二次相互性

数論において、二次の相互法則は、素数を法とする二次方程式が解ける条件を与えるモジュラー算術に関する定理です。その微妙な性質から、さまざまな定式化がありますが、最も標準的な記述は次のとおりです。

この法則とその補足により、任意のルジャンドル記号の簡単な計算が可能になり、奇数の素数 に対する形式の任意の二次方程式の整数解が存在するかどうかを判定できます。つまり、 を法とする「完全な平方」を判定できます。ただし、これは非建設的な結果です。特定の解を見つけるのにまったく役立ちません。そのためには、他の方法が必要です。たとえば、オイラーの基準を使用する場合、平方剰余を法とする「平方根」の明示的な式を指定できます。 ${\displaystyle x^{2}\equiv a{\bmod {p}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\equiv 3{\bmod {4}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \pm a^{\frac {p+1}{4}}}$

確かに、

${\displaystyle \left(\pm a^{\frac {p+1}{4}}\right)^{2}=a^{\frac {p+1}{2}}=a\cdot a^{\frac {p-1}{2}}\equiv a\left({\frac {a}{p}}\right)=a{\bmod {p}}.}$

この式は、 が平方剰余であることが事前にわかっている場合にのみ機能します。これは、平方の相互法則を使用して確認できます。 ${\displaystyle a}$

二次の相互定理はオイラーとルジャンドルによって推測され、ガウス^[1]によって最初に証明されました。ガウスはこれを「基本定理」と呼び、著書『算術論』や論文の中で次のように書いています。

この基本定理は、確かにその種の定理の中で最も優雅なものの一つとみなされるに違いない。（第151条）

ガウスは個人的にこれを「黄金定理」と呼んでいた。^[2]彼はこれの証明を6つ発表し、さらに2つが彼の死後に発表された論文の中に発見された。現在では240以上の証明が発表されている。^[3]最も短い証明は以下に記載されており、法則の補足（ルジャンドル記号の-1と2）の短い証明も含まれている。

相互法則をより高いべき乗に一般化することは数学の主要な問題であり、現代の代数学、数論、代数幾何学の仕組みの多くの発展に不可欠であり、アルティンの相互法則、類体理論、ラングランズ・プログラムに至りました。

二次の相互性は、完全な平方数を含む特定の微妙な因数分解パターンから生じます。このセクションでは、一般的なケースにつながる例を示します。

多項式とその値を考えます。これらの値の素因数分解は次のように与えられます。 ${\displaystyle f(n)=n^{2}-5}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

を割り切る素因数は、および最後の桁がまたは であるすべての素数です。またはで終わる素数は出現しません。ここで、 の場合、すなわち 5 が を法とする平方剰余である場合、は常に は何らかの の素因数です。これは、および となる素数の場合に当てはまります。後者の数と は、まさに を法とする平方剰余です。したがって、 を除いて、 が を法とする平方剰余である場合と、 がを法とする平方剰余である場合に限ります。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle p=2,5}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 9}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 7}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n^{2}-5}$${\displaystyle n^{2}-5\equiv 0{\bmod {p}}}$${\displaystyle n^{2}\equiv 5{\bmod {p}},}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2,5}$${\displaystyle p\equiv 1,4{\bmod {5}},}$${\displaystyle 1=(\pm 1)^{2}}$${\displaystyle 4=(\pm 2)^{2}}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle p=2,5}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 5}$

二次の相互法則は、任意の素数qに対しての素因数について同様の特徴付けを与え、任意の整数 に対して の特徴付けをもたらします。 ${\displaystyle f(n)=n^{2}-q}$${\displaystyle q}$

p を奇数の素数とします。 pを法とする数は、平方数 (mod p ) と合同な場合は常に平方剰余です。それ以外の場合は平方非剰余です。 (文脈から明らかな場合は、「平方」を省略できます。) ここでは、特別なケースとしてゼロを除外します。すると、位数pの有限体の乗法群が位数p-1の巡回群であるという事実の結果として、次のステートメントが成立します。

• 平方剰余と非剰余の数は等しい。そして
• 2 つの平方剰余の積は剰余であり、剰余と非剰余の積は非剰余であり、2 つの非剰余の積は剰余である。

誤解のないように言っておくと、これらの記述は法が素数でない場合は成り立ちません。たとえば、15 を法とする乗法群には 3 つの平方剰余 (1、4、9) しかありません。さらに、7 と 8 は平方剰余ではありませんが、素数の場合とは対照的に、それらの積 7x8 = 11 も平方剰余ではありません。

二次剰余は、行番号を係数、列番号をルートとしてインデックス付けされた次の表のエントリとして表示されます。

この表は、 50 未満の奇数の素数について完全です。数m がこれらの素数pのいずれかを法として平方剰余であるかどうかを確認するには、 a ≡ m (mod p ) かつ 0 ≤ a < p を見つけます。a が表の行pにある場合、mは剰余 (mod p ) です。a が表の行pにない場合、 m は非剰余 (mod p ) です。

