テイトの推測

テイト予想は、19世紀の数学者ピーター・ガスリー・テイトが結び目の研究の中で立てた3つの予想である。^{[ 1 ]}テイト予想は、交代結び目、カイラリティ、ねじれなどの結び目理論の概念に関係している。テイト予想はすべて解決されており、最も新しいのはフライング予想である。

テイトは19世紀後半にすべての結び目を表にまとめようとした後、これらの予想を思いついた。結び目理論の分野の創始者として、彼の研究は数学的に厳密な枠組みを欠いており、予想がすべての結び目に適用されることを意図していたのか、それとも交代結び目のみに適用されることを意図していたのかは不明である。実際、それらのほとんどは交代結び目にのみ当てはまることがわかった。^{[ 2 ]}テイトの予想では、すべての「イスミ」または「無意味な交差」が取り除かれた場合、結び目図は「簡約」と呼ばれる。

テイトは、特定の状況下では、交差数が結び目の不変量であると推測した。具体的には、次の通りである。

交互連結線の簡略図は、交差する点が最小となるように作成する。

言い換えれば、縮約交代リンクの交差数は結び目の不変量である。この予想は、1987年にLouis Kauffman、村杉邦男、Morwen ThistlethwaiteによってJones多項式を用いて証明された。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

テイトによる第二の予想：

両稈（または無稈）交互連結は、ねじれがゼロである。

この予想はカウフマンとシスルスウェイトによっても証明された。^{[ 3 ] [ 6 ]}

テイトの飛行予想は次のように述べることができる。

任意の２つの縮小交代図が与えられた場合${\displaystyle D_{1}}$そして${\displaystyle D_{2}}$向き付けられた、素数の交互連結リンクの:${\displaystyle D_{1}}$変換される可能性がある${\displaystyle D_{2}}$フライペと呼ばれる一連の単純な動きによって。^{[ 7 ]}

テイトの飛行予想は、1991年にシスルスウェイトとウィリアム・メナスコによって証明された。 ^{[ 8 ]} テイトの飛行予想は、テイトの予想のいくつかをさらに示唆している。

同じ交代結びの任意の2つの簡略図は、同じねじれ数を持つ。

これは、フライングがねじれを保存することから導かれる。これは以前、村杉とシスルスウェイトによって証明された。^{[ 9 ] [ 6 ]}また、グリーンの研究からも導かれる。^{[ 10 ]} 非交代結び目の場合、この予想は真ではない。ペルコペアは反例である。^{[ 2 ]} この結果は、次の予想も示唆する。

交互両形結び目は偶数個の交差を持つ。^{[ 2 ]}

これは、結び目の鏡像が反対のねじれを持つためである。この推測は、交代結び目の場合にのみ真である。交代しない両極性結び目（交差数15）は存在する。^{[ 11 ]}

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