ナブラ記号

ナブラは、逆さまにしたギリシャのデルタ^[1] または∇に似た三角形の記号です。記号の形状から、この名前はヘレニズム時代のギリシャ語でフェニキアのハープを意味するνάβλαに由来しており、^{[2] [3] 、百科事典編纂者のウィリアム}・ロバートソン・スミスが1870年にピーター・ガスリー・テイトに宛てた手紙の中で提案しました。^{[2] [4] [5] [6] [7]}${\displaystyle \nabla}$

ナブラ記号は、標準HTMLではとして∇、LaTeXではとして使用できます\nabla。Unicode では、数学演算子ブロック内のコード ポイントU+2207 ( 10 進表記では 8711)の文字です。

デルとも呼ばれます。

3次元ユークリッド空間上 の直交座標で与えられる微分作用素は、 ${\displaystyle \{x,y,z\}}$

${\displaystyle \mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}}$

は1831年にアイルランドの数学者で物理学者のウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入され、◁と名付けられました。^[8] （単位ベクトルはもともとハミルトンの四元数における右ベルソルでした。）∇の数学はPGテイトによって完全に説明されました。^{[9] [10]}${\displaystyle \{\mathbf {i} 、\mathbf {j} 、\mathbf {k} \}}$

スミスの提案を受けて、テイトとジェームズ・クラーク・マクスウェルは、そのオペレーターをナブラと呼んでいましたが、その言及のほとんどはユーモラスな性格のものでした。CGノットのピーター・ガスリー・テイトの生涯と科学的研究（145ページ）: ^[5]

おそらく、マクスウェルが真面目な著作の中で「ナブラ」という用語を使うことに消極的だったため、テイトがそれより早くこの語を導入できなかったのでしょう。マクスウェルがこの語を出版した唯一の例は、彼のユーモラスな「ティンダリック・オード」の題名で、これは「ナブラの首席音楽家」、つまりテイトに捧げられたものです。

ウィリアム・トムソン（ケルビン卿）は1884年の講義でこの用語をアメリカの聴衆に紹介しました。^[2]そのメモは1904年にイギリスとアメリカで出版されました。^[11]

この名前は1891年にオリバー・ヘヴィサイドによって認められ、批判された。^[12]

架空のベクトル∇は

${\displaystyle \nabla =\mathbf {i} \nabla _{1}+\mathbf {j} \nabla _{2}+\mathbf {k} \nabla _{3}=\mathbf {i} {\frac {d}{dx}}+\mathbf {j} {\frac {d}{dy}}+\mathbf {k} {\frac {d}{dz}}}$

は非常に重要です。物理数学は主に∇の数学です。したがって、Nabla という名前はばかばかしいほど非効率的に思えます。

ヘヴィサイドとジョサイア・ウィラード・ギブスは（独立して）今日最も人気のあるベクトル計算のバージョンを開発したとされている。^[13]

エドウィン・ビッドウェル・ウィルソンがギブスの講義に基づいて書いた 1901年の影響力のあるテキスト「ベクトル解析」^{では、「デル」という名前を推奨している。 [14]}

この記号演算子 ∇ は、WR ハミルトン卿によって導入され、現在では広く使用されています。ただし、この記号は頻繁に使用されるため、何らかの名前が実用上必要ではあるものの、この記号には一般的に認識されている名前はないようです。経験上、単音節のdelは非常に短く発音しやすいため、∇ が何度も使用される複雑な式でも、繰り返しによって話者や聞き手に不便が生じることはありません。∇ Vは単に「del V」 と読みます。

この本は、問題の演算子の数学的表現形式を現在一般的に採用しているものであり、特に学部レベルの物理学、特に電気力学の教科書でよく見られる形式です。

ナブラはベクトル解析において、勾配(∇)、発散(∇⋅)、回転(∇×) という3 つの異なる微分演算子の一部として使用されます。これらの最後のものは外積を使用するため、3 次元でのみ意味を持ちます。最初の 2 つは完全に一般化されています。これらはすべて元々は古典的な電磁気学の理論の文脈で研究され、現代の大学の物理学のカリキュラムでは通常、ギブスとウィルソンのベクトル解析に見られる概念と表記法を使用して題材を扱っています。

この記号は微分幾何学において接続を表すためにも使用されます。

同じ形のシンボルは、おそらく系譜的には関連がないものの、他の地域にも現れます。たとえば、

• 特に格子理論におけるすべての関係として。
• 差分積分における後退差分演算子として。
• コンピュータサイエンスの抽象解釈の分野において、プログラムの静的解析が有限時間内に終了することを可能にする演算子である拡大演算子。
• APLプログラミング言語における関数定義マーカーおよび自己参照（再帰）として
• 哲学的論理における不確定性の指標として^[15 ]
• 造船学（船舶設計）では、船舶またはその他の水上船舶の容積排水量を指定します。図に似たデルタは、重量排水量（船舶が排水した水の総重量）を指定するために使用されます。つまり、は海水の密度です。${\displaystyle \nabla =\Delta /\rho }$${\displaystyle \rho }$

• Del、ベクトル微分演算子の数学を扱う
• 円筒座標と球座標でのDel
• grad、div、curl、 nabla を使用して定義された微分演算子
• 四元数の歴史
• 微分表記
• 共変微分、接続とも呼ばれる
• ネヴェル^[7]

• アーノルド・ノイマイヤー (2004)。「ナブラの歴史」
• Arnold Neumaier (1998 年 1 月 26 日)。Cleve Moler (編)。「Nabla の歴史」。NA Digest、第 98 巻、第 03 号。netlib.org。
• ミラー、ジェフ。「微積分記号の初期の使用」。
• タイ、チェン. ベクトル解析における∇の不適切な使用に関する調査 (1994)。