二次の相互法則は、表に見られる特定のパターンが一般に真実であるという主張です。

データを整理する別の方法は、次の表に示すように、どの素数が他のどの素数に対する剰余であるかを確認することです。q が平方剰余 (mod p ) である場合、行p列qのエントリはRです。q が剰余でない場合は、エントリはNです。

行、列、またはその両方が ≡ 1 (mod 4) の場合、エントリは青または緑になります。行と列の両方が ≡ 3 (mod 4) の場合、エントリは黄色またはオレンジになります。

青と緑のエントリは対角線を中心に対称です。つまり、行p、列qのエントリがR (resp N )であるのは、行q、列pのエントリがR (resp N )である場合のみです。

一方、黄色とオレンジ色のものは反対称です。つまり、行p、列qのエントリがR (resp N )であるのは、行q、列pのエントリがN (resp R )である場合のみです。

相互法則によれば、これらのパターンはすべてのpとqに当てはまります。

行と列を mod 4 で順序付けると、パターンがより明確になります。

補足資料は、二次相互性の特定のケースに対する解法を提供します。これらは、完全な定理に頼ることなく、部分的な結果として引用されることがよくあります。

自明なことに、1 はすべての素数の平方剰余です。問題は -1 の場合により興味深いものになります。表を調べると、行 5、13、17、29、37、41 に -1 がありますが、行 3、7、11、19、23、31、43、47 にはありません。前者の素数はすべて 4 を法として 1 に合同であり、後者は 4 を法として 3 に合同です。

二次相互法の最初の補足。が 4 を法として 1 と合同である場合にのみ、合同は解けます。${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\bmod {p}}}$${\displaystyle p}$

表を調べると、7、17、23、31、41、47行目に2があるが、3、5、11、13、19、29、37、43行目には2がない。前者の素数はすべて ≡ ±1 (mod 8) であり、後者はすべて ≡ ±3 (mod 8) である。このことから、

二次相互法の補足 2。合同は、±1 を法として 8 と一致する場合にのみ解けます。${\displaystyle x^{2}\equiv 2{\bmod {p}}}$${\displaystyle p}$

−2 は 3、11、17、19、41、43 行目にありますが、5、7、13、23、29、31、37、47 行目にはありません。前者は ≡ 1 または ≡ 3 (mod 8) であり、後者は ≡ 5、7 (mod 8) です。

3 は行 11、13、23、37、47 にありますが、行 5、7、17、19、29、31、41、43 には存在しません。前者は ≡ ±1 (mod 12) であり、後者はすべて ≡ ±5 (mod 12) です。

−3 は行 7、13、19、31、37、43 にありますが、行 5、11、17、23、29、41、47 には存在しません。前者は ≡ 1 (mod 3) で、後者は ≡ 2 (mod 3) です。

唯一の剰余（mod 3）は 1 なので、-3 は 3 を法とする剰余であるすべての素数を法とする平方剰余であることがわかります。

5 は行 11、19、29、31、41 にありますが、行 3、7、13、17、23、37、43、47 には存在しません。前者は ≡ ±1 (mod 5) であり、後者は ≡ ±2 (mod 5) です。

剰余 (mod 5) は ±1 のみなので、5 は 5 を法とする剰余であるすべての素数を法とする平方剰余であることがわかります。

−5 は 3、7、23、29、41、43、47 行目にありますが、11、13、17、19、31、37 行目にはありません。前者は ≡ 1、3、7、9 (mod 20) であり、後者は ≡ 11、13、17、19 (mod 20) です。

−3 と 5 についての観察は引き続き成り立ちます。 −7 がp を法とする剰余である場合とp が7 を法とする剰余である場合に限り、 −11 がpを法とする剰余である場合とp が11 を法とする剰余である場合に限り、 13 が (mod p ) 剰余である場合とp が13 を法とする剰余である場合に限り、などです。 3 と −5 の二次関数のより複雑に見える規則は、それぞれ 12 と 20 を法とする合同性に依存しますが、これは単に最初の補足事項を適用した −3 と 5 の規則です。

例: −5 が剰余 (mod p ) であるためには、5 と −1 の両方が剰余 (mod p ) であるか、両方が非剰余でなければなりません。つまり、p ≡ ±1 (mod 5)かつ p ≡ 1 (mod 4) またはp ≡ ±2 (mod 5)かつ p ≡ 3 (mod 4) です。中国剰余定理を使用すると、これらはp ≡ 1, 9 (mod 20) またはp ≡ 3, 7 (mod 20)と同等です。

−3 と 5 の規則を一般化したものこそが、ガウスの二次相互法則です。

二次の相互性（ガウスの定理）。の場合、 が解ける場合かつその場合に限り、合同式は解けます。 かつの場合、が解ける場合 かつその場合に限り、合同式は解けます。${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {4}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$${\displaystyle q\equiv 3{\bmod {4}}}$${\displaystyle p\equiv 3{\bmod {4}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv -q{\bmod {p}}}$

