展した。ラッセルとツェルメロのパラドックスの解決策の主な違いは、ツェルメロは標準的な論理言語を維持しながら集合論の公理を修正したのに対し、ラッセルは論理言語自体を修正した点である。 ZFCの言語は、Thoralf Skolemの助けを借りて、一階述語論理であることが判明した。[ 4 ]
このパラドックスは、ドイツの数学者エルンスト・ツェルメロによって1902年までに、おそらくは1899年頃には既に独自に発見されていた。 [ 5 ]しかし、ツェルメロはこの考えを公表せず、ゲッティンゲン大学のダフィット・ヒルベルト、エドムント・フッサール、その他の学者だけが知ることとなった。さらに、ツェルメロはパラドックスの出現を危機とは考えておらず、数学者が限られた数の確立された原理（公理）に限定すれば回避できると信じていた。[ 6 ] [ 7 ] 1890年代末には、現代集合論の創始者とみなされているゲオルク・カントールは、ヒルベルトとリヒャルト・デデキントに手紙で伝えたように、自身の理論が（カントールの定理に）矛盾することになるだろうと既に認識していた。 [ 8 ] [ 9 ]ヒルベルトはカントールの対角線論法に似た推論に基づく独自のパラドックスも定式化した。ヒルベルトによれば、それはエルンスト・ツェルメロのラッセルのパラドックスのバージョンの発端にもなったという。[ 10 ]
一般的に見られる集合のほとんどは、それ自体を要素として含んでいません。集合がそれ自体を要素として含んでいない場合を「正常」、含んでいる場合を「異常」と呼びます。明らかに、すべての集合は正常か異常のどちらかです。たとえば、平面上のすべての正方形の集合を考えてみましょう。この集合はそれ自体が平面上の正方形ではないため、それ自体を要素として含まず、したがって正常です。対照的に、平面上の正方形ではないすべてのものを含む補集合は、それ自体が平面上の正方形ではないため、それ自体を要素として含み、したがって異常です。
すべての正常集合の集合Rを考え、 Rが正常か異常かを判断してみましょう。R が正常であれば、 Rはすべての正常集合の集合 (R 自身) に含まれるため、異常となります。一方、R が異常であれば、R はすべての正常集合の集合 (R 自身) に含まれないため、正常となります。このことから、 Rは正常でも異常でもないという結論に至ります。これがラッセルのパラドックスです。
「素朴集合論」という用語は様々な意味で用いられる。ある意味では、素朴集合論とは、二項非論理述語を持つ一階述語論理で定式化された形式理論である。これには外延性の公理も含まれる。
そして、無制限理解の公理図式：
任意の述語に対してxを自由変数として内部に。 代わりののために取得するため
次に、存在インスタンス化によって（シンボルを再利用して））そして普遍的なインスタンス化によって、
ラッセルのパラドックス（および同時期に発見されたブラリ＝フォルティのパラドックスなど、他の類似のパラドックス）以前は、集合の概念に関する一般的な考え方は、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンが述べた「集合の外延的概念」であった。[ 12 ]
集合とは、対象物の性質や数に一切の制約を設けない、任意の対象物の集まりである。これらの対象物、すなわち集合の要素は、互いに順序や関係性を持つことなく、集合を構成し、決定する。
特に、集合と真のクラスは、オブジェクトの集まりとして区別されていませんでした。さらに、コレクションの各要素の存在は、それらの要素の集合の存在に十分であると考えられていました。しかし、ラッセルのパラドックスやブラリ＝フォルティのパラドックスなどは、すべてのオブジェクトが存在するにもかかわらず集合を形成しないオブジェクトの集まりの例を通して、この集合の概念の不可能性を示しました。
古典論理の爆発原理によれば、いかなる命題も矛盾から証明できる。したがって、公理的集合論にラッセルのパラドックスのような矛盾が存在することは致命的である。なぜなら、いかなる論理式も真であると証明できるならば、真偽の従来の意味が崩壊してしまうからである。さらに、集合論は他のすべての数学分野の公理的発展の基礎とみなされていたため、ラッセルのパラドックスは数学全体の基礎を脅かすものであった。このことが、20世紀初頭に、一貫性のある（矛盾のない）集合論を開発するための多くの研究を促したのである。
