公理体系

数学と論理学において、公理系とは、定理を論理的に導くための基本的な概念と公理の集合である。理論とは、通常、公理系とそこから導かれるすべての定理を含む、首尾一貫した、比較的自己完結的な知識体系である。完全に記述された公理系は、特別な種類の形式体系である。形式理論とは、論理的含意の下で閉じられた文の集合を記述する公理系（通常、モデル理論の範囲内で定式化される）である。^[1]形式的証明とは、形式体系内で 数学的証明を完全に表現したものである。

公理系は、矛盾がない場合に一貫していると言われます。つまり、システムの公理からステートメントとその否定の両方を導き出すことは不可能です。矛盾が存在すると、あらゆるステートメントが証明されるため (爆発の原理) 、一貫性はほとんどの公理系にとって重要な要件です。

公理系では、公理がシステム内の他の公理から証明または反証できない場合、その公理は独立していると呼ばれます。システムは、その基礎となる公理のそれぞれが独立している場合、独立していると呼ばれます。一貫性とは異なり、独立性は機能する公理系にとって必須の要件ではありませんが、通常はシステム内の公理の数を最小限に抑えるために求められます。

公理系は、あらゆる文について、その文自体またはその否定が系の公理から導出可能である場合（つまり、あらゆる文が真か偽かが証明可能である場合）に完全である^{と言われる。 [2]}

一貫性を超えて、相対的な一貫性も、価値のある公理系の特徴です。これは、最初の公理系の定義されていない用語が 2 番目の公理系から定義され、最初の公理が 2 番目の公理系の定理になるシナリオを表します。

良い例としては、実数体系の理論に関する絶対幾何学の相対的な一貫性が挙げられます。 線と点は絶対幾何学では定義されていない用語（原始概念とも呼ばれる）ですが、実数理論では両方の公理系と一致する方法で意味が割り当てられています。^[要出典]

公理システムのモデルは、システムで定義された関係と一致する方法で、システムで提示された未定義の用語に意味を割り当てる、明確に定義されたセットです。具体的なモデルの存在は、システムの一貫性を証明します^{[異論あり–議論] 。割り当てられた意味が現実世界のオブジェクトと関係である場合[明確化が必要]} 、モデルは具体的と呼ばれます。これは、他の公理システムに基づく 抽象モデルとは対照的です。

モデルは、システム内の公理の独立性を示すためにも使用できます。特定の公理を持たないサブシステムの有効なモデルを構築することにより、省略された公理の正しさが必ずしもサブシステムから導かれるわけではない場合、その公理が独立していることを示します。

2つのモデルは、その要素間に1対1の対応関係が見られ、その関係が維持される場合、同型であると言われます。 ^[3]すべてのモデルが他のモデルと同型である公理系は、カテゴリカル（カテゴリカルと呼ばれることもあります）と呼ばれます。カテゴリ性（カテゴリシティ）の特性はシステムの完全性を保証しますが、その逆は真ではありません。つまり、2つのモデルはシステムの 意味論では表現できない特性が異なる場合があるため、完全性はシステムのカテゴリ性（カテゴリシティ）を保証するものではありません。

例として、次の可算無限個の公理の追加意味論が追加された第一階述語論理に基づく次の公理システムを観察します（これらは公理スキーマとして簡単に形式化できます）。

${\displaystyle \exists x_{1}:\exists x_{2}:\lnot (x_{1}=x_{2})}$(非公式には、2つの異なる項目が存在します)。

${\displaystyle \exists x_{1}:\exists x_{2}:\exists x_{3}:\lnot (x_{1}=x_{2})\land \lnot (x_{1}=x_{3})\land \lnot (x_{2}=x_{3})}$(非公式には、3つの異なる項目が存在します)。

${\displaystyle ...}$

非公式には、この無限公理集合は、無限に多くの異なる項目が存在することを述べています。ただし、無限集合の概念はシステム内で定義できず、そのような集合の濃度は言うまでもありません。

このシステムには少なくとも 2 つの異なるモデルがあります。1 つは自然数(他の可算無限集合と同型)、もう 1 つは実数 (連続体の濃度を持つ他の集合と同型) です。実際、このシステムには無限の数のモデルがあり、無限集合の濃度ごとに 1 つずつあります。ただし、これらのモデルを区別する特性は濃度であり、この特性はシステム内で定義できません。したがって、このシステムはカテゴリカルではありません。ただし、完全であることが示されます。

定義や命題を、それぞれの新しい用語が以前に導入された用語によって正式に消去されるような方法で述べるには、無限後退を避けるために基本的な概念（公理）が必要です。この数学のやり方は公理的方法と呼ばれます。^[4]

公理的方法に対する一般的な態度は論理主義です。アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルは、著書『プリンキピア・マテマティカ』で、すべての数学理論は公理の集合に還元できると示そうとしました。より一般的には、命題の集合を特定の公理の集合に還元することが、数学者の研究プログラムの根底にあります。これは、20世紀の数学、特にホモロジー代数を中心とした科目で非常に顕著でした。

理論で使用される特定の公理の説明は、数学者が作業したい適切な抽象化のレベルを明確にするのに役立ちます。たとえば、数学者は環が可換である必要はないと選択しましたが、これはエミー・ネーターの元の定式化とは異なります。数学者は、フェリックス・ハウスドルフが最初に定式化した分離公理を使用せずに、より一般的に位相空間を考慮することにしました。