二次の相互性（複合ステートメント）。を定義します。 が解ける場合のみ、合同式は解けます。 ${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q}$${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv q^{*}{\bmod {p}}}$

二次の相互性 (ルジャンドルの命題)。pまたはqが4 を法として 1 に合同である場合、次が解けるのは、が解ける場合のみです。pとqが4 を法として 3 に合同である場合、次が解けるのは、が解けない 場合のみです。${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv q{\bmod {p}}}$${\displaystyle x^{2}\equiv p{\bmod {q}}}$

最後のものは、上記の序論で述べた現代形式とまったく同じです。ルジャンドルの命題とガウスの命題が同等であることを証明するのは簡単な作業です。最初の補足と、剰余と非剰余の乗算に関する事実だけが必要です。

どうやら、これまで知られている中で最も短い証明は、B. ヴェクリッチがアメリカ数学月刊誌に発表したものらしい。^[4]

(上記の証明で使用されている)のルジャンドル記号の値は、オイラーの判定基準から直接導かれます。 ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\bmod {p}}}$

オイラーの基準によれば、 となりますが、この合同の両辺は という形式の数なので、等しくなければなりません。 ${\displaystyle \pm 1}$

が平方剰余であるかどうかは、標準的な方法で解ける方程式 の解の数がわかれば結論づけられます。つまり、 の解はすべて の形の八つ組にまとめることができ、残るのは の形の 4 つの解と、 および の 4 つの追加の解であり、これらは が平方剰余である場合に正確に存在します。つまり、 は、この方程式の解の数が で割り切れる場合に正確に平方剰余です。そして、この方程式は、有理数の場合とまったく同じ方法で解くことができます。 を に置き換え、ここで となることを要求します(2 つの解 は除きます)。すると、元の方程式は次のように変換されます。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} _{p},}$${\displaystyle xy\neq 0,x\neq \pm y}$${\displaystyle (\pm x,\pm y),(\pm y,\pm x)}$${\displaystyle (\pm 1,\pm 1)}$${\displaystyle x^{2}=2,y=0}$${\displaystyle x=0,y^{2}=2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle x=a+1,y=at+1}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle (1,\pm 1)}$

${\displaystyle a=-{\frac {2(t+1)}{(t^{2}+1)}}.}$

ここで、分母がゼロにならない任意の値を取ることができます。つまり、分母がゼロになる可能性がある（つまり、 が剰余である場合、がそうでない場合）ということです。また、 もゼロにならないため、もう1つの選択肢 が除外されます。したがって、 ${\displaystyle t}$${\displaystyle 1+\left({\frac {-1}{p}}\right)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle t=-1}$

${\displaystyle p-\left(1+\left({\frac {-1}{p}}\right)\right)-1}$

の可能性は であり、除外された 2 つの解と合わせると、元の方程式の全体的な解が存在します。したがって、が を法とする剰余である場合、かつその場合のみ、 は で割り切れます。これは、上記の条件を再定式化したものです。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle p-\left({\frac {-1}{p}}\right)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle p-(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$

この定理は、現代の形になる前にさまざまな方法で定式化されました。オイラーとルジャンドルにはガウスの合同記法がなく、ガウスにはルジャンドル記号がありませんでした。

この記事では、pとq は常に異なる正の奇数の素数を指し、xとy は指定されていない整数を指します。

フェルマーは素数を二次形式で表すことに関するいくつかの定理 を証明した^[5]（または証明したと主張した）^{[6] 。}

${\displaystyle {\begin{aligned}p=x^{2}+y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {4}}\\p=x^{2}+2y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=2\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\p=x^{2}+3y^{2}\qquad &\Longleftrightarrow \qquad p=3\quad {\text{ or }}\quad p\equiv 1{\bmod {3}}\\\end{aligned}}}$

彼は二次の相互法則については述べなかったが、−1、±2、±3 のケースは彼の定理のこれらの例や他の例から簡単に導き出せる。

彼はまた、素数pが7で終わる（基数10）場合、素数qが3で終わる場合、p ≡ q ≡ 3（mod 4）である場合、

${\displaystyle pq=x^{2}+5y^{2}.}$

オイラーは次のように予想し、ラグランジュはそれを証明した。^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&\equiv 1,9{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad p=x^{2}+5y^{2}\\p,q&\equiv 3,7{\bmod {20}}\quad \Longrightarrow \quad pq=x^{2}+5y^{2}\end{aligned}}}$

フェルマーのこれらの主張やその他の主張を証明することが、数学者を相互法則へと導いた要因の 1 つでした。

現代の記法に翻訳すると、オイラーは異なる奇数の素数pとqに対して次のように述べています^[8]。

1. q ≡ 1 (mod 4)の場合、 p ≡ b ² (mod q )となる整数bが存在するときに限り、 q は平方剰余 (mod p ) になります。
2. q ≡ 3 (mod 4)の場合、 q が平方剰余 (mod p ) となるのは、奇数でありqで割り切れない整数b が存在し、 p ≡ ± b ² (mod 4 q )となる場合のみです。

