線形システム

システム理論において、線形システムとは、線形演算子を用いて構築されたシステムの数学的モデルである。線形システムは一般的に、非線形システムに比べてはるかに単純な特徴と特性を示す。数学的な抽象化または理想化として、線形システムは自動制御理論、信号処理、電気通信において重要な応用例を見出す。例えば、無線通信システムの伝搬媒体は、しばしば線形システムによってモデル化できる。

意味

{\displaystyle y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)} — 決定論的連続時間SISOシステムの加法性を示すブロック図。システムが加法性を満たす、または加法的であるのは、以下の条件を満たす場合に限る。 $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$ 永遠に $t$ そしてすべての入力に対して $x_{1}(t)$ そして $x_{2}(t)$ 画像をクリックすると拡大表示されます。

{\displaystyle y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)} — 決定論的連続時間SISOシステムの同次性を示すブロック図。システムが同次性を満たす、または同次であるのは、以下の条件を満たす場合のみである。 $y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)$ 永遠に $t$ すべての実定数に対して $a$ そしてすべての入力に対して $x_{1}(t)$ 画像をクリックすると拡大表示されます。

{\displaystyle y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)} — 決定論的連続時間SISOシステムの重ね合わせ原理を示すブロック図。システムは重ね合わせ原理を満たし、したがって線形であるのは、次の場合に限る。 $y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)$ 永遠に $t$ すべての実定数に対して $a_{1}$ そして $a_{2}$ そしてすべての入力に対して $x_{1}(t)$ そして $x_{2}(t)$ 画像をクリックすると拡大表示されます。

一般的な決定論的システムは、入力 $x$ $($ $t$ $)を$ $t$ の関数として出力 $y$ $($ $t$ $)$ にマッピングする演算子 $H$ によって記述することができ、これは一種のブラックボックス記述である。

システムが線形であるのは、重ね合わせの原理を満たす場合、または同等に、制限なしに加法性と均質性の両方の性質を満たす場合である（つまり、すべての入力、すべてのスケーリング定数、およびすべての時間に対して）。^[¹^]^[²^]^[³^]^[⁴^]

重ね合わせの原理とは、システムへの入力の線形結合が、個々の入力に対応する個々のゼロ状態出力（つまり、初期条件をゼロに設定する出力）の線形結合を生成することを意味する。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

同次性特性を満たすシステムでは、入力のスケーリングは常にゼロ状態応答を同じ係数でスケーリングする結果となる。^{[ 6 ]}加法性特性を満たすシステムでは、2 つの入力を加算すると、個々の入力による対応する 2 つのゼロ状態応答が加算される結果となる。^{[ 6 ]}

数学的には、連続時間システムの場合、2 つの任意の入力が与えられた ${\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}$ それぞれのゼロ状態出力も同様です。 ${\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}$ すると線形システムは以下を満たさなければならない $\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$ 任意のスカラー値 $α$ および $β$ 、任意の入力信号 $x 1 (t)$ および $x 2 (t)$ 、およびすべての時間 $t$ に対して。

システムは、方程式 $H (x (t)) = y (t)$ で定義されます。ここで、 $y (t)$ は時間の任意の関数であり、 $x (t)$ はシステムの状態です。y ( t ) と H が与えられれば $、システムを$ 解い $て$ $x$ ( t ) を求める $ことができます$ 。

複雑な入力を受けた結果生じるシステムの挙動は、より単純な入力に対する応答の和として記述できます。非線形システムでは、このような関係はありません。この数学的性質により、モデル化方程式の解法は多くの非線形システムよりも簡単になります。時不変システムの場合、これはインパルス応答法または周波数応答法（LTIシステム理論を参照）の基礎となっており、これらの方法では、一般的な入力関数 $x (t)を$ 単位インパルスまたは周波数成分で記述します。

線形時不変システムの典型的な微分方程式は、連続系の場合にはラプラス変換、離散系の場合にはZ変換を用いた解析に適している（特にコンピュータによる実装において）。

別の見方としては、線形システムの解は、幾何学的な意味でベクトルのように振る舞う関数のシステムから構成されるという考え方がある。

線形モデルの一般的な用途の一つは、非線形システムを線形化によって記述することです。これは通常、数学的な便宜のために行われます。

線形システムの前述の定義は、SISO（単入力単出力）システムに適用できます。MIMO（多入力多出力）システムの場合、入力信号ベクトルと出力信号ベクトル（ ${\mathbf {x} }_{1}(t)$ 、 ${\mathbf {x} }_{2}(t)$ 、 $\displaystyle {\mathbf {y} }_{1}(t)}$ 、 ${\mathbf {y} }_{2}(t)$ 入力信号と出力信号の代わりに ) が考慮される ( $x_{1}(t)$ 、 $x_{2}(t)$ 、 $\displaystyle y_{1}(t)$ 、 $y_2(t)$ .) ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}

