ワイル方程式

物理学、特に場の量子論において、ワイル方程式はワイルフェルミオンと呼ばれる質量のないスピン 1/2粒子を記述する相対論的波動方程式です。この方程式はヘルマン・ワイルにちなんで名付けられました。ワイルフェルミオンは、ディラックフェルミオンとマヨラナフェルミオンとともに、3 種類の基本フェルミオンのうちの 1 つです。

標準モデルにおける素粒子はどれもワイル粒子ではない。ニュートリノ振動が確認される前は、ニュートリノはワイル粒子である可能性があると考えられていた（現在ではディラック粒子かマヨラナ粒子のいずれかであると予想されている）。凝縮系物理学では、一部の物質はワイル粒子として振る舞う準粒子を示すことがあり、ワイル半金属という概念につながる。

数学的には、任意のディラック電子は、質量項によって結合された反対のカイラリティを持つ2つのワイル電子として分解できます。^[1]

ディラック方程式は1928年にポール・ディラックによって発表され、相対論的量子力学の枠組みの中でスピン1/2粒子をモデル化するために初めて使用されました。^[2]ヘルマン・ワイルは1929年にディラック方程式の簡略版として方程式を発表しました。^{[2] [3]}ヴォルフガング・パウリは1933年にワイル方程式がパリティに違反しているとして反対の意見を述べました。^{[4]しかしその3年前にパウリは}ベータ崩壊を説明するためにニュートリノという新しい基本フェルミオンの存在を予言しており、最終的にワイル方程式を使用して記述されました。

1937年、コニャーズ・ヘリングは、ワイルフェルミオンが凝縮物質中の準粒子として存在する可能性があると提唱した。 ^[5]

ニュートリノは1956年に実験的に極めて小さな質量を持つ粒子として観測された（歴史的には質量がないと考えられていたこともあった）。^[4]同年、ウーの実験により弱い相互作用によってパリティが破れる可能性があることが示され、パウリの批判に対処した。^[6]これに続いて1958年にニュートリノのヘリシティが測定された。 ^[4]実験でニュートリノの質量の兆候が見られなかったため、ワイル方程式への関心が再浮上した。こうして、ニュートリノがワイルフェルミオンであるという仮定のもとに標準モデルが構築された。 ^[4]

イタリアの物理学者ブルーノ・ポンテコルボは1957年にニュートリノの質量とニュートリノ振動の可能性を提唱していたが^[4]、ニュートリノ振動の存在とその非ゼロ質量は1998年になってようやくスーパーカミオカンデによって確認された。 ^[4]この発見により、ワイル方程式は質量のない粒子しか記述できないため、ニュートリノの伝播を完全に記述できないことが確認された。^[2]

2015年、プリンストン大学のMZハサン氏と中国科学院のH.ディン氏のチームの協力により、タンタルヒ素（TaAs）結晶で最初のワイル半金属が実験的に実証されました。[ ^5]同年、マサチューセッツ工科大学のM.ソルジャチッチ氏チームも独立して、フォトニック結晶でワイルのような励起を観測しました。^[5]

ワイル方程式には2つの形式がある。右手形式は次のように書ける: ^{[7] [8] [9]}

${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

この式を展開し、光速を代入すると、 ${\displaystyle c}$

${\displaystyle I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0}$

どこ

${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma _{x}&\sigma _{y}&\sigma _{z}\end{pmatrix}}}$

は、 の2×2単位行列とのパウリ行列を成分とするベクトルであり、は波動関数（ワイルスピノルの1つ）です。ワイル方程式の左手形式は通常、次のように記述されます。 ${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \mu =1,2,3,}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0}$

どこ

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}I_{2}&-\sigma _{x}&-\sigma _{y}&-\sigma _{z}\end{pmatrix}}~.}$

右手系と左手系のワイル方程式の解は異なります。それぞれ右手系と左手系のヘリシティを持ち、したがってカイラリティも持ちます。これを明示的に示すと便利です。次のようにします。${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0}$${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0~.}$

ワイル方程式の平面波解は左手系と右手系のワイルスピノルと呼ばれ、それぞれ2つの成分を持ちます。どちらも次の形式を持ちます。

${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}=\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$、

どこ

${\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}}$

は運動量依存の2成分スピノルであり、

${\displaystyle \sigma ^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$

または

${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\chi =\left(I_{2}E+{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$。

