三角関数

以下の表は、0度から90度までの15度の倍数における正弦、余弦、正接を示しています。

サインとコサインは、初期値問題の唯一の解として定義できます。^{[ 16 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x,\ {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1.}$$

再び微分すると、${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x={\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}$そして${\textstyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cos x=-{\frac {d}{dx}}\sin x=-\cos x}$したがって、正弦と余弦はどちらも同じ常微分方程式の解である。$${\displaystyle y''+y=0\,.}$$サインはy (0) = 0かつy ′(0) = 1 となる唯一の解であり、コサインはy (0) = 1かつy ′(0) = 0となる唯一の解である。

すると、定理として解が${\displaystyle \cos ,\sin }$周期性があり、同じ周期を持つ。この周期を次のように書く。${\displaystyle 2\pi }$これは実数の定義である${\displaystyle \pi }$これは形状とは無関係である。

商の法則を接線に適用する${\displaystyle \tan x=\sin x/\cos x}$、 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x\,,}$$ したがって、接線関数は常微分方程式を満たす。 $${\displaystyle y'=1+y^{2}\,.}$$これはy (0) = 0 となる唯一の解です。

基本的な三角関数は、次のべき級数展開によって定義できます。^{[ 17 ]}これらの級数は、これらの三角関数の テイラー級数またはマクローリン級数としても知られています。$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\end{aligned}}}$$これらの級数の収束半径は 無限です。したがって、正弦関数と余弦関数は、 （定義により）複素数値関数であり、複素平面全体で定義され、正則である整関数（「正弦」および「余弦」とも呼ばれる）に拡張できます。

項ごとの微分を行うと、級数によって定義される正弦と余弦は、先に述べた微分方程式に従うことがわかり、逆に、微分方程式から導出される基本的な漸化式からこれらの級数を得ることができる。

全体関数の分数として定義される他の三角関数は、有理型関数、すなわち極と呼ばれるいくつかの孤立点を除いて複素平面全体で正則な関数に拡張することができます。ここで、極は次の形式の数値です。${\textstyle (2k+1){\frac {\pi }{2}}}$接線と割線については、${\displaystyle k\pi }$コタンジェントとコセカントについて、kは任意の整数である。

他の三角関数のテイラー級数の係数についても漸化式を計算することができます。これらの級数は有限の収束半径を持ちます。その係数は組み合わせ論的な解釈を持ち、有限集合の交代順列を列挙します。^{[ 18 ]}

より正確に定義すると、

U _n、n番目のアップ/ダウン番号、

B _nはn番目のベルヌーイ数であり、

E _nはn番目のオイラー数です。

1つは次のような級数展開を持つ：^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8mu]&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&{}=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}+{\frac {1}{6}}x+{\frac {7}{360}}x^{3}+{\frac {31}{15120}}x^{5}+\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[5mu]&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\[5mu]&=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

以下の連分数は複素平面全体で有効です。

^{[ 20 ]}$${\displaystyle \sin x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \cos x={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}}$$

$${\displaystyle \tan x={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{3-{\cfrac {x^{2}}{5-{\cfrac {x^{2}}{7-\ddots }}}}}}}}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}-{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}-\ddots }}}}}}}}}$$

最後のものは、πが無理数であることを歴史的に初めて証明する際に使用された。^{[ 21 ]}

急速に収束する連分数がある${\displaystyle \tan(x)}$: ^{[ 22 ]}

$${\displaystyle \tan x=1+{\cfrac {5x^{2}}{T_{0}+5x^{2}}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4x^{2}(4k+3)+{\cfrac {x^{2}(4k+1)}{1+{\cfrac {x^{2}(4k+9)}{T_{k+1}}}}}}$$ させて${\displaystyle x=1}$すると、次の連分数表現では、（漸近的に）1サイクルあたり12.68桁の新しい正しい小数点以下の桁数が得られます。 $${\displaystyle \tan 1=1+{\cfrac {5}{T_{0}+5}},T_{k}=(4k+1)(4k+3)(4k+5)-4(4k+3)+{\cfrac {4k+1}{1+{\cfrac {4k+9}{T_{k+1}}}}}}$$