この線形システムの定義は、微積分における線形微分方程式の定義や、線形代数における線形変換の定義と類似している。

例

単振動子は次の微分方程式に従う。 $m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.$

もし $H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),$ すると、 $H$ は線形演算子になります。y $($ $t$ $) = 0$ とすると、微分方程式は $H$ $($ $x (t)) = y (t)$ と書き換えられ、これは単振動子が線形システムであることを示しています。

線形システムのその他の例としては、以下が挙げられます。 $y(t)=k\,x(t)$ 、 $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ 、 $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$ 、および通常の線形微分方程式で記述されるシステム。^{[ 4 ]} $y(t)=k$ 、 $y(t)=k\,x(t)+k_{0}$ 、 $\displaystyle y(t)=\sin {[x(t)]}}$ 、 $y(t)=\cos {[x(t)]}$ 、 $y(t)=x^{2}(t)$ 、 ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$ 、 $y(t)=|x(t)|$ 線形領域と飽和（定数）領域からなる奇対称出力を持つシステムは、重ね合わせの原理を常に満たすとは限らないため、非線形である。^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

線形システムの出力対入力グラフは、原点を通る直線である必要はありません。たとえば、次のようなシステムを考えてみましょう。 $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ （例えば、定容量コンデンサや定インダクタンスインダクタなど）。重ね合わせの原理を満たすため、線形です。ただし、入力が正弦波の場合、出力も正弦波になるため、その出力-入力グラフは原点を通る直線ではなく、原点を中心とする楕円になります。

また、線形システムの出力は、入力が正弦波であっても高調波を含むことがあり（そして入力よりも基本周波数が小さくなる）、例えば、次のようなシステムを考えてみましょう。 $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ 重ね合わせの原理を満たすため、線形です。ただし、入力が次の形式の正弦波である場合 $x(t)=\cos {(3t)}$ 積和三角関数恒等式を用いると、出力は容易に次のようになることが示される。 $y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}}$ つまり、出力は入力と同じ周波数（3 rad/s）の正弦波だけでなく、2 rad/sと4 rad/sの周波数の正弦波も含まれる。さらに、出力の正弦波の基本周期の最小公倍数を取ると、出力の基本角周波数は1 rad/sであることが示され、これは入力の角周波数とは異なる。

時間変動インパルス応答

線形システムの時間変動インパルス応答 $h (t 2, t 1)は、時刻$ t = t ₁で加えられた単一のインパルスに対する時刻 $t = t 2$ でのシステムの応答として定義されます。言い換えれば、線形システムへの入力 $x (t)が$ $x(t)=\delta (t-t_{1})$ ここで、 $δ(t)は$ ディラックのデルタ関数を表し、システムの対応する応答 $y (t)は$ $y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})$ このとき、関数 $h (t 2, t 1)$ はシステムの時間変動インパルス応答である。入力が加えられる前にシステムは応答できないため、次の因果関係条件を満たす必要がある。 $h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}$

畳み込み積分

一般的な連続時間線形システムの出力は、因果律条件により、二重無限範囲にわたって記述できる積分によって入力と関連付けられる。 $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'$

システムの特性が動作時間に依存しない場合、そのシステムは時間不変であると言われ、 $hは時間差$ $τ = t - t'$ のみの関数であり、 $τ < 0$ (つまり $t < t'$ )の場合はゼロになります $。h$ を再定義することで、入出力関係を等価的に次のいずれかの方法で記述することが可能になります。 $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(tt')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(tt')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$

線形時不変システムは、一般的にインパルス応答関数のラプラス変換である伝達関数によって特徴付けられます。 伝達関数とは、次の式で表されます。 $H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.$

応用上、これは通常 s の有理代数関数です $。h($ $t$ )は負の t に対してゼロであるため $、$ $積分$ $は$ $二$ 重無限範囲で同様に記述でき、 $s$ $=$ $iω$ とすると周波数応答関数の式は次のようになります。 $H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt$

離散時間システム

任意の離散時間線形システムの出力は、時間変化する畳み込み和によって入力と関連付けられる。 $y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}$ $または、 h$ を再定義する時間不変システムの場合、 $y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}$ どこ $k=n-m$ これは、時刻mにおける刺激と時刻nにおける反応との間の時間差を表します。

参考文献

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線形システム

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例

時間変動インパルス応答

畳み込み積分

離散時間システム

関連項目

参考文献

関連するトピック

システム理論

線形演算子

システム

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