直接操作すると、

${\displaystyle \left({\bar {\sigma }}^{\nu }p_{\nu }\right)\left(\sigma ^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =\left(\sigma ^{\nu }p_{\nu }\right)\left({\bar {\sigma }}^{\mu }p_{\mu }\right)\chi =p_{\mu }p^{\mu }\chi =\left(E^{2}-{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}\right)\chi =0}$、

そして、方程式は質量のない粒子に対応していると結論付けています。結果として、運動量の大きさは、 ド・ブロイの関係によって波数ベクトルに直接関係します。 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |={\frac {\hbar \omega }{c}}\,\Rightarrow \,|\mathbf {k} |={\frac {\omega }{c}}}$

この方程式は、左手系と右手系のスピノルを使って次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}&=0\\{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}&=0\end{aligned}}}$

左と右の成分は粒子のらせん性、つまり角運動量演算子の線形運動量への投影に対応します。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle }$

ここ${\textstyle \lambda =\pm {\frac {1}{2}}~.}$

どちらの方程式もローレンツ変換に対してローレンツ不変である。より正確には、方程式は次のように変換される。 ${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }=\Lambda x}$${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3)~.}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {R}}(x)}$

ここで はエルミート転置であり、右手系は次のように変換される。 ${\displaystyle S^{\dagger }}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

この行列は、ローレンツ群の特殊線型群による二重被覆によってローレンツ変換と関連しており、 ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

したがって、変換されていない微分が 1 つのローレンツ フレームで消える場合、別のローレンツ フレームでも消えます。同様に、

${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)\mapsto {\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S{\overline {\sigma }}^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi _{\rm {L}}(x)}$

左手系は次のように変換されるものとする。

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}(x)~.}$

証明: これらの変換特性はどちらも決して「自明」ではないので、慎重に導出する必要がある。まず、次の式から始める。

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=R\psi _{\rm {R}}(x)}$

未知の何かが決定される。座標におけるローレンツ変換は、 ${\displaystyle R\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle x^{\nu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }x^{\prime \mu }}$

これは

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)\\&=\sigma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

ワイルマップを利用するためには

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

いくつかのインデックスを上げたり下げたりする必要がある。これは言うほど簡単ではない。

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\mathsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}}$

ここで、は平坦空間ミンコフスキー計量です。上記の恒等式は、要素を定義するためによく使用されます。転置をとると、 ${\displaystyle \eta ={\mbox{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$${\displaystyle \Lambda \in \mathrm {SO} (1,3).}$

${\displaystyle {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }}$

書く

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)&=\sigma ^{\mu }{\left(\Lambda ^{-1{\mathsf {T}}}\right)_{\mu }}^{\nu }\partial _{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\partial ^{\nu }R\psi _{\rm {R}}(x)\\&=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\mu }\partial ^{\mu }S^{-1}R\psi _{\rm {R}}(x)\end{aligned}}}$

つまり、左手方程式に対して同じ操作を行うと、次の結論が得られる。 ${\displaystyle S^{-1}R=1,}$${\displaystyle R=S.}$

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}(x)\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=L\psi _{\rm {L}}(x)}$

^[a]と${\displaystyle L=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}.}$

ワイル方程式は慣例的に質量のない粒子を記述するものとして解釈される。しかし、少し変更を加えると、マヨラナ方程式の2成分バージョンが得られる。^{[10]これは、}特殊線型群が シンプレクティック群と同型であるためである。シンプレクティック群は、次を満たすすべての複素2×2行列の集合として定義される。 ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )~.}$

${\displaystyle S^{\mathsf {T}}\omega S=\omega }$

どこ

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

定義関係は次のように書き直すことができる。ここで は複素共役である。右手系は、前述のように、次のように変換される。 ${\displaystyle \omega S^{*}=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\omega }$${\displaystyle S^{*}}$

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }\left(x^{\prime }\right)=S\psi _{\rm {R}}(x)}$

そして複素共役体は次のように変換される。

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=S^{*}\psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

定義関係を適用すると、次のような結論が導かれる。

${\displaystyle m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)\mapsto m\omega \psi _{\rm {R}}^{\prime *}\left(x^{\prime }\right)=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

これは、先に述べたローレンツ共分散特性と全く同じである。したがって、任意の複素位相係数を用いた線形結合は、${\displaystyle \eta =e^{i\phi }}$

${\displaystyle i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}(x)+\eta m\omega \psi _{\rm {R}}^{*}(x)}$