部分分数展開による級数表現では、単に平行移動した逆関数を合計することで、コタンジェント関数と逆関数の極が一致するようにする。 ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \pi \cot \pi x=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{x+n}}.}$$この恒等式はヘルグロッツのトリック で証明できる。^{[ 24 ]} (–n )番目の項とn番目の項 を組み合わせると、絶対収束する級数が得られる。 $${\displaystyle \pi \cot \pi x={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-n^{2}}}.}$$ 同様に、正割関数、余割関数、正接関数についても部分分数展開を求めることができる。 $${\displaystyle \pi \csc \pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x+n}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{x^{2}-n^{2}}},}$$$${\displaystyle \pi ^{2}\csc ^{2}\pi x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}},}$$$${\displaystyle \pi \sec \pi x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n+1)}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}},}$$$${\displaystyle \pi \tan \pi x=2x\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+{\tfrac {1}{2}})^{2}-x^{2}}}.}$$これらの級数は、ミッタッグ＝レフラー展開（ミッタッグ＝レフラーの定理を使用） から導き出すことができる。

正弦の次の無限積はレオンハルト・オイラーによるもので、複素解析において非常に重要です。^{[ 25 ]}$${\displaystyle \sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$$ これは、部分分数分解から得られる可能性がある。${\displaystyle \cot z}$上記で示した、これはの対数微分である${\displaystyle \sin z}$[ ^{26 ]}このことから、次のことも推測できる ^。$${\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right),\quad z\in \mathbb {C} .}$$

オイラーの公式は、正弦と余弦を指数関数に関連付けるものである。 $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$$ この公式は一般的に実数xに対して用いられるが、複素数xに対しても成り立つ。

証明:${\displaystyle f_{1}(x)=\cos x+i\sin x,}$そして${\displaystyle f_{2}(x)=e^{ix}.}$1つは${\displaystyle df_{j}(x)/dx=if_{j}(x)}$j = 1, 2の場合。商の法則は、したがって次のことを意味する。${\displaystyle d/dx\,(f_{1}(x)/f_{2}(x))=0}$。 したがって、${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$は定数関数であり、1、${\displaystyle f_{1}(0)=f_{2}(0)=1.}$これは公式の正しさを証明する。

1つは $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\[5pt]e^{-ix}&=\cos x-i\sin x.\end{aligned}}}$$

この正弦関数と余弦関数に関する線形システムを解くと、指数関数を用いて次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\[5pt]\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.\end{aligned}}}$$

xが実数の場合、これは次のように書き換えることができます。 $${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right),\qquad \sin x=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right).}$$

ほとんどの三角関数の恒等式は、上記の式を用いて三角関数を複素指数関数で表し、その後恒等式を用いることで証明できます。${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}}$結果を簡略化するため。

オイラーの公式は、位相群の言語を用いて、以下のように基本的な三角関数を直接定義するためにも使用できる。^{[ 27 ]}この集合は${\displaystyle U}$単位法の複素数の集合はコンパクトで連結な位相群であり、その単位元の近傍は実数直線と同相である。したがって、位相群としては一次元トーラス群と同型である。${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$同型写像を介して $${\displaystyle e:\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to U.}$$ 簡単に言うと、${\displaystyle e(t)=\exp(2\pi it)}$そして、この同型性は複素共役を取る場合を除いて一意である。

ゼロでない実数の場合${\displaystyle a}$（基底）、関数${\displaystyle t\mapsto e(t/a)}$群の同型を定義する${\displaystyle \mathbb {R} /a\mathbb {Z} \to U}$実部と虚部${\displaystyle e(t/a)}$はコサインとサインであり、${\displaystyle a}$は角度を測定するための基準として使用されます。たとえば、${\displaystyle a=2\pi }$ラジアンでの測定値と通常の三角関数が得られます。${\displaystyle a=360}$すると、度数で測定された角度の正弦と余弦が得られます。

ご了承ください${\displaystyle a=2\pi }$は導関数の一意の値です $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e(t/a)}$$正の虚部を持つ単位ベクトル になる${\displaystyle t=0}$この事実は、定数を定義するために利用できる。${\displaystyle 2\pi }$。

解析学における三角関数の定義方法の一つとして、積分を用いる方法がある。^{[ 13 ] [ 28 ]}実数の場合${\displaystyle t}$、 置く $${\displaystyle \theta (t)=\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\arctan t}$$ ここで、これは逆正接関数を定義します。また、${\displaystyle \pi }$定義される $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int _{0}^{\infty }{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$カール・ワイエルシュトラス に遡る定義。^{[ 29 ]}