これは二次の相互性に相当します。

彼はそれを証明することはできなかったが、第二の補足事項は証明した。^[9]

フェルマーは、 pが素数でaが整数で あれば、

${\displaystyle a^{p}\equiv a{\bmod {p}}.}$

したがって、 p がa を割り切れない場合、 p を法とする剰余は体を形成し、したがって特に乗法群は巡回するという自明でない事実 (以下の Ireland と Rosen を参照) を使用すると、二次方程式の解は最大で 2 つになります。

${\displaystyle a^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1{\bmod {p}}.}$

ルジャンドル^[10]は、 aとAを正の素数≡1（mod 4）、bとBを正の素数≡3（mod 4）とし、二次の相互性に相当する8つの定理の表を示しています。

彼は、

${\displaystyle N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}},\qquad \gcd(N,c)=1}$

頻繁に出てくるので、次のように略します。

${\displaystyle \left({\frac {N}{c}}\right)\equiv N^{\frac {c-1}{2}}{\bmod {c}}=\pm 1.}$

これは現在ではルジャンドル記号として知られており、同等の定義^{[11] [12]}が現在も使われている。すべての整数aとすべての奇数の素数pに対して

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}0&a\equiv 0{\bmod {p}}\\1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and }}\exists x:a\equiv x^{2}{\bmod {p}}\\-1&a\not \equiv 0{\bmod {p}}{\text{ and there is no such }}x.\end{cases}}}$

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 1{\bmod {4}}\quad {\text{ or }}\quad q\equiv 1{\bmod {4}}\\-\left({\tfrac {q}{p}}\right)&p\equiv 3{\bmod {4}}\quad {\text{ and }}\quad q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

これらを組み合わせることができると彼は指摘しています。

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

多くの証明、特にガウスの補題^[13]に基づく証明では、この式を明示的に計算しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-1}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&p\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&p\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

これら 2 つの補足から、次のように 2 次特性 -2 の 3 番目の相互法則を得ることができます。

-2 が平方剰余であるためには、-1 または 2 が両方とも平方剰余であるか、両方とも剰余でないかのいずれかです。 ${\displaystyle {\bmod {p}}}$

つまり、どちらも偶数か、どちらも奇数です。これら2つの式の合計は ${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}{\text{ or }}{\frac {p^{2}-1}{8}}}$

${\displaystyle {\frac {p^{2}+4p-5}{8}}}$これは整数です。したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-2}{p}}\right)&=(-1)^{\frac {p^{2}+4p-5}{8}}={\begin{cases}1&p\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&p\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

ルジャンドルの相互性を証明しようとする試みは、彼の定理に基づいています。

ルジャンドルの定理。a、b 、cを整数とし、3つのどのペアも互いに素であるとする。さらに、 ab、bc、caのうち少なくとも1つは負である（つまり、すべてが同じ符号ではない）と仮定する。

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}&\equiv -bc{\bmod {a}}\\v^{2}&\equiv -ca{\bmod {b}}\\w^{2}&\equiv -ab{\bmod {c}}\end{aligned}}}$

が解ける場合、次の方程式は整数で非自明な解を持ちます。

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0.}$

例:定理 I は、 a ≡ 1 およびb ≡ 3 (mod 4) を素数として、 および と仮定することで処理されます。定理に反して、 となります。すると、解が存在し、合同 (mod 4) をとると矛盾が生じます。 ${\displaystyle \left({\tfrac {b}{a}}\right)=1}$${\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)=-1.}$${\displaystyle x^{2}+ay^{2}-bz^{2}=0}$

この方法は定理VIIIには適用できません。b ≡ B ≡ 3 ( mod 4)とし、

${\displaystyle \left({\frac {B}{b}}\right)=\left({\frac {b}{B}}\right)=-1.}$

次に、 p ≡ 1 (mod 4)となる 別の素数が存在する場合、

${\displaystyle \left({\frac {p}{b}}\right)=\left({\frac {p}{B}}\right)=-1,}$

の可解性は矛盾を生じます (mod 4)。しかし、ルジャンドルはそのような素数pが存在することを証明できませんでした。後に、必要なのは次の式だけであることを示すことができました。 ${\displaystyle Bx^{2}+by^{2}-pz^{2}=0}$

ルジャンドルの補題。pが4を法として1と合同な素数である場合、奇数の素数qが存在し、${\displaystyle \left({\tfrac {p}{q}}\right)=-1.}$

しかし、彼はそれを証明することもできませんでした。ヒルベルト記号 (下記) では、解の存在に基づく手法がどのように機能するかについて説明します。 ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$

ガウスはまず補足法則を証明した^[14] 。彼は±3と±5の定理を証明することで帰納法の基礎を確立した^[15]。- 3と+5の場合の方が+3や-5の場合よりも簡単であることに注目し^[16] 、彼は一般定理を次の形式で 述べている^{[17] 。}

p が4 n  + 1 の形式の素数である場合p、ただしp が4 n + 3 の形式である場合 − pは、正の符号を持つすべての素数の平方剰余（それぞれ非剰余）であり、 pの剰余（それぞれ非剰余）です。次の文で、彼はこれを「基本定理」と名付けています（ガウスは「相互性」という言葉を一度も使用していません）。

a が平方剰余（剰余でない）（mod b ）であることを意味するa R b（resp. a N b ）という表記を導入し、a、a ′ などを正の素数 ≡ 1（mod 4）を表し、b、b ′ などを正の素数 ≡ 3（mod 4）を表すとすると、ルジャンドルと同じ 8 つのケースに分類されます。