は共変的に変換されます。これをゼロにすると、複素2成分マヨラナ方程式が得られます。マヨラナ方程式は、2成分複素方程式ではなく、4成分実方程式として慣例的に記述されます。上記は4成分形式にすることができます（詳細についてはその記事を参照してください）。同様に、左カイラルマヨラナ方程式（任意の位相因子 を含む）は、 ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}(x)+\zeta m\omega \psi _{\rm {L}}^{*}(x)=0}$

前述のように、左カイラル バージョンと右カイラル バージョンはパリティ変換によって関連付けられます。歪んだ複素共役は、電荷共役形式として認識できます。したがって、マヨラナ方程式は、スピノルをその電荷共役形式に関連付ける方程式として読み取ることができます。質量項の 2 つの異なる位相は、電荷共役演算子の 2 つの異なる固有値に関連しています。詳細については、 電荷共役とマヨラナ方程式を参照してください。${\displaystyle \omega \psi ^{*}=i\sigma ^{2}\psi }$${\displaystyle \psi ~.}$

一対の演算子、マヨラナ演算子を定義する。

${\displaystyle D_{\rm {L}}=i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\qquad D_{\rm {R}}=i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K}$

ここで、は複素共役を取るための簡略な注意書きである。ローレンツ変換では、これらは次のように変換される。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle D_{\rm {L}}\mapsto D_{\rm {L}}^{\prime }=SD_{\rm {L}}S^{\dagger }\qquad D_{\rm {R}}\mapsto D_{\rm {R}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}D_{\rm {R}}S^{-1}}$

一方、ワイルスピノルは次のように変換される。

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}\mapsto \psi _{\rm {L}}^{\prime }=\left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{\rm {L}}\qquad \psi _{\rm {R}}\mapsto \psi _{\rm {R}}^{\prime }=S\psi _{\rm {R}}}$

上と同様である。したがって、これらの組み合わせはローレンツ共変であり、

${\displaystyle D_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}=0\qquad D_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}=0}$

複素 2 スピノルのマヨラナ方程式のペアとして。

積と積はともにローレンツ共変である。積は明示的に ${\displaystyle D_{\rm {L}}D_{\rm {R}}}$${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}}$

${\displaystyle D_{\rm {R}}D_{\rm {L}}=\left(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }+\eta m\omega K\right)\left(i{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }+\zeta m\omega K\right)=-\left(\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}+\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)=-\left(\square +\eta \zeta ^{*}m^{2}\right)}$

これを検証するには、 および であることを念頭に置く必要があります。が成り立つ場合、 RHS はKlein–Gordon 演算子に簡約されます。つまり、これら 2 つのマヨラナ演算子は、Klein–Gordon 演算子の「平方根」です。 ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$${\displaystyle Ki=-iK~.}$${\displaystyle \eta \zeta ^{*}=1}$${\displaystyle \eta =\zeta ~.}$

これらの方程式はラグランジアン密度から得られる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {R}}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}~,}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\psi _{\rm {L}}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}~.}$

スピノルとその共役（ と表記）を独立変数として扱うことで、関連するワイル方程式が得られます。 ${\displaystyle \dagger }$

ワイル スピノルという用語は、クリフォード モジュールの要素として、より一般的な設定でも頻繁に使用されます。これは、上で示したソリューションと密接に関連しており、スピノルを多様体上に存在する幾何学的オブジェクトとして自然な幾何学的解釈を与えます。この一般的な設定には、物理​​学におけるフェルミオンとしての解釈を明確にし、一般相対性理論、または実際のところ任意のリーマン多様体または擬リーマン多様体でスピン を定義する方法を正確に示すなど、複数の利点があります。これは次のように非公式に概略されます。

ワイル方程式は、ローレンツ群の作用の下で不変です。つまり、ブーストや回転が適用されても、方程式の形自体は変化しません。ただし、スピノルの形自体は変化します。 時空を完全に無視すると、スピノルの代数は (複素化された)クリフォード代数によって記述されます。スピノルは、スピン群の作用の下で変換します。これは、ベクトルについて話す方法と、それが回転群 の下でどのように変換されるかと完全に類似していますが、スピノルの場合に適応されている点が異なります。 ${\displaystyle \psi }$