休憩時間に${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$三角関数は、次の関係式を反転させることによって定義されます。${\displaystyle \theta =\arctan t}$したがって、三角関数は次のように定義されます。 $${\displaystyle \tan \theta =t,\quad \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2},\quad \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}}$$ そのポイント${\displaystyle (t,\theta )}$はグラフ上にあります${\displaystyle \theta =\arctan t}$そして正の平方根を取る。

これは三角関数を定義します${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$定義は、まず次の点に注目することで、すべての実数に拡張できます。${\displaystyle \theta \to \pi /2}$、${\displaystyle t\to \infty }$、 など${\displaystyle \cos \theta =(1+t^{2})^{-1/2}\to 0}$そして${\displaystyle \sin \theta =t(1+t^{2})^{-1/2}\to 1}$。 したがって${\displaystyle \cos \theta }$そして${\displaystyle \sin \theta }$連続的に拡張されるため${\displaystyle \cos(\pi /2)=0,\sin(\pi /2)=1}$条件は${\displaystyle \cos(\theta +\pi )=-\cos(\theta )}$そして${\displaystyle \sin(\theta +\pi )=-\sin(\theta )}$正弦と余弦を周期関数として定義する${\displaystyle 2\pi }$すべての実数に対して。

正弦と余弦の基本的な性質、すなわち正弦と余弦が解析的であるという事実を証明することで、まず加算公式を確立することができる。まず、 $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\arctan {\frac {s+t}{1-st}}}$$ 保持する、ただし${\displaystyle \arctan s+\arctan t\in (-\pi /2,\pi /2)}$、 以来 $${\displaystyle \arctan s+\arctan t=\int _{-s}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}=\int _{0}^{\frac {s+t}{1-st}}{\frac {d\tau }{1+\tau ^{2}}}}$$ 交代後${\displaystyle \tau \to {\frac {s+\tau }{1-s\tau }}}$特に、極限の場合${\displaystyle s\to \infty }$与える $${\displaystyle \arctan t+{\frac {\pi }{2}}=\arctan(-1/t),\quad t\in (-\infty ,0).}$$ したがって、 $${\displaystyle \sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {-1}{t{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}}={\frac {-1}{\sqrt {1+t^{2}}}}=-\cos(\theta )}$$ そして $${\displaystyle \cos \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(-1/t)^{2}}}}={\frac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}}=\sin(\theta ).}$$ つまり、正弦関数と余弦関数は、1/4周期にわたる平行移動によって関連付けられる。${\displaystyle \pi /2}$。

さまざまな関数方程式を使用して三角関数を定義することもできます。

例えば、^{[ 30 ]}正弦関数と余弦関数は、差分公式を満たす 唯一の連続関数のペアを形成する。$${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,}$$ そして追加条件 $${\displaystyle 0<x\cos x<\sin x<x\quad {\text{ for }}\quad 0<x<1.}$$

複素数の正弦と余弦${\displaystyle z=x+iy}$実数正弦関数、余弦関数、および双曲線関数を用いて、以下のように表現できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$$

領域彩色を利用することで、三角関数を複素数値関数としてグラフ化することが可能になります。グラフからは複素関数特有のさまざまな特徴がわかります。たとえば、正弦関数と余弦関数は、虚数部が無限大であることがわかります。${\displaystyle z}$（白色は無限大を表すため）グラフの値は大きくなり、各零点または極の周りを色がちょうど一周することから、これらの関数が単純な零点または極を持つことが明らかになります。これらのグラフを対応する双曲線関数のグラフと比較すると、両者の関係性が際立ちます。

コサインとセカントは偶関数であり、その他の三角関数は奇関数である。つまり、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-x)&=-\sin x\\\cos(-x)&=\cos x\\\tan(-x)&=-\tan x\\\cot(-x)&=-\cot x\\\csc(-x)&=-\csc x\\\sec(-x)&=\sec x.\end{aligned}}}$$

すべての三角関数は周期2πの周期関数です。これは、最小周期がπである正接と余接を除いて、最小周期です。つまり、すべての整数kに対して、次のようになります 。$${\displaystyle {\begin{array}{lrl}\sin(x+&2k\pi )&=\sin x\\\cos(x+&2k\pi )&=\cos x\\\tan(x+&k\pi )&=\tan x\\\cot(x+&k\pi )&=\cot x\\\csc(x+&2k\pi )&=\csc x\\\sec(x+&2k\pi )&=\sec x.\end{array}}}$$周期性と漸近線を 参照してください。