次の記事では、彼はこれをヤコビ記号の規則に基本的に一般化しています (以下を参照)。A、A ′ などを任意の (素数または合成数の) 正数 ≡ 1 (mod 4) を表し、B、B ′ などを正数 ≡ 3 (mod 4) を表すものとします。

これらのケースはすべて、「素数が剰余数 (合成数による) である場合、合成数は、合同 (4 による) に応じて剰余数または非剰余数 (素数による) になる」という形式をとります。彼は、これらがケース 1) - 8) から導かれることを証明します。

ガウスはルジャンドルが必要としたものと同様の補題 を必要とし、そして証明することができた^{[18] 。}

ガウスの補題。pが8 を法として 1 と合同な素数である場合、次の 奇数素数qが存在する:

${\displaystyle q<2{\sqrt {p}}+1\quad {\text{and}}\quad \left({\frac {p}{q}}\right)=-1.}$

二次相互性の証明には完全帰納法が用いられます。

ルジャンドル記号によるガウスのバージョン。

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}\left({\frac {q}{p}}\right)&q\equiv 1{\bmod {4}}\\\left({\frac {-q}{p}}\right)&q\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

これらは組み合わせることができます:

ガウスのルジャンドル記号による 複合版。

${\displaystyle q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.}$

言い換えると：

${\displaystyle |q^{*}|=|q|\quad {\text{and}}\quad q^{*}\equiv 1{\bmod {4}}.}$

それから：

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=\left({\frac {q^{*}}{p}}\right).}$

この定理の証明は数多くあり、特にガウス和^[19]や代数体における素数の分解^{[20] [21]}に基づく証明によってこの式が導出されている。

このセクションの記述は二次の相互性に相当します。たとえば、オイラーのバージョンが想定されている場合、そこからルジャンドル-ガウスのバージョンを推測することができ、その逆も同様です。

オイラーの二次相互法則の定式化。^[22]${\displaystyle p\equiv \pm q{\bmod {4a}}}$${\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {a}{q}}\right).}$

これはガウスの補題を使って証明できます。

二次の相互性（ガウス；第４証明）。^[23] a、b、c、…を等しくない正の奇数の素数とし、その積が n であるものとし、そのうち ≡ 3 (mod 4) となる素数の個数をmとする。n / aがaの剰余であるか、n / bがbの剰余であるか、…を調べる。見つかる非剰余数の個数は、 m ≡ 0、1 (mod 4) のときは偶数になり、 m ≡ 2、3 (mod 4) のときは奇数になる。

ガウスの 4 番目の証明は、この定理を証明し (ガウス和の値の 2 つの式を比較することによって)、それを 2 つの素数に制限することで構成されます。次に、例を示します。a = 3、b = 5、c = 7、d = 11 とします。これらのうち 3、7、11 ≡ 3 (mod 4) なので、m ≡ 3 (mod 4) です。5×7×11 R 3、3×7×11 R 5、3×5×11 R 7、および 3×5×7 N 11 なので、非剰余の数が奇数になります。

アイゼンシュタインの二次相互性の定式化。 [ ^24]

${\displaystyle p\neq q,\quad p'\neq q',\quad p\equiv p'{\bmod {4}},\quad q\equiv q'{\bmod {4}}.}$

それから

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p'}{q'}}\right)\left({\frac {q'}{p'}}\right).}$

モーデルの二次相互性の定式化。^[25] a、b、cを整数とする。すべての素数pに対して、 abcを割り切る合同性が成り立つ場合、

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {\tfrac {4abc}{p}}}}$

に非自明な解がある場合、以下も同様です:

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}\equiv 0{\bmod {4abc}}.}$

ゼータ関数の定式化

デデキントゼータ関数の記事で述べたように、二次の相互性は、二次体のゼータ関数がリーマンゼータ関数と特定のディリクレL関数の積であることと同等である。

ヤコビ記号はルジャンドル記号の一般化です。主な違いは、下の数字が正の奇数でなければならないが、素数である必要はないことです。素数であれば、2つの記号は一致します。ルジャンドル記号と同じ操作規則に従います。特に、

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n-1}{2}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1{\bmod {4}}\\-1&n\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}\\\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,7{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 3,5{\bmod {8}}\end{cases}}\\\left({\frac {-2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}+4n-5}{8}}&={\begin{cases}1&n\equiv 1,3{\bmod {8}}\\-1&n\equiv 5,7{\bmod {8}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

両方の数が正かつ奇数の場合（これは「ヤコビの相互法則」と呼ばれることもあります）：

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)=(-1)^{\frac {(m-1)(n-1)}{4}}\left({\frac {n}{m}}\right).}$