1908年、エルンスト・ツェルメロは、任意の集合理解を分離公理（Aussonderung ）などのより弱い存在公理に置き換えることで、素朴な集合論のパラドックスを回避する集合論の公理化を提案した。（パラドックスを回避することはツェルメロの本来の意図ではなく、整列定理を証明する際に使用した仮定を記録することであった。）[ 13 ] 1920年代にアブラハム・フランケル、トーラルフ・スコレム、そしてツェルメロ自身によって提案されたこの公理理論の修正により、 ZFCと呼ばれる公理的集合論が生まれた。この理論は、ツェルメロの選択公理が論争の対象でなくなった時点で広く受け入れられ、ZFCは現代に至るまで標準的な公理的集合論であり続けている。
ZFCは、あらゆる性質に対して、その性質を満たすすべてのものの集合が存在すると仮定するものではありません。むしろ、任意の集合Xに対して、一階述語論理を用いて定義可能なXの任意の部分集合が存在すると主張します。上記のラッセルのパラドックスで定義された対象Rは、いかなる集合Xの部分集合としても構成できないため、ZFCでは集合ではありません。フォン・ノイマン＝ベルネイス＝ゲーデル集合論のようなZFCの拡張では、 Rのような対象は「固有クラス」と呼ばれます。
ZFCは型については何も述べていないが、累積階層には型に似た階層の概念がある。ツェルメロ自身も、一階述語論理の言語を用いたスコレムのZFCの定式化を受け入れなかった。ホセ・フェレイロスが指摘するように、ツェルメロは代わりに「部分集合を分離するために使用される命題関数（条件または述語）と置換関数は『完全に任意』 [ganz beliebig ]である可能性がある」と主張した。この発言に対する現代の解釈は、ツェルメロがスコレムのパラドックスを回避するために高階量化を取り入れたかったというものである。1930年頃、ツェルメロは（フォン・ノイマンとは明らかに独立して）基礎公理も導入した。フェレイロスが指摘するように、「『循環的』および『根拠のない』集合を禁止することにより、ZFCはTT[型理論]の重要な動機の1つである引数の型の原理を取り込んだ」。ツェルメロが好んだこの2次ZFCは、基礎公理を含めて、豊かな累積階層を可能にした。フェレイロスは次のように書いています。「ツェルメロの『階層』は、ゲーデルとタルスキが提示した現代版の単純TT[型理論]の型と本質的に同じです。ツェルメロがモデルを発展させた累積階層は、超限型が許容される累積TTの宇宙として記述できます。（クラスが構築されるという考えを放棄し、非述語的観点を採用すれば、超限型を受け入れるのは自然です。）したがって、単純TTとZFCは、本質的に同じ対象について『語る』システムと見なすことができます。主な違いは、TTが強力な高階論理に依存しているのに対し、ツェルメロは二階論理を採用しており、ZFCにも一階論理による定式化を与えることができる点です。累積階層の一階『記述』は、可算モデルの存在（スコレムのパラドックス）が示すように、はるかに弱いものですが、いくつかの重要な利点があります。」[ 14 ]
ZFCでは、集合Aが与えられたとき、Aに含まれる集合のうち、 A自身に含まれない集合のみからなる集合Bを定義することが可能です。ラッセルのパラドックスと同様の推論により、 BはAに含まれることはできません。このラッセルのパラドックスの変形は、いかなる集合もすべての要素を含むことはできないことを示しています。
ツェルメロやジョン・フォン・ノイマンらの研究を通して、ZFCによって記述される「自然」な対象とみなされるものの構造が最終的に明らかになった。それらは、空集合から冪集合演算を超限的に繰り返すことによって構築されるフォン・ノイマン宇宙Vの要素である。こうして、ラッセルのパラドックスに陥ることなく、すなわちVの要素について推論することによって、公理に基づかない方法で集合について再び推論することが可能になった。このように集合を考えることが適切かどうかは、数学哲学における対立する見解の間で論争の的となっている。
ラッセルのパラドックスに対する他の解決策としては、型理論に近い戦略に基づくものとして、クワインの「新基礎論」やスコット＝ポッター集合論などが挙げられる。また、二重拡張集合論のように、適切に修正された内包表記法を用いて多重メンバーシップ関係を定義するというアプローチもある。