次元 の任意の擬リーマン多様体が与えられたとき、その 接束を考えることができる。任意の点において、接空間 は次元ベクトル空間である。このベクトル空間が与えられたとき、その上にクリフォード代数を構築することができる。 が 上のベクトル空間基底である場合、ワイルスピノルのペアを次のように構築することができる^[11]${\displaystyle M}$${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle T_{x}M}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle \mathrm {Cl} (p,q)}$${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle T_{x}M}$

${\displaystyle w_{j}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}+ie_{2j+1}\right)}$

そして

${\displaystyle w_{j}^{*}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e_{2j}-ie_{2j+1}\right)}$

クリフォード代数の観点から適切に検討すると、これらは自然に反可換であり、つまり、 となります。これは、パウリの排他原理の数学的実現としてうまく解釈することができ、したがって、これらの抽象的に定義された形式構造をフェルミオンとして解釈することができます。次元ミンコフスキー時空の場合、上記のように慣例により「左」と「右」と呼ばれる 2 つのスピノルのみが可能です。ワイルスピノルのより形式的で一般的な説明は、スピン グループに関する記事にあります。 ${\displaystyle w_{j}w_{m}=-w_{m}w_{j}~.}$${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$

ワイル方程式の抽象的、一般相対論的形式は、次のように理解できます。擬似リーマン多様体が与えられた場合、その上にファイバーバンドルを構築し、スピン群をファイバーとして使用します。スピン群は特殊直交群の二重被覆であるため、スピン群をファイバー単位で上のフレームバンドルと同一視できます。これを行うと、結果として得られる構造はスピン構造と呼ばれます。 ${\displaystyle M,}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$${\displaystyle M~.}$

ファイバー上の 1 つの点を選択することは、時空のローカル座標フレームを選択することに対応します。ファイバー上の 2 つの異なる点は、(ローレンツ) ブースト/回転、つまりローカル座標の変更によって関連付けられます。スピン構造の自然な構成要素はワイル スピノルであり、スピン構造は、(ローレンツ) ブースト/回転の下でスピノルがどのように動作するかを完全に記述します。

スピン多様体が与えられた場合、計量接続の類似物はスピン接続です。これは、通常の接続と実質的に「同じもの」ですが、スピンインデックスが一貫した方法でそれに付加されています。共変微分は、接続に関して完全に従来の方法で定義できます。これは、クリフォードバンドルに自然に作用します。クリフォードバンドルは、スピノルが存在する空間です。このような構造とその関係の一般的な調査は、スピン幾何学と呼ばれます。

が偶数の場合、複素クリフォード代数の偶数部分代数は（ ）と同型です。 次元空間における左手系（それぞれ右手系）の複素ワイルスピノルは（それぞれ）の元です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} l^{0}(n)}$${\displaystyle \mathbb {C} l(n)}$${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})\oplus \mathrm {End} (\mathbb {C} ^{N/2})=:\Delta _{n}^{+}\oplus \Delta _{n}^{-}}$${\displaystyle N=2^{n/2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta _{n}^{+}}$${\displaystyle \Delta _{n}^{-}}$

ワイルスピノルから構築できる重要な特殊なケースが3つあります。1つはディラックスピノルで、これは左手と右手のワイルスピノルのペアとして考えることができます。これらは、電荷を帯びたフェルミオン場を表すように結合されています。電荷は、ディラック場が複素スピン群の作用を受けて変換されるために発生します。この群は構造を持ちます。 ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$

${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)\cong \mathrm {Spin} (p,q)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$

ここで は円であり、電磁気学のと同一視できます。積は、反対の点が同一視された積を表す単なる特殊な表記法です(二重被覆)。 ${\displaystyle S^{1}\cong \mathrm {U} (1)}$${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)\times S^{1}}$${\displaystyle (s,u)=(-s,-u)}$

マヨラナスピノルは、再びワイル スピノルのペアですが、今回は左手スピノルが右手スピノルの電荷共役になるように配置されています。その結果、ディラック スピノルよりも自由度が 2 つ少ないフィールドになります。グループの作用下でスカラーとして変換されるため、電磁場と相互作用することはできません。つまり、スピノルとして変換されますが、横方向に変換されるため、スピン グループの作用 下で不変です。${\displaystyle \mathrm {spin} ^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$

3 番目の特殊なケースは ELKO スピノルです。これは、電荷共役ペアの間にマイナス記号が追加されていることを除いて、マヨラナ スピノルとほぼ同じように構成されています。これにより、これも電気的に中性になりますが、他にも非常に驚くべき特性がいくつか導入されます。

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