しかし、ヤコビ記号が 1 であっても分母が素数でない場合は、分子が分母の平方剰余であるとは必ずしもなりません。上記のガウスのケース 9) - 14) は、ヤコビ記号で表現できます。

${\displaystyle \left({\frac {M}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(M-1)}{4}}\left({\frac {p}{M}}\right),}$

p は素数なので、左辺はルジャンドル記号であり、M がp を法とする剰余であるかどうかがわかります。

前のセクションで挙げた式は、ヤコビ記号が定義されている限り、ヤコビ記号にも当てはまります。オイラーの公式は次のように書くことができます。

${\displaystyle \left({\frac {a}{m}}\right)=\left({\frac {a}{m\pm 4an}}\right),\qquad n\in \mathbb {Z} ,m\pm 4an>0.}$

例。

${\displaystyle \left({\frac {2}{7}}\right)=\left({\frac {2}{15}}\right)=\left({\frac {2}{23}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)=\cdots =1.}$

2は素数7、23、31を法とした剰余です。

${\displaystyle 3^{2}\equiv 2{\bmod {7}},\quad 5^{2}\equiv 2{\bmod {23}},\quad 8^{2}\equiv 2{\bmod {31}}.}$

しかし、2は5を法とする平方剰余ではないので、15を法とする平方剰余にはなり得ない。これはルジャンドルが抱えていた問題と関連している。すなわち、aは等差数列m + 4 a、m + 8 a、…の各素数を法とする剰余ではないが、この数列に素数が存在するかどうかはルジャンドルの数十年後まで証明されなかった。^[26]${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=-1,}$

アイゼンシュタインの公式は相対素数条件を必要とする（数が素数である場合に真となる）

を次の正の奇数と します。${\displaystyle a,b,a',b'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\gcd &(a,b)=\gcd(a',b')=1\\&a\equiv a'{\bmod {4}}\\&b\equiv b'{\bmod {4}}\end{aligned}}}$

それから

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)\left({\frac {b}{a}}\right)=\left({\frac {a'}{b'}}\right)\left({\frac {b'}{a'}}\right).}$

二次の相互法則はヒルベルト記号 を使って定式化できます。ここで、aとbは任意の2 つの非ゼロの有理数で、v は有理数のすべての非自明な絶対値 (アルキメデスの絶対値と素数pのp進絶対値) にわたって実行されます。ヒルベルト記号は 1 または −1 です。これは、方程式が以外のvでの有理数の完備化で解を持つ場合のみ 1 と定義されます。ヒルベルトの相互法則は、aとb を固定し、v を変化させた場合、有限個の v を除くすべてのvに対して が 1 であり、すべてのvにわたるの積が1 であることを述べています。(これは形式的には複素解析の留数定理に似ています。) ${\displaystyle (a,b)_{v}}$${\displaystyle (a,b)_{v}}$${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}}$${\displaystyle x=y=z=0}$${\displaystyle (a,b)_{v}}$${\displaystyle (a,b)_{v}}$

ヒルベルトの相互法則の証明は、いくつかの特殊なケースを確認することに帰着し、非自明なケースは、ルジャンドル記号の二次相互法則の主法則と 2 つの補足法則に等しいことが判明します。ヒルベルトの相互法則には相互性のようなものはありません。その名前は、二次相互法則の結果の歴史的な出典を単に示しています。符号条件 (つまり、関係する素数の正値) と素数 2 の特別な扱いを必要とする二次相互法則とは異なり、ヒルベルトの相互法則は、有理数のすべての絶対値を同等に扱います。したがって、これは一般化の観点から二次相互法則を表現するより自然な方法です。ヒルベルトの相互法則は、ほとんど変更せずにすべてのグローバルフィールドに拡張され、この拡張は、二次相互法則のすべてのグローバル フィールドへの一般化と見なすことができます。

二次相互性の初期の証明は、比較的平凡なものでした。ガウスがガウス和を用いて二次体が円分体の部分体であることを示し、円分体の相互性定理から二次相互性を暗黙的に演繹したとき、状況は変わりました。彼の証明は、後の代数的整数論者によって現代的な形で提示されました。この証明は、二次相互性の広範な一般化と見なすことができる 類体理論のテンプレートとして役立ちました。

ロバート・ラングランズはラングランズ・プログラムを定式化し、類体理論の推測的な一般化を与えた。彼は次のように書いている。^[27]

正直に言うと、この分野の歴史や円分法との関連を知らない学生だった私には、この法則やそのいわゆる初等的証明に魅力を感じなかった。おそらく、私はこのようには表現しなかっただろうし、表現できなかっただろうが、当時私が望んでいた本格的な数学者の関心を引くよりも、アマチュア向けの、数学的な好奇心以上のものとは考えていなかったのだろう。ヘルマン・ワイルの代数的数論に関する本^[28]を読んで初めて、私はこれをそれ以上のものとして評価するようになった。