ラッセルは1901年5月にこのパラドックスを発見し[ 15 ]、このパラドックスは『数学原理』第1部の1901年5月の草稿に含まれていた[ 16 ]。 1919年の『数学哲学入門』の中で彼自身が述べているように、彼は「最大の基数は存在しないというカントールの証明に何らかの欠陥を見つけようとした」[ 17 ] 。 1902年の手紙[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]で、彼はゴットロープ・フレーゲにフレーゲの1879年の『概念書』におけるパラドックスの発見を告げ、論理と集合論の両方の観点から、特にフレーゲの関数の定義の観点から問題を定式化した。[ a ] [ b ]
一つだけ難点があります。あなたは（17ページ［上記23ページ］で）関数も不定要素として作用できると述べています。私は以前はそう信じていましたが、次の矛盾のために、この見解は疑わしく思えます。wを述語とします。つまり、w自身を述語とすることができない述語です。w自身を述語とすることはできますか？それぞれの答えから、その反対が導き出されます。したがって、wは述語ではないと結論付けなければなりません。同様に、全体として捉えた場合、それ自体に属さないクラスのクラス（全体として）は存在しません。このことから、特定の状況下では、定義可能な集合［メンゲ］は全体を形成しないと結論付けます。
ラッセルは1903年の著書『数学の原理』でこのパラドックスについて詳しく論じ、そこで初めてこのパラドックスに遭遇した時のことを繰り返している。[ 21 ]
根本的な問題から離れる前に、すでに述べた、それ自体では述語にならない述語に関する特異な矛盾について、さらに詳しく検討する必要がある。…私がこの矛盾にたどり着いたのは、カントールの証明を調和させようと試みた結果であったことを付け加えておきたい。…
ラッセルは、フレーゲが『算術の基本法則』第2巻を準備していたまさにその時、このパラドックスについてフレーゲに手紙を書いた。[ 22 ]フレーゲはラッセルに非常に迅速に返信し、1902年6月22日付の手紙は、ファン・ヘイエノールトの解説とともに、ヘイエノールト1967:126–127に掲載された。フレーゲはその後、パラドックスを認める付録を書き、[ 23 ]ラッセルが『数学原理』で支持することになる解決策を提案したが、[ 24 ]後に一部の人々からは不十分だと見なされた。[ 25 ]ラッセル自身は、印刷所に原稿を預けており、型の教義 に関する付録を追加した。[ 26 ]
エルンスト・ツェルメロは、1908年に出版した『整列の可能性に関する新しい証明』（「最初の公理的集合論」を出版したのと同時期に出版）[ 27 ]の中で、カントールの素朴な集合論におけるアンチノミーの発見を先に主張した。彼は次のように述べている。「しかし、ラッセル9が集合論的アンチノミーに与えた基本的な形式でさえ、彼ら[J.ケーニッヒ、ジュールダン、F.ベルンシュタイン]に、これらの困難の解決策は整列を放棄することではなく、集合の概念を適切に制限することによってのみ求められることを納得させることができたはずだ」[ 28 ] 。脚注9は、彼がその主張を主張している箇所である。
9 1903、pp. 366–368。しかし、私はこの矛盾をラッセルとは独立して独自に発見し、1903年以前にヒルベルト教授らに伝えていた。[ 29 ]
フレーゲは『算術の基本法則』の写しをヒルベルトに送った。前述の通り、フレーゲの最後の巻には、ラッセルがフレーゲに伝えたパラドックスについて言及されている。1903年11月7日にフレーゲの最後の巻を受け取ったヒルベルトは、フレーゲに手紙を書き、その中でラッセルのパラドックスに言及して、「ツェルメロ博士が3、4年前に発見したと思います」と述べている。ツェルメロの実際の議論の記述は、エドムント・フッサールの遺稿の中で発見された。[ 30 ]
1923年、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインは、ラッセルのパラドックスを次のように「解決」することを提案した。