ピタゴラスの恒等式は、三角関数を用いて ピタゴラスの定理を表現したものです。$${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,.}$$ どちらかで割ると${\displaystyle \cos ^{2}x}$または${\displaystyle \sin ^{2}x}$与える $${\displaystyle \tan ^{2}x+1=\sec ^{2}x}$$$${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$$ そして $${\displaystyle \sec ^{2}x+\csc ^{2}x=\sec ^{2}x\csc ^{2}x\,.}$$

和と差の公式を用いると、2つの角度の和または差の正弦、余弦、正接を、それぞれの角度の正弦、余弦、正接を用いて表すことができます。これらは、プトレマイオスに遡る議論を用いて幾何学的に導出できます（角度の和と差の恒等式を参照）。また、オイラーの公式を用いて代数的に導出することもできます。

和

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x+y\right)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x+y\right)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x+y)&={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$$

違い

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(x-y\right)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\\[5mu]\cos \left(x-y\right)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y,\\[5mu]\tan(x-y)&={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\tan y}}.\end{aligned}}}$$

2つの角度が等しい場合、和の公式は倍角の公式として知られるより単純な方程式に簡略化されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 2x&=2\sin x\cos x={\frac {2\tan x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x={\frac {1-\tan ^{2}x}{1+\tan ^{2}x}},\\[5mu]\tan 2x&={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}.\end{aligned}}}$$

これらの恒等式は、積和恒等式を導出するために使用できます。

設定することで${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }$（半角公式を参照）すべての三角関数${\displaystyle \theta }$有理分数として表すことができる${\displaystyle t}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[5mu]\cos \theta &={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\[5mu]\tan \theta &={\frac {2t}{1-t^{2}}}.\end{aligned}}}$$ と共に $${\displaystyle d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,}$$ これは正接半角置換法であり、三角関数の積分と原始関数の計算を、有理分数の計算に簡略化するものです。

三角関数の導関数は、正弦関数と余弦関数の導関数に商の法則を適用することで得られます。次の表に示されている原始関数の値は、微分することで確認できます。数Cは積分定数です。 

注：${\displaystyle 0<x<\pi }$の積分${\displaystyle \csc x}$次のように書くこともできます${\displaystyle -\operatorname {arsinh} (\cot x),}$そして積分${\displaystyle \sec x}$のために${\displaystyle -\pi /2<x<\pi /2}$として${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\tan x),}$どこ${\displaystyle \operatorname {arsinh} }$は逆双曲線正弦です。

あるいは、「余関数」の導関数は、三角関数の恒等式と連鎖律を用いて求めることもできます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\cos x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sin(\pi /2-x)=-\cos(\pi /2-x)=-\sin x\,,\\{\frac {d\csc x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\sec(\pi /2-x)=-\sec(\pi /2-x)\tan(\pi /2-x)=-\csc x\cot x\,,\\{\frac {d\cot x}{dx}}&={\frac {d}{dx}}\tan(\pi /2-x)=-\sec ^{2}(\pi /2-x)=-\csc ^{2}x\,.\end{aligned}}}$$

このセクションでは、 A、B、Cは三角形の3つの（内）角を表し、a、b、cはそれぞれの対辺の長さを表します。これらは、関連する三角関数によって命名された様々な公式によって関連付けられています。

三角関数は物理学においても重要です。例えば、正弦関数と余弦関数は、単振動を記述するために用いられます。単振動は、ばねに取り付けられた質量の動きや、小さな角度における糸で吊るされた質量の振り子運動など、多くの自然現象をモデル化したものです。正弦関数と余弦関数は、等速円運動の一次元射影です。

三角関数は、一般的な周期関数の研究にも役立つことがわかっています。周期関数の特徴的な波のパターンは、音波や光波などの繰り返し現象をモデル化するのに役立ちます。^{[ 32 ]}

かなり一般的な条件下では、周期関数f ( x )はフーリエ級数における正弦波または余弦波の和として表すことができる。^{[ 33 ]}正弦基底関数または余弦基底関数をφ _kとすると、周期関数f ( t )の展開は次のようになる。 $${\displaystyle f(t)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\varphi _{k}(t).}$$

例えば、方形波はフーリエ級数で表すことができる。$${\displaystyle f_{\text{square}}(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\big (}(2k-1)t{\big )} \over 2k-1}.}$$

右上の矩形波のアニメーションを見ると、わずか数項でもかなり良い近似が得られることがわかります。その下には、のこぎり波の展開における複数の項の重ね合わせが示されています。