整数以外の 環にも二次の相互法則が存在します。

ガウスは、 4次相互法則に関する2番目の論文^[29]で、ガウス整数環の2次相互法則について述べ、それがにおける2次法則の系であると述べたが、どちらの定理の証明も示さなかった。ディリクレ^[30]は、4次相互法則を使わずに、における法則がについての法則から演繹できることを示した。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [i],}$${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

奇数のガウス素数と互いに素なガウス整数に対して、の二次特性を次のように定義します。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \pi ,}$${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [i]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

異なるガウス素数aとcが奇数でbとdが偶数であるとする。すると^[31]${\displaystyle \lambda =a+bi,\mu =c+di}$

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2},\qquad \left[{\frac {i}{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{\frac {b}{2}},\qquad \left[{\frac {1+i}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{a+b}}\right).}$

次の 3 乗根を考えてみましょう。

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}=e^{\frac {2\pi \imath }{3}}.}$

アイゼンシュタイン整数環は^[32]アイゼンシュタイン素数とアイゼンシュタイン整数に対して、の二次特性を次の式で 定義する。${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ].}$${\displaystyle \pi ,\mathrm {N} \pi \neq 3,}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gcd(\alpha ,\pi )=1,}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} \pi -1}{2}}{\bmod {\pi }}={\begin{cases}1&\exists \eta \in \mathbb {Z} [\omega ]:\alpha \equiv \eta ^{2}{\bmod {\pi }}\\-1&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

λ = a + bωと μ = c + dωを異なるアイゼンシュタイン素数とする。ここで、aとcは3で割り切れず、bとdは3で割り切れる。アイゼンシュタインは^{[33]を証明した。}

${\displaystyle \left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]_{2}\left[{\frac {\mu }{\lambda }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {\mathrm {N} \lambda -1}{2}}{\frac {\mathrm {N} \mu -1}{2}}},\qquad \left[{\frac {1-\omega }{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {a}{3}}\right),\qquad \left[{\frac {2}{\lambda }}\right]_{2}=\left({\frac {2}{\mathrm {N} \lambda }}\right).}$

上記の法則は、任意の虚数二次数体における整数環に当てはまる、より一般的な法則の特殊なケースである。k を整数環を持つ虚数二次数体とする。奇数ノルムの素イデアルに対して、の二次指標を次のよう に定義する。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$${\displaystyle \mathrm {N} {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{k},}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right]_{2}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{2}}{\bmod {\mathfrak {p}}}={\begin{cases}1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}{\text{ such that }}\alpha -\eta ^{2}\in {\mathfrak {p}}\\-1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \\0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\end{cases}}}$

任意のイデアルを素イデアルに分解すると、次のように定義されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right]_{2}\cdots \left[{\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{n}}}\right]_{2},}$

そして定義する ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {O}}_{k}}$

${\displaystyle \left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]_{2}=\left[{\frac {\alpha }{\beta {\mathcal {O}}_{k}}}\right]_{2}.}$

ieを の積分基底とします。奇数ノルムの場合、（通常の）整数a、b、c、dを次の式で定義します。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2},}$${\displaystyle \left\{\omega _{1},\omega _{2}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}.}$${\displaystyle \nu \in {\mathcal {O}}_{k}}$${\displaystyle \mathrm {N} \nu ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu \omega _{1}&=a\omega _{1}+b\omega _{2}\\\nu \omega _{2}&=c\omega _{1}+d\omega _{2}\end{aligned}}}$

そして機能

${\displaystyle \chi (\nu ):=\imath ^{(b^{2}-a+2)c+(a^{2}-b+2)d+ad}.}$

m = Nμとn = Nνが両方とも奇数の場合、ヘルグロッツは^{[34]を証明した。}

${\displaystyle \left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=(-1)^{{\frac {m-1}{2}}{\frac {n-1}{2}}}\chi (\mu )^{m{\frac {n-1}{2}}}\chi (\nu )^{-n{\frac {m-1}{2}}}.}$

また、もし

${\displaystyle \mu \equiv \mu '{\bmod {4}}\quad {\text{and}}\quad \nu \equiv \nu '{\bmod {4}}}$

その後^[35]

${\displaystyle \left[{\frac {\mu }{\nu }}\right]_{2}\left[{\frac {\nu }{\mu }}\right]_{2}=\left[{\frac {\mu '}{\nu '}}\right]_{2}\left[{\frac {\nu '}{\mu '}}\right]_{2}.}$

F をq = p ⁿ個の元を持つ有限体とし、pは奇数の素数、nは正とし、F [ x ] をFに係数を持つ 1 変数の多項式環とします。 かつfが既約、モニック、正の次数を持つ場合、通常の方法でF [ x ] の二次特性を定義します。 ${\displaystyle f,g\in F[x]}$

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)={\begin{cases}1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}\exists h,k\in F[x]{\text{ such that }}g-h^{2}=kf\\-1&\gcd(f,g)=1{\text{ and }}g{\text{ is not a square}}{\bmod {f}}\\0&\gcd(f,g)\neq 1\end{cases}}}$