関数がそれ自身を引数にできない理由は、関数の記号が既にその引数の原型を含んでおり、自身を含むことができないからである。仮に関数 F(fx) がそれ自身を引数にできるとしよう。その場合、命題F(F(fx))が存在するが、その命題において、外側の関数Fと内側の関数F は異なる意味を持たなければならない。なぜなら、内側の関数はO(fx)の形を持ち、外側の関数はY(O(fx))の形を持つからである。文字「F」だけが2つの関数に共通しているが、文字「F」自体は何も意味しない。F (Fu)の代わりに(do) : F(Ou) と書けば、このことはすぐに明らかになる。Ou = Fu。これでラッセルのパラドックスは解消される。（論理哲学論考、3.333）
ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドは、フレーゲが成し遂げられなかったことを実現しようと、3巻からなる『プリンキピア・マテマティカ』を著した。彼らは、この目的のために考案した型の理論を用いることで、素朴な集合論のパラドックスを解消しようと試みた。彼らはある意味で算術の基礎を築くことに成功したが、それが純粋に論理的な手段によるものであったとは到底言えない。『プリンキピア・マテマティカ』は既知のパラドックスを回避し、多くの数学的概念の導出を可能にしたが、その体系は新たな問題を生み出した。
いずれにせよ、クルト・ゲーデルは1930年から1931年にかけて、 『プリンキピア・マテマティカ』の大部分を占める論理（後に一階述語論理として知られる）は完全である一方、ペアノ算術は無矛盾であれば必然的に不完全であることを証明した。これは、広く（ただし普遍的ではないが）フレーゲの論理主義プログラムが完成不可能であることを示したものとして認識されている。
2001年に、ラッセルのパラドックスの最初の100年を祝う100周年記念国際会議がミュンヘンで開催され、その議事録が出版された。[ 31 ]
このパラドックスのいくつかのバージョンは現実生活に近く、論理学者でない人にも理解しやすいかもしれません。たとえば、理髪師のパラドックスでは、自分で髭を剃らない男性全員を剃り、かつ自分で髭を剃らない男性だけを剃る男性理髪師を想定しています。理髪師が自分で髭を剃るかどうかを考えると、同様のパラドックスが現れ始めます。[ 32 ]
例外として、グレリング＝ネルソンのパラドックスが挙げられる。このパラドックスでは、人や散髪ではなく、言葉と意味がシナリオの要素となる。理髪師のパラドックスについては、そのような理髪師は存在しない（そして存在し得ない）と反駁するのは容易だが、意味的に定義された言葉については同様のことを言うことは不可能である。
このパラドックスを劇的に表現した例の一つは、すべての公共図書館が所蔵するすべての書籍の目録を作成しなければならないと仮定することです。目録自体が図書館の書籍の一つであるため、完全性を期すために目録に含める司書もいれば、図書館の書籍であることは自明であるため目録から除外する司書もいます。次に、これらの目録すべてが国立図書館に送られると想像してください。目録の中には、自身をリストに含めるものもあれば、含めないものもあります。国立図書館長は、自身をリストに含めるすべての目録と、含めないすべての目録の2つのマスター目録を作成します。[ 33 ]
問題は、これらのマスターカタログは自身をリストすべきかどうかである。「自身をリストするすべてのカタログのカタログ」は問題ない。司書がそれを自身のリストに含めなければ、それは自身を含めるカタログの真のカタログのままである。司書がそれを含めれば、それは自身をリストするカタログの真のカタログのままである。しかし、司書は最初のマスターカタログでは間違いを犯すことはないが、2番目のマスターカタログでは失敗する運命にある。「自身をリストしないすべてのカタログのカタログ」に関しては、司書はそれを自身のリストに含めることはできない。なぜなら、そうすれば自身が含まれることになり、したがって、自身を含めるカタログのカタログという別のカタログに属することになるからである。しかし、司書がそれを除外すれば、カタログは不完全になる。いずれにせよ、それは自身をリストしないカタログの真のマスターカタログにはなり得ない。[ 33 ]
理髪師のパラドックスで上述したように、ラッセルのパラドックスを拡張することは難しくない。例えば、
文を作成してください。
時には「all」が「all ⟨ V ⟩ ers」に置き換えられます。
例えば「ペイント」が挙げられます。
または「選ぶ」
この枠組みに当てはまるパラドックスには以下のようなものがある。