ツェルメロ-フランケル集合論は、公理的方法を集合論に適用した結果であり、集合論の問題の「適切な」定式化を可能にし、素朴集合論のパラドックスを回避するのに役立った。そのような問題の1つは連続体仮説であった。歴史的に議論の的となってきた選択公理を含むツェルメロ-フランケル集合論は、一般的にZFCと略され、「C」は「選択」を表す。多くの著者は、選択公理を除いたツェルメロ-フランケル集合論の公理を指すのにZFを使用する。^{[5]今日、ZFCは}公理的集合論の標準形式であり、したがって数学の最も一般的な基礎となっている。

古代エジプト、バビロニア、インド、中国では、公理的方法を採用することなく、数学的手法がある程度洗練されて発展したようです。

アレクサンドリアのユークリッドは、ユークリッド幾何学と数論の現存する最古の公理的表現を著した。彼の考えは、公理と呼ばれる5つの否定できない幾何学的仮定から始まる。そして、これらの公理を用いて、証明によって他の命題の真実性を確立した。これが公理的方法である。^[6]

19 世紀には、非ユークリッド幾何学、実解析の基礎、カントールの集合論、フレーゲの基礎に関する研究、ヒルベルトによる公理的方法の「新しい」研究ツールとしての使用など、多くの公理体系が開発されました。たとえば、群論は、その世紀の終わり頃に初めて公理的基礎に置かれました。いったん公理が明確になると (たとえば、逆元が必要であることなど)、この研究は、それらの研究の 変換群の起源を参照することなく、自律的に進めることができます。

すべての一貫した命題群が、記述可能な公理の集合によって捉えられるわけではない。再帰理論では、公理の集合は、コンピュータ プログラムがその言語の特定の命題が定理であるかどうかを認識できる場合、再帰的であると呼ばれる。ゲーデルの第一不完全性定理は、再帰的な公理化のない一貫した命題群がいくつかあることを教えてくれる。通常、コンピュータは定理を導くための公理と論理規則を認識でき、証明が有効かどうかも認識できるが、あるステートメントの証明が存在するかどうかは、証明または反証が生成されるまで「待つ」ことによってのみ解決できる。その結果、どの命題が定理であるかがわからなくなり、公理的方法は破綻する。そのような命題群の例は自然数論であり、これはペアノ​​公理(後述) によって部分的にのみ公理化されている。

実際には、すべての証明が公理に遡るわけではありません。 時には、証明がどの公理の集合に依拠しているかさえ明らかではありません。 たとえば、数論的なステートメントは算術の言語 (つまり、ペアノ公理の言語) で表現できる場合があり、証明は位相幾何学や複素解析に依拠する場合があります。 ペアノ公理のみから導かれる別の証明が見つかるかどうかは、すぐには明らかでない場合があります。

多かれ少なかれ恣意的に選ばれた公理体系は、何らかの数学理論の基礎となるが、そのような恣意的な公理体系は必ずしも矛盾がないわけではなく、たとえ矛盾がなかったとしても、何の解明にもつながらない可能性が高い。数学の哲学者は、数学者が「恣意的に」公理を選択していると主張することがあるが、演繹論理の規範の観点からのみ見ると恣意的に見えるかもしれないが、演繹論理の目的が制限されているため、そのように見える可能性がある。

自然数 0、1、2、3、4、...の数学的体系は、1889 年に数学者ジュゼッペ ペアノによって初めて考案された公理体系に基づいています。彼は、単一の単項関数記号S (「successor (後継者)」の略) の言語で、自然数の集合が次のようになるという 公理を選択しました。

• 自然数0が存在します。
• すべての自然数a には、 Saで表される後続の数があります。
• 0 が次の数となる自然数は存在しない。
• 異なる自然数には異なる後続数があります。つまり、a ≠ bであれば、Sa ≠ Sbです。
• ある特性が 0 に備わっていて、それが備わっているすべての自然数の次の数にも備わっている場合、その特性はすべての自然数に備わっています (「帰納公理」)。

数学において、公理化とは、知識体系を取り上げ、その公理に向かって逆方向に作業するプロセスです。これは、いくつかの基本的な用語を関連付けるステートメント（つまり公理）のシステムを作成することであり、これらのステートメントから一貫した命題の体系を演繹的に導き出すことができます。その後、原則として、あらゆる命題の証明はこれらの公理にまで遡って追跡可能になります。

Wikiquote に公理系に関する引用があります。

• 公理スキーマ – 真であるとみなされる一連のステートメントの短い表記
• 形式主義 – 数学は必ずしも現実を表現するものではなく、むしろゲームに似ているという考え方
• ゲーデルの不完全性定理 – 数理論理学における極限的結果
• ヒルベルト式演繹体系 – 論理学における形式演繹体系リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 論理の歴史
• 論理システムの一覧
• 論理主義 – 数学の哲学プログラム
• ツェルメロ-フランケル集合論 – 公理的集合論の標準システム、集合論の公理システムであり、今日の数学の最も一般的な基礎です。

• 「公理的方法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Eric W. Weisstein、公理系、MathWorld より - Wolfram Web リソース。Mathworld.wolfram.com および Answers.com