が一元的既約数の積である 場合、${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{n}}$

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)=\left({\frac {g}{f_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {g}{f_{n}}}\right).}$

デデキントは、が単項式で正の次数を持つ場合、 ^[36]${\displaystyle f,g\in F[x]}$

${\displaystyle \left({\frac {g}{f}}\right)\left({\frac {f}{g}}\right)=(-1)^{{\frac {q-1}{2}}(\deg f)(\deg g)}.}$

2乗以上の相互法則を一般化しようとする試みは、カール・フリードリヒ・ガウス、ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ、ゴットホルト・アイゼンシュタイン、リヒャルト・デデキント、エルンスト・クンマー、ダヴィド・ヒルベルトを含む19世紀の数学者を一般代数体とその整数環の研究へと導いた主な目標の1つであった。^[37]特にクンマーは、高次の相互法則を述べ証明するためにイデアルを発明した。

1900年にデイヴィッド・ヒルベルトが数学者会議に提出した23の未解決問題のリストの9番目は、「任意の数体に対する最も一般的な相互法則の証明」を求めていた。 ^[38]フィリップ・フルトヴェングラー、高木貞二、ヘルムート・ハッセらの研究を基に、エミール・アルティンは1923年にアルティン相互法則を発見した。これは既知の相互法則がすべて特別なケースとなる一般定理であり、1927年に証明した。^[39]

• デデキントゼータ関数
• 合理的相互主義の法則
• ゾロタレフの補題

『Disquisitiones Arithmeticae』は、英語とドイツ語に翻訳されています (ラテン語から)。ドイツ語版には、ガウスの数論に関するすべての論文 (2 次相互法則のすべての証明、ガウス和の符号の決定、2 次相互法則の調査、未発表の注釈) が含まれています。『Disquisitiones Arithmeticae』を参照する脚注は、「Gauss, DA, Art. n 」という形式です。

• ガウス、カール・フリードリヒ（1986年）。『Disquisitiones Arithemeticae 』。アーサー・A・クラーク訳（第2版、訂正版）。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-96254-9。
• ガウス、カール・フリードリヒ(1965)。Untersuchungen über höhere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeteticae および数論に関するその他の論文)。ヘルマン・マーザー訳（第2版）。ニューヨーク：チェルシー。ISBN 0-8284-0191-8。

ガウスが出版した双二次相互性に関する 2 つのモノグラフには、連続番号が付けられたセクションがあります。最初のセクションには §§ 1 ～ 23 が含まれ、2 番目のセクションには §§ 24 ～ 76 が含まれます。これらを参照する脚注は、「ガウス、BQ、§ n 」という形式です。

• ガウス、カール・フリードリッヒ (1828)、Theoria residuorum biquadraticorum、Commentatio prima、ゲッティンゲン: コメント。社会科学領域、ゲッティンゲン 6
• ガウス、カール・フリードリッヒ (1832)、Theoria residuorum biquadraticorum、Commentatio secunda、ゲッティンゲン: コメント。社会地理領域、ゲッティンゲン 7

これらはガウスの『Werke』、Vol II、65 ～ 92 および 93 ～ 148 ページに記載されています。ドイツ語への翻訳は、Untersuchungen über höhere Arithmetikの pp. 511 ～ 533 および 534 ～ 586 にあります。

初等数論の教科書（および代数数論の教科書もかなり多く）には、二次の相互法則の証明が記載されています。特に注目すべき 2 つの証明は次のとおりです。

フランツ・レマーマイヤーの『相互法則: オイラーからアイゼンシュタインまで』には、 2 次式とそれ以上の相互法則の両方の証明 (一部は演習形式) とその歴史に関する説明が多数掲載されています。その膨大な参考文献には、2 次式相互法則に関する 196 の異なる公開された証明の文献引用が含まれています。

ケネス・アイルランドとマイケル・ローゼンの「現代数論への古典的入門」にも、2次の相互性の証明（および多くの演習）が多数掲載されており、3次および2次の場合もカバーされています。演習13.26（p. 202）がすべてを物語っています。

この本でこれまでに示した二次の相互法則の証明の数を数え、別の証明を考えてみましょう。

• バッハ、エリック、シャリット、ジェフリー（1966）、アルゴリズム的数論（第1巻：効率的なアルゴリズム）、ケンブリッジ：MITプレス、ISBN 0-262-02405-5
• エドワーズ、ハロルド（1977）、フェルマーの最終定理、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-90230-9
• Lemmermeyer、Franz (2000)、相反性の法則、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-662-12893-0、ISBN 3-540-66957-4、MR  1761696
• アイルランド、ケネス、ローゼン、マイケル（1990）、現代数論への古典的入門（第2版）、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-97329-X

• 「二次相互法則」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• MathWorldの二次相互定理
• 二次相互法則の2つの証明を比較する劇
• PlanetMathでのこの定理の証明
• MathPagesでの別の証明
• F. レマーマイヤーによる二次相互法則の証明の年表と書誌 (332